近独立粒子的最概然分布

近独立粒子的最概然分布演示文稿目前一页\总数五十六页\编于五点（优选）近独立粒子的最概然分布目前二页\总数五十六页\编于五点3

设粒子的自由度为r，粒子在任一时刻的力学运动状态由粒子的r个广义坐标q1、q2、…qr和相应的r个广义动量p1、p2、…pr在该时刻的数值确定，粒子能量ε是其广义坐标和广义动量的函数，即一.经典描述更一般表述为在分析力学中，一般把以广义坐标和广义动量为自变量的能量函数写成H（哈密顿）函数，即

粒子的运动满足正则运动方程目前三页\总数五十六页\编于五点4

当某一初始时刻t0给定了qi、pi

的初值qi0、pi0

之后，由正则运动方程可确定在任何相继时刻t，qi、pi

的数值，因而这个力学系统的运动状态就完全确定了。所以一组qi、pi数值确定这个系统的一个运动状态，这样所确定的运动状态把每个粒子的运动状态都完全确定了。这就是微观运动状态。μ空间:

用q1、q2、…qr

，p1、p2、…pr

为直角坐标构成一个2r维空间，这个空间称为μ空间。μ空间任何一点代表力学体系一个运动状态，这个点称为代表点。当粒子运动状态随时间改变时，代表点相应地在μ空间中移动，描画出一条轨迹称为相迹。目前四页\总数五十六页\编于五点5二.几个例子1.自由粒子自由度：r=3μ空间维数：6广义坐标：广义动量：动能：相迹：以一维为例目前五页\总数五十六页\编于五点62.一维线性谐振子onedimensionlinearharmonicoscillator

质量为m的粒子在弹性力f=-Ax作用下，将在原点附近做圆频率为的简谐振动，称为线性谐振子自由度：r=1μ空间维数：2广义坐标：广义动量：能量：相迹：以x,p为直角坐标，可构成二维的μ空间。若给定能量，代表点的轨道是如下椭圆：目前六页\总数五十六页\编于五点7经典力学中：可取任何正值量子力学中：量子化，取分立值，由量子数n决定，见图6.2目前七页\总数五十六页\编于五点83.转子rotator考虑质量为m的质点A被具有一定长度的轻杆系于原点O时所作的运动。直角坐标下，能量用球坐标表示目前八页\总数五十六页\编于五点9因为r不变转子是这样一个物体，它在任何时刻的位置可以由其主轴的空间方位角确定。自由度：r=2μ空间维数：4广义坐标：广义动量：动能：目前九页\总数五十六页\编于五点10双原子分子的力学模型将双原子分子看作一根细棒的两端联结着质量为m1和m2的两个质点绕其质心的转动。然后将两体问题转化为单体问题。即将公式里的m换成约化质量：质心根据经典力学，在没有外力作用的情况下，转子的总角动量是一个守恒量，其大小和方向都不随时间改变。由于r垂直于M，质点的运动是在垂直于M的平面内的运动。如果选M的方向为z轴，则必在xy平面内运动。这时双原子分子转轴过质心且垂直于二原子核连线。目前十页\总数五十六页\编于五点11§6.2粒子运动状态的量子描述一.量子描述1.微观粒子具有波粒二象性

法国物理学家德布罗意于1924年提出一个假说，认为一切微观粒子都具有波粒二象性，并把标志波动性质的量ω和k通过一个普适常数用标志粒子性质的ε和p联系起来。德布罗意关系普朗克常数称为基本的作用量子。这个作用量子成为判别采用经典描述或量子描述的判据。

目前十一页\总数五十六页\编于五点122.测不准关系测不准关系and（严格的

这生动地说明微观粒子的运动不是轨道运动，是微观粒子的运动状态不是用坐标和动量来描述的，而是用量子态（波函数）或量子数来描述的。

量子态由一组量子数表征，这组量子数的数目等于粒子的自由度数。方差(涨落)的概念见附录B.12

继德布罗意之后，1927年，海森堡在研究粒子和波动的二象性时，得到一个重要的结果：微观粒子不可能同时具有确定的动量和坐标。即用Δq表示粒子坐标的不确定值和Δp表示粒子动量不确定值，在量子力学所容许的最精确的描述，Δq与Δp的乘积满足目前十二页\总数五十六页\编于五点13二.几个例子1.自旋(spin)质量:电荷：自旋角动量量子数：1/2自旋磁矩：自旋角动量：沿z方向加外磁场B，角动量S在z方向上有两个独立分量自旋磁矩和势能为描述自旋状态只要一个量子数目前十三页\总数五十六页\编于五点142.线性谐振子能级非简并Whatabout3D?3.转子量子理论要求角动量平方和角动量z分量是量子化的自由度为2，等于量子数个数：转子能量：基态能级非简并，激发态简并，简并度为2l+1Degenerate!目前十四页\总数五十六页\编于五点154.自由粒子根据周期性边界条件3维3个量子数：基态能级非简并，激发态简并目前十五页\总数五十六页\编于五点16三.粒子的状态与空间体积元的对应关系由测不准关系可知，坐标和动量不能同时取确定的值，所以量子态不能用空间的一点来描述，而应用一个体积元，称为相格。自由度为r的粒子，相格大小为：如果将空间划分为若干个体积元Δωl（l=1，2…），则在体积元Δωl中粒子可能的状态数为Δωl/hr。目前十六页\总数五十六页\编于五点17四.自由粒子的量子态数根据粒子的状态与空间体积元的对应关系

三维自由粒子的一个状态对应于空间中体积为h3的一个体积元，以V表示容器的体积，在体积V内，在px到px+dpx，py到py+dpy,pz到pz+dpz内，对应空间中体积元Vdpxdpydpz,三维自由粒子可能的状态数为：

一般常用动量空间中的球极坐标p,θ,φ，来描写自由粒子的动量,p,θ,φ与px、py、pz的关系为：

；用球极坐标，动量空间的体积元为：目前十七页\总数五十六页\编于五点18在体积V内，动量在p到p+dp,θ到θ+dθ,φ到φ+dφ,自由粒子可能的状态数为：D(ε)表示单位能量间隔内的可能状态数，称为态密度。以上的计算没有考虑粒子的自旋，如果粒子的自旋不等于零，还要考虑自旋的贡献。

在体积V内，动量绝对值在p到p+dp的范围内，自由粒子可能的状态数为：以能量形式表示，即,因此在V内，在的范围内，自由粒子可能的状态数为：目前十八页\总数五十六页\编于五点19§6.3系统微观运动状态的描述

全同的粒子系统就是由具有完全相同的属性（相同的质量、自旋、电荷等）的同类粒子所组成的系统，如自由电子组成的自由电子气体是全同的粒子组成的系统。

理想气体就是由近独立的粒子组成的系统。

近独立粒子体系，是指粒子之间的相互作用很弱，相互作用的平均能量远小于单个粒子的平均能量，因而可以忽略粒子之间的相互作用。将整个系统的能量表达为单个粒子的能量之和：目前十九页\总数五十六页\编于五点20

相依粒子体系又称为非独立粒子体系，体系中粒子之间的相互作用不能忽略，体系的总能量除了包括各个粒子的能量之和外，还包括粒子之间的相互作用的位能，即：一.系统微观运动状态的经典描述

全同粒子是可以分辨的（经典中）。如果在含有多个全同粒子的系统中，将两个粒子的运动状态加以交换，交换前后，系统的力学运动状态是不同的。如图6.42Nr个变量来确定。系统微观状态由所有粒子的微观运动状态决定。目前二十页\总数五十六页\编于五点21任意交换一对粒子的不同运动状态得到新的系统微观状态。确定系统的微观状态必须指出各粒子占据的相格。目前二十一页\总数五十六页\编于五点22二.系统微观运动状态的量子描述1.微观粒子全同性原理全同粒子是不可分辨的1212经典量子图6.5对于不可分辨的全同粒子，确定系统的微观状态归结为确定每一个体量子态上的粒子数。目前二十二页\总数五十六页\编于五点232.玻色子(bose)和费米子(fermi)玻色子：即自旋量子数是整数的。如光子自旋量子数为1、π介子自旋量子数为0，是玻色子。费米子：即自旋量子数为半整数的。如电子、质子、中子等自旋量子数都是1/2，是费米子。不可分辨性导致对称性要求玻色子：交换对称费米子：交换反对称目前二十三页\总数五十六页\编于五点243.三类系统凡是由玻色子构成的复合粒子是玻色子，由偶数个费米子构成的复合粒子是玻色子，由奇数个费米子构成的复合粒子是费米子。如：4He是玻色子，3He是费米子费米子和玻色子遵从不同的统计规律。玻尔兹曼系统：由可分辨的全同近独立粒子组成，且处在同一个个体量子态上的粒子数不受限制。

玻色系统：由不可分辨的全同近独立的玻色粒子组成，不受泡利不相容原理的约束，即处在同一个个体量子态上的粒子数不受限制的系统。

费米系统：由不可分辨的全同近独立的费米粒子组成，受泡利不相容原理的约束，即处在同一个个体量子态上的粒子数最多只能为1个粒子的系统。

目前二十四页\总数五十六页\编于五点25举例说明设系统由两个粒子组成，粒子的个体量子态有3个，如果这两个粒子是定域子、玻色子、费米子时，试分别讨论系统各有那些可能的微观状态？微观粒子还受到空间的限制，因而分为定域的和非定域的，定域系统可用粒子的位置来分辨粒子，对于非定域系统，必须考虑微观粒子的全同性原理。定域系统玻尔兹曼系统

目前二十五页\总数五十六页\编于五点26玻尔兹曼系统玻色系统费米系统态1态2态3ABABABABBAABBAABBA态1态2态3AAAAAAAAAAAA态1态2态3AAAAAA9个６个３个目前二十六页\总数五十六页\编于五点27经典统计物理学：在经典力学基础上建立的统计物理学量子统计物理学：在量子力学基础上建立的统计物理学两者在统计原理上是相同的，区别在于对微观运动状态的描述。在一定的条件下，可以由量子统计得到经典统计的结果。目前二十七页\总数五十六页\编于五点28§6.4等概率原理平衡态统计物理的基本假设——等概率原理一.宏观状态和微观状态的区别宏观状态：平衡状态下由一组参量表示，如Ｎ，Ｅ，Ｖ微观状态：由广义坐标和广义动量或一组量子数表示。为了研究系统的宏观性质，没有必要实际上也没有可能追随微观状态的复杂变化。只要知道各个微观状态出现的概率，就可以用统计方法求微观量的统计平均值。因此确定各微观状态出现的概率是统计物理的根本问题。目前二十八页\总数五十六页\编于五点29玻耳兹曼在19世纪70年代提出了著名的等概率原理：对于处在平衡态的孤立系统，系统的各个可能的微观状态出现的概率是相等的。二.等概率原理既然这些微观状态都同样满足具有确定N、E、V的宏观条件，没有理由认为哪一个状态出现的概率更大一些。这些微观状态应当是平权的。等概率原理是统计物理学中的一个合理的基本假设。它不能从更基本的原理推出，也不能直接从实验上验证。它的正确性由它推出的各种结论与客观实际相符而得到肯定。目前二十九页\总数五十六页\编于五点必须计算每个宏观态的微观态数。宏观态由热力学量决定，如等。或。微观态的标定，指定量子态，确定粒子对量子态的分布，改变分布，获得所有的微观态。态1态2态3AAAA费米统计AA微观态数：3引言§6.5分布和微观状态30目前三十页\总数五十六页\编于五点31一.分布能级简并度粒子数一系统，全同近独立，具有确定的Ｎ，Ｅ，Ｖ分布满足：分布确定了每个能级上的粒子数目前三十一页\总数五十六页\编于五点32二.分布和微观状态的区别分布只确定了每个能级上的粒子数微观状态：对于玻色和费米系统，要求确定每个量子态上的粒子数；对于玻尔兹曼系统，要求确定每一个粒子的个体量子态。给定了一个分布，只能确定处在每一个能级上的粒子数，能级的简并度为，它与微观状态是两个性质不同的概念。微观状态是粒子的运动状态，它反映的是粒子运动特征，即量子态。粒子占据量子态的不同方式数叫做微观状态数。就一个确定的分布而言，与它相应的微观状态数是确定的。不同的分布，有不同的微观状态数。定域系：确定系统的微观状态要求确定每一个粒子的个体量子态。非定域系：确定系统的微观状态要求确定处在每一个个体量子态上的粒子数。目前三十二页\总数五十六页\编于五点33分布分布对应的微观状态数微观状态态1态2态33083个可分辨粒子占据2个能级（）的分布与微观状态目前三十三页\总数五十六页\编于五点34分布分布对应的微观状态数微观状态态1态2态321123个可分辨粒子占据2个能级（）的分布与微观状态目前三十四页\总数五十六页\编于五点35分布分布对应的微观状态数微观状态态1态2态31260313个可分辨粒子占据2个能级（）的分布与微观状态目前三十五页\总数五十六页\编于五点36分布分布对应的微观状态数能级１能级２态1态２态３3042131220313个玻色子占据2个能级（）的分布与微观状态目前三十六页\总数五十六页\编于五点373个费米子占据2个能级（）的分布与微观状态分布分布对应的微观状态数能级１能级２态1态２态３2113个费米子占据2个能级（）的分布与微观状态分布分布对应的微观状态数能级１能级２态1态2态3态4212122目前三十七页\总数五十六页\编于五点38三.三种统计的微观状态数下面我们将分别讨论玻耳兹曼系统(定域系统)、玻色系统、费米系统与一个分布相对应的系统的微观状态数。就一个确定的分布而言，与它相应的微观状态数是确定的。不同的分布，有不同的微观状态数。如前例。粒子可以分辨，每个个体量子态能容纳的粒子个数不受限制。1.玻尔兹曼系统分布相应的系统的微观状态数为：目前三十八页\总数五十六页\编于五点39例如：3个可分辨粒子，2个能级，某分布为2个编了号的粒子占据能级1的2个量子态的方式有4种：1个编了号的粒子占据能级2的1个量子态的方式有1种：3个粒子交换数是3!=6323121同一态上粒子交换，不产生新的微观状态，交换数为：该分布对应的微观状态数为：12121221目前三十九页\总数五十六页\编于五点402.玻色系统粒子不可分辨，每个个体量子态能容纳的粒子个数不受限制。3.费米系统粒子不可分辨，每个个体量子态最多只能容纳一个粒子。目前四十页\总数五十六页\编于五点

分布对应的微观态数A.

玻耳兹曼系统（定域系统）（玻耳兹曼分布）粒子可以编号。确定，只有移动和交换粒子可能改变系统的微观态；例如a.

移动：个粒子在个量子态中不同放置导致不同微观态。41目前四十一页\总数五十六页\编于五点b.

交换：不同的能级之间的粒子交换导致新的微观态。N个粒子的总交换数N!改变微观状态的粒子交换的有效次数：个粒子在个量子态中放置的不同方式的数目所以分布对应微观态数同能级内粒子交换总数。42目前四十二页\总数五十六页\编于五点B.

玻色分布粒子不可区分，每量子态的粒子数不限。不动量子态与粒子交换导致不同微观态.不动量子态与粒子交换总数量子态交换数粒子交换数43目前四十三页\总数五十六页\编于五点C.

费米分布个量子态中选个，每个置一个粒子的方法。粒子不可分辨，每一个个体量子态最多只能容纳一个粒子。44目前四十四页\总数五十六页\编于五点45

式（6.5.5）称为经典极限条件，也称非简并性条件。经典极限条件表示，在所有的能级，粒子数都远小于量子态数。如果在玻色系统和费米系统中，任一能级εl上的粒子数均远小于该能级的量子态数，即此时有：经典极限条件目前四十五页\总数五十六页\编于五点46空间

足够小，处在同一相格内的代表点，代表相同的运动状态。四.经典统计中的分布和微观状态数对于经典系统，由于对坐标和动量的测量总存在一定的误差，假设，这时经典系统的一个运动状态不能用一个点表示，而必须用一个体积元表示，该体积元的大小为表示经典系统的一个微观状态在空间所占的体积，称为经典相格。相格对应运动状态目前四十六页\总数五十六页\编于五点47将空间划分为许多体积元，以表示运动状态处于内的粒子所具有的能量。