理论力学习题

3.1半径为的光滑半球形碗，固定在水平面上，一均质细棒斜靠在碗缘，一端在碗内，一端在碗外，在碗内的长度为，试证棒的全长为：证：设棒长为l，质量为m，其受力分析如图所示，据平衡方程得：

⑴

(2)(3)

(1)(2)(3)式联立得：证毕。

所以(1)(2)(3)式联立得：

3.3两根均质棒AB、BC，在B处刚性连结在一起，且形成一直角，如将此棒的A端用绳系于固定点O上（如图所示），则当棒平衡时，AB棒和竖直直线所成的角满足下列关系：，

其中a

、b

为棒AB和BC的长度，试证明之。解：设均质棒线密度为，

依平衡方程得：

⑴

(2)

证毕。所以：(1)(2)两式联立得：(2)

⑴

3.5一均质的梯子，一端置于摩擦系数为1/2的地板上，另一端斜靠在摩擦系数为1/3的高墙上，一个人的体重为梯子的三倍，爬到梯子的顶端时，梯子尚未开始滑动，则梯子与地面的倾角，最小当为若干？⑴

(2)(3)

解：建立直角坐标系，设人爬到梯子顶端时梯子与地面倾角为，受力分析如图所示，平衡方程为：以上五式联立得：

(5)

(4)

⑴

(2)(3)

3.8半径为R的非均匀圆球在距中心r处的密度可以用下式表示：解：绕直径的转动惯量：式中及都是常数，试求此圆球绕直径转动时的回转半径。绕直径转动时的回转半径为：圆球的质量：

转动惯量3.9

立方体绕其对角线转动时的回转半径为:试证明之。式中d为对角线的长度。证：设立方体的边长为a，取立方体的中心为坐标原点，坐标轴平行于棱边，则为惯量主轴。回转半径为：

则：

对角线长：对角线方向余弦为：

解：取如图所示的圆环，其所受摩擦力矩为：

圆盘所受摩擦力矩为：

3.10一均匀圆盘，半径为a，放在粗糙水平桌上，绕通过其中心的竖直轴转动，开始时的角速度为，已知圆盘与桌面的摩擦系数为，问经过多少时间后盘将静止？由刚体定轴转动方程得：圆盘转动惯量为：

薄片受空气阻力距为：解：如图所示，在均质薄片上取一宽为x的长条做微元，微元到转轴距离为dx，则微元受空气阻力距为：

3.12矩形均质薄片ABCD，边长为a与b，重为mg，绕其竖直轴AB以初角速度转动，此时薄片每一部分均受到空气的阻力，其方向垂直于薄片的平面，其量值与面积及速度平方成正比，比例系数为k，问经过多少时间后薄片的角速度减为初角速度的一半？由定轴转动动力学方程得：薄片绕竖直轴的转动惯量：

3．13一段半径R为已知的均质圆弧，绕通过弧线中心并与弧面垂直的轴线摆动，求其作微振动的周期。解：设弧的线密度为，

由对称性知，质心C在ox轴上，则：

对通过O点的竖直轴的转动惯量：

故振坊动周坑期为程：微振驰动转动药方程柿为：3．14试求拼复摆爽悬点趴上的略反作材用力伴在水摊平方杆向的共投影Rx与竖扩直方眼向的俘投影Ry，设此洲摆的敢重量绑为mg，对转控动轴霸的回征转半矛径为k，转动抚轴到竟摆中检心的奔距离催为a，且摆帐无初办速地拌自离下平衡顶位置航为一溜已知馋角览处兆下降彼。解：去掉约束以约束反力来代替，设轴承对复摆的约束反力在水平方向、竖直方向的投影为，则有动力学方程：复摆健质心吓坐标擦：将（3）（6）代纲入（4）（5）得短：复摆掘运动泛过程侍中，遵只有泡保守老力做厌功，乳机械转能守菠恒：将（7）（8）代逐入（1）（2）得越：故复康摆悬槐点上供的反其作用娘力为汗：将（7）（8）代凯入（1）（2）得慨：3．15一轮耍的半点径为r，以匀蓄速v0无滑帝动地岛沿一挖直线岂滚动比，求益轮缘玩上任意一点射的速躬度及苗加速拜度。贸又最希高点摆及最父低点党的速烧度各燃等于顺多少蚀？哪督一点仍是转顽动瞬逆心？解：爹如图秘建立透坐标占系以o为基源点，P点的谜速度住为：

在最低点：，因无滑动，，该点相对地面的速度为零，即：，此点为转动瞬心。以o为基心点，P点的破加速关度为宰：所以岸：在最境高点从：3.白18一圆命盘以墓匀速崇度v0沿一而直线脑无滑番动地谁滚动推，杆AB以铰殖链固影结于影盘的根边缘舰上的B点，呀其A端则内沿上饿述直猛线滑庄动。娱求A点的串速度所与盘鹿的转盾角澡的随关系举，设筝杆长剩为l，盘的器半纹径为r.B对O点的叛矢径跳：以圆多心O为基飞点，B点的苹速度出为：解：如图建立坐标系以A为基咬点，B点的方速度点为：B对A点的规矢径幕：比较省（1）（2）两虎式得旺：（3）（4）（5）式抹联立僵得：（5）圆盘只滚不滑：（4）

由图劳知：（3）

比较施（1）（2）两疤式得戏：3.懂19长为2a的均萄质棒AB，以铰扩链悬尝挂于A点上洲，如港起始陈时，例棒自似水平滔位置验无初滨速地戏运动雁，并绢且当摊棒通朽过竖扩直位糊置时星，铰吹链突孙然松水脱，苦棒成旺为自倒由体洁。试通证在智以后宁的运照动中船，棒猴的质完心的门轨迹盯为一谢抛物混线，樱并求界当棒男的质琴心下扰降h距离底后，冈棒一多共转俱了几红圈？OCaaAB所以：为常量

解：如图所示，建立直角坐标系，棒由水平到竖直，只有保守力作功，机械能守恒。铰链斑松脱扫后，折棒只捕受重除力作近用，欺由质晌心运捏动定奥理得顺：于是：初始条件：OCaaAB对⑴给⑵式典积分柄两次办得：(3波)(寨4)两式寸消去t得：——质心房诚运动才轨迹根（抛熄物线醋）3.忘20质量终为M半径蹦为r的均炒质圆蝇柱体侵放在筑粗糙剪的水且平面倘上，宽柱的扶外面咳绕有海轻绳比，绳锡子跨莲过一呜个很崇轻的席滑轮止，并凑悬挂毛一质病量为m的物恭体，健设圆促柱体化只滚压不滑亩，并左且圆店柱体到与滑渡轮间因的绳扬子是溉水平洞的，娃求圆馒柱体招质心宫的加驳速度a1，物体疲的加屡速度a2及绳扮中张堡力T.解：疼取隔哪离体舌，受孩力分拉析如推图所规示。圆柱柴体作钉平面睡平行室运动材，物体m作平侮动，可动力竭学方倚程为饭：以上诉五式贷联立稍得：圆柱警体只各滚不已滑:2.伤21一飞嗽轮有滑一半复径为r的杆述轴，衔飞轮特及杆穿轴对洒于转左动轴堂的总项转动滴惯量千为I，在杆渡轴上选绕有使细而跪轻的缘瑞绳子百，绳户子的呈另一的端挂誉一质致量为m的重厘物，模如飞颜轮受味到阻守尼力见矩G的作衡用，雨求飞佣轮的崇角加活速度俊。若暑飞轮坡转过矩角萍后患，绳榴子与土杆轴晃脱离员，并滚再转乡丰过则角蛾后，早飞轮就停止坑转动骄，求悠飞轮音所受袖到的质阻尼初力矩柜的量输值。解：取隔涌离体乐，受屯力分阿析如冻图所笑示，建立藏微分粒方程赶如下翅：以上役三式换联立旱得飞羞轮的揪角加职速度者为：（4）（5）

（6）⑷⑸海⑹联何立得辆飞轮冬所受卸到的捐阻尼欺力矩梦的量招值为范：与时间无关，为匀加速转动，转过角后有：此后在阻尼力矩的作用下，飞轮转了角停止转动，由功能原理得：（4）2.飞22一面获粗糙柱另一张面光拒滑的很平板饱，质茂量为M，将光拴滑的坝一面挣放在磁水平叮桌上逝，木灰板上塞放一忆质量伶为m的球视，若编板沿钥其长读度方埋向突琴然有内一速边度V，球与重木板疾间的陕滑动窝摩擦停系数视为证，膀问此浩球经侵过多疫少时面间后嫂开始启滚动半而不永滑动衬？（2）分别代入（1）（3）得：

（4）

解：取隔离体，受力分析如图所示，建立坐标系，小球运动微分方程：木板筹作平屿动，颠其运翁动微埋分方舅程为政：（5）

（6）

小球叼最低守点的俩速度煮：（吼以c为基烫点）利用初始条件：

对（4）式积分得：

所以：

设小球从开始到只滚不滑所用时间为t，此时它的最低点与木板有相同的速度：，由（5）（7）式得：（7）利用初始条件：对（6）式积分得：（6）

又解老：取隔科离体祖，受枝力分探析如积图所裳示，裕建立禁坐标喘系,小球碎运动揭微分配方程圆：（独相对额于木更板）木板厌作平印动，暖其运糖动微动分方索程为握：（2）（4）分锡别代尸入（1）得谊：利用初始条件：对上式积分得：（2）（4）分厦别代似入（1）得攻：（2）代入（3）得：利用初始条件：对上式积分得：设小著球从扎开始课到只梨滚不棕滑所寸用时庸间为t，此时察它的略最低铜点相它对木那板的嗽速度伐为零歼，即彼：（5）（6）分庄别代苦入（7）得理：所以灭：3.错23重为W1的木只板受食水平毕力F的作稿用，炼在一拦不光框滑的戴平面阅上运塔动，滚板与肉平面恒间的漫摩擦猴系数拔为标，在朽板上鹅放一崖重为填的W2实心正圆柱前，此都圆柱籍在板锡上滚迅动而执不滑江动，锤试求涂木板巾的加耻速度a.解：搞取隔丛离体太，受治力分言析如钓图所疯示。称对圆材柱体巨（相拔对于青木板妄）：对木什板：圆柱体只滚不滑：

（4）代悲入（3）得：（1）（2）（5）式滥联立哄得：（7）代入（6）的木拔板的炉加速搞度为楚：又解栽：选锋惯性献系，筛取隔旅离体耀，受伐力分得析如心图所旁示。对圆绍柱体梁：对木持板：以c为基点：

（3）（4）（6）式央联立显得木骗板的比加速垫度为载：（1）（2）（5）式肃联立泻得：3.场25均质灰实心身圆球授，栖夜于另始一固陵定圆区球的柏顶端到，如罩使其沙自此猾位置益发生减些微坊偏离除，则枪将开漫始滚杯下。销试证李当两灵球的旦公共毁法线米与竖膝直线币所成扑之角五满足为下列很关系蜜时，早则将骆开始润滑动碑，式守中券为物摩擦庭角。解：集动球掉质心C作圆落周运点动，常受力出分析浸如图蔽所示府。根耀据质阶心运惜动定束理有汽：根据浆对质肉心的鸽动量崖矩定唯理有筐：当球河只滚尼不滑段时：以上饼四式爷联立谢得：于是：由机克械能仇守恒苏有：（4）（5）（6）联倚立得呈：其中：

证毕桥。设时，球开始滑动，此时应有：3.唇26棒的疲一端门置于塞光滑馆水平烂面上运，另售一端投则靠尊在光跃滑墙医上，辰且棒子与地些面的照倾角笨为唉，如草任其协自此阀位置侍开始校下滑刊，则搅当棒幻玉与地摊面的志倾角筋变为时，苗棒将砖与墙刺分离注，试贞证明某之。证：棍如图夹所示敌，建配立直那角坐杠标系o—xy，设棒沙的质亲量为m，棒长茫为2a，棒绕窑其质祸心转捧动的摔转动责惯量点为：由质俭心运索动定穗理和鬼相对产质心顶的动昼量矩耻定理相得棒智的运透动微暖分方霉程为奴：

设棒与水平面的夹角为，则棒的质心坐标、速度和加速度分别为：

将代入（1）（2）后，解出N1、N2代入（3）式，化简后得：将（4）式亩变量取替换模后积唱分：故棒叹与墙擦分离泊时，凉棒与丈地面粉的倾插角为袭：当棒淹离开台时，N2=0，则有遣：将（4）（5）代入后，再将代入（1）得：3.碍31转轮AB，绕OC轴转史动的见角速肌度为絮，而OC绕竖低直线OE转动刊的角妈速度保，茂试所求转窑轮最皱低点B的速针度。转轮望的角欠速度挥为：解：如图建立动坐标系方向遍垂直蝴纸面寸向里。3．32高为h，顶角柱为垄的吐圆锥四在一牙平面薯上滚亿动而侧不滑专动，废如已盘知此唉锥以变匀角伞速票绕科轴书转动搞，试让求圆疤锥底培面上A点的左转动谅加速胶度a1和向雨轴加鲜速度a2的量墓值。圆锥高转动伍的角疲速度垒为：圆锥钩只滚太不滑矮：所以：(也可直接从图中求得)解：如图建立动坐标系圆锥构转动蚁的角甲加速侮度为喜：A点转足动加耍速度赵：A点向姑轴加夜速度：或：3.广28半径简为r的均柴匀实岂心圆厚柱，谣放在异倾角遭为析的稠粗糙穗斜面映上，虑摩擦脑系数洗为柜，振设运超动不拨是纯仙滚动皱，试刘求圆努柱体潮质心沈加速畏度a及圆桥柱体锣的角炸加速扶度.解：巨圆柱影体受猪力分教析如书图所文示，其运立动微靠分方蝇程为伴：圆柱体连滚带滑：

以上三式联立得：将代入上式得：3.租29均质屋实心止圆球坚和一远外形绪相等侵的空算心球据壳沿也着一谋斜面允同时沸自同良一高蜡度自哀由滚渗下，欧问哪缓一个忍球滚驳得快结些？无并证真它们齐经过四相等街距离言所需工的时咐间比舅是。解：圆柱笛体受玻力分赌析如眉图所县示，其运遮动微觉分方花程为合：只滚岔不滑友：以上拦三式放联立伏得：

实心球滚得快。空心球壳：实心圆球：

补充臂题1半径议为a的均祸匀实序心球伙以速见度粘在什水平膝面上传滚动悦，此毁球和摔一个封高度聋为h<最a的台啄阶作线非弹筝性碰闸撞，挨如图抖所示狗。试昌用h和a表示轮出能幕使球盐越上员台阶是的最归小速吸度，睁假定宝在碰醋撞前吐不滑情动。解：击对碰嗓撞问皱题，笋重力跑可忽匙略不虫计，爱球在庸碰撞伟前后辫对接瞎触点远的动疤量矩劣守恒披。碰脖前的铃动量卡矩：(只滚露不滑易：)碰后猛的动绸量矩分：动量庆矩守谷恒:（1）——跃上似台阶终的最再小速刺度。（1）（2）两式联立，消去得：（2）碰撞伟后，帅球绕犬接触桐点做父定点射转动榨，若凶要越挡过台场阶，钉由机浮械能疮守恒公有：补充翁题2一均切质的社直杆AB长2a，直立晃在粗失糙的砍跳水艰板上锤，下仪端B位于拼跳板悠的边仅缘，艰直杆瞒稍受盆振动餐就绕抖点B翻倒讨，证努明：液当直宪杆转犁过一践锐角坝时，珠才离资开跳淹水板胀下落故，且灰求此个时杆雪的角筋速度名。解：狠直杆诞作平拼面运乒动，牌受力坛分析锅如图骗所示恨，质累心运甚动的看法向帅方程外为：直杆才运动桐过程柳中，袖只有闸保守弃力做遗功，党机械他能守园恒。（2）（1）

（3）

将（4）代柿入（5）得古：（5）由（1）（3）得：

（4）

上述跳条件策与（1）（2）（3）式鲁联立粥得：当杆离开跳板时，N=0

，且此时：

补充耐题3、均