数学教师的“三项基本功”

数学教师的“三项基本功”郑毓信（2012）简介1965年毕业于江苏师范学院数学系；曾在中学长期任教；现为南京大学哲学系教授、博士生导师。1992年起享受政府特殊津贴。主要研究领域：数学哲学；科学哲学；数学教育与科学教育。已出版著作28部，发表论文300多篇。背景：课改十年的必要总结与反思聚焦教学观摩：“外行看热闹，内行看窍门。”更为一般的结论：“立足专业成长，关注基本问题。”（2010）进一步的思考：一线教师如何实现自己的专业成长？问题的细化数学教师是否应当具有自己特殊的基本功？数学教师的三项基本功：（1）善于举例；（2）善于提问；（3）善于比较与优化。一些具体工作郑毓信，“数学教师的三项基本功”，《人民教育》，2008年第18、19、20期连载，并已被收入“《人民教育》创刊60周年系列丛书”。郑毓信，《数学教师的三项基本功》，江苏教育出版社，2011基本定位“三项基本功”集中地反映了数学与数学教学（教育）的特殊性。“三项基本功”并非单纯的技能，而是专业能力的集中表现；特别是，就只有联系深层次的教学思想和教育思想我们才能真正理解它们的内涵和意义。我们并应依据自己的个性特征创造性地加以应用。一、“善于举例”与数学教学从“什么是数学”谈起？一个基本论点：“数学：模式的科学”（mathematics：thescienceofpatterns）数学所反映的不是某一特定事物或现象的量性特征，而是一类事物或现象在量的方面的共同性质。

进一步的分析数学基本特性：抽象性。“善于举例”的两个具体涵义：（1）如何能为抽象的数学概念举出适当的实例？（2）如何能够帮助学生由具体实例抽象出相应的数学概念？插入：学习心理学研究的相关结论“概念定义”与“概念意象”的必要区分。概念意象的多元性：它“由所有的相关实例、反例、事实和关系组成。”（维纳与赫什科威兹，1980）（1）什么是“适当的例子”？标准之一：相对于学生的可接受性；标准之二：典型性，即是能为相应的数学抽象提供必要的基础。这方面的一个基本事实：举例并非一件易事。[例1]“范例教学法”（R.Davis)为了帮助学生掌握负数的概念，特别是有理数的运算（如4-10=?），教师采用了一个装有豆子的口袋，再在桌上摆上一些豆子。教师先在口袋中装入4棵豆子，同时在黑板上记下“4”这样一个数字；然后从口袋中拿出10棵豆子，这时黑板上就出现了“4-10”这样一个算式。教师接着提问：（1）现在口袋里的豆子与一开始相比是变多还是变少了？（2）少了多少？…相关的分析这些实物和动作对于学生来说都是十分熟悉的。好的“认知基础”并应具有这样的性质：它能“自动地”指明相关概念的基本性质或相关的运算法则。这就是指，借助于这一实例学生可以顺利地作出相应的发现。如学生在此显然就可借助所说的实例顺利地实行4-10、5–8等运算，而无须依赖于对相应法则的机械记忆。[例2]“植树问题”的教学如何看待“植树问题”的教学？特别是，这一问题所发挥的究竟是案例的作用，还是其本身就体现了一些十分重要的规律？我们在教学中应当更加关注如何能以“植树问题”为背景抽象出普遍的数学模式：“分隔问题”。（2）如何帮助学生由实例抽象出相应的数学概念？关键之一：去情境；教学辩证性与艺术性：范例的作用与必要的抽象；相关理论：“变式理论”（“概念变式”）。核心思想：如何通过适当的变化与比较帮助学生掌握概念的本质。“概念变式”的主要内容：（1）“标准变式”与“非标准变式”： 教学中不应局限于平时经常用到的一些实例，而应有意识地引入一些“非标准变式”，从而就可防止学生将相关实例的一些非本质特性误认为概念的本质特性。（2）“网概念瓦变式忧”与睛“反非概刚念变皂式”涨：“非禁概念古变式伍”大言致地京就相咬当于弦“反吉例”介，这衡也就春是指更，除夏去“歇正例沙”以仗外，挡我们贫在教童学中蹄还应溪给出损若干从“反示例”贱，这届样通若过对乳照就组可帮刑助学位生更碑好掌裙握概派念的妄本质田。[例]么“认识鲁分数辩”引入疫：“分蛋喝糕”团。教慰师并削通过址简短裁讨论坐引出断了这析样一验个结洽论：羊“将现一个你蛋糕君平均绳分成浊两份击，每该份是才它的1/潜2。”问题豆：如白何以纸“变稀式理破论”清（概情念变跨式）侵为指狐导设坚计教格学从电而帮煌助学酸生较逢好掌票握分胁数的省本质涉？（1）希分割拣的对须象显戚然未玩必一架定要凝是蛋缓糕，博也可车以是启纸片燃或别谈的什辣么东园西；校对于盗分割送对象盲的外扒形我窄们也厦不应纸作任裕何限恩制：忘它们掠既可戚以是竞圆形速，也仿可是钓方形希或任宇何其汤它形叠状。（2）对滤分割搜方法悄也可万作出眠一定吼变化格。如均就长衣方形遣纸片谎的分耍割而懒言，咳可以丝式横着妻折，事也可有以竖器着折相，还辜可钭锹着折四；另蹈外，净除去满各个右“正晋例”毁以外限，我塔们也显应引片入一绍定的扩“反册例”亦，如迹按照索中位橡线分毒割的山梯形盈等（3）作画为进龟一步么的抽极象，妻我们贼又应猫由1/牺2逐步班扩展辣到1/域3，1/现4，……乃至2/蚁3，3/吼4，……。从至而，彼如果私仍然劲集中悼于“爸将一淋个蛋酬糕平奇均分泽成两愿份，屑每份违是它站的1/歉2”这一棉论述翻，我械们就皱可以想说，纺除去怀分割姓的对灰象与招方法薯以外崭，我后们也修应对猪“平脏均分雁成两喜份”露中的堆“两融份”穗以及梢所说辉的“呆每份暗”作悲出适狂当变剩化。（4）这缓事实抄上也惠可被瓣看成泳“非未标准乘变式唤”的淘一个呢实例哑，即努分配创的对佣象也誓可以蚕是2个蛋跌糕、3个蛋扯糕，孩而未文必一惨定要钉是1个蛋咏糕——容易趁看出汁，这扮一变韵化事衰实上编也就率意味院着我蜘们已葬经将香分析熄的着愁眼点肥由“秀（平俱均）冬分配预”这陈一实愚际活份动转板移到希了部酷分与文整体趣之间袖的关奋系，未后者慎并就混意味单着对适于分狭数本辉质更映为深养入的榴认识唇。回顾壤：如亿何帮呢助学症生由芹具体龙实例溪抽象管出相食应的拌数学禁概念屋？关键尚：通带过适牧当的求变化吐与比零较帮必助学州生掌身握相轻关概无念的辱本质夺。新的袜重要界发展雹：由脱“变嫌式理竟论”活到“技多元心表征厌理论昏”传统零的研预究：丹主要略集中河于如翻何帮们助学逃生很诉好地职掌握忆概念房诚的本斜质（覆单一背性）系。新的爬认识程：更决加强日调概骄念内厨在表幕征（许概念说意象益）的肢多元迅性，梁以及摄各方估面的丘必要落互补马与思赴维的赠灵活王性一些别相关李的提肤法布鲁阵纳（19佛64）的金三种妨意象抚形式愚：动积作的坟、图醋像的秧，和态符号铸的；Le浆sh&La档ud闷an（19图83）的今“五唱个维猛度”责：实轰物操腾作，项图像叼，日夏常语途言，仿符号栽语言柳、现授实情凑景。相应票的结齐论我们闸既应嚼高度性重视搞由实骗例向烦概念陆严格筋定义商的必籍要过竖渡，孙又应因适当延地“昂淡化卡形式牌”，夜高度驰重视哗认识示活动乘的复贺杂性惧（多舌元性双）与休整合恭性。具体行的教两学建灰议（1）形边象化而的描吓述与怕严格做定义冲的必思要互茅补。除去锈实际糟操作姥与情蚂境设恭置以荒外，印教学样中还晃应十职分重吃视“猾概念董的形况象化河（视熊觉化拔）”喊，如姥比喻永和手浇势的异适当菌应用遍，适伏当的窜图象寺表示滔，等狭等。关于稳“方物程”坑的三马个比厚喻：跌天平矩，架尾桥，肃网。相关馅的论笋述“教退师用辛手势铅说明妖自己靠的表钟征；苦或者译使用剃空间扬表征容，比管如代勤数学汇习中修的箭汉头说左明自茄己的铸表征貌；教恒师并随有意堆识地朋促使搅学生徒建构坏和运防用表僻征；肆教师相要求枕学生去以手武臂、震手指逐或身抄体移翼动等箩展现脖表征级的肌僻体运羽动；……覆”（普禽雷斯乏梅杰混，20易06）（2）抽象张思维盟与具端体思太维的魄必要翅互补一个双很好顽的经欠验：怪“在羽做小气研究歼时，漂学生尼一定帮要找偷到一胶个最炸根本军、最采具体汽、最夸直接尺的例抽子，奴然后姿把这裂个例岁子带毯进课方堂进扯行展内示，衣大家满交流纯、拓琴展。不”（送深圳爆市沙旱河小纱学关简于“租前置脖小研孩究”说的经任验之誓一，《人民考教育》，20盏12年第9期）（3）日常紧语言闪与数络学语坏言的岂必要失互补教学图中不嫌应停延留于泄严格哨的数润学语样言，榨而应葱注意愚应用顺日常自语言翼对相宽关内恰容作哨出必牲要的怀解释庸，并恐要求蒜学生忧用自驴己的磨语言撑说出个对数喘学概屠念的趋理解比，甚具至是守感受触。关键邀：我腾们既旺应对房诚学生咳的非驾正规爷解释秆持接皆受与发理解赏的态委度，颈同时谊又应伍注意虑维护壳数学斩的正瞒式意耽义。[例]正方恰形的餐认识教师然：“端什么识是正圾方形酱？”学生只：“漏方方寸正正诉就是饲正方姿形。膝”教师涂：“贝什么区是方塘方正培正？掏”学生掏：“啄就是扩四边宿相等由。”教师涨在黑都板上临画出薪菱形县，问秘：“幕这个泻图形股是否芝是正唐方形办？”学生悉：“迟不是副，因抓为它鹿不正置。”教师顺又在冰黑板背上画税一个胃矩形付，问净：“祝这是瘦否正川方形配？”学生旧：“金不是赠！因芦为这地个图杜形不炉方。伯”……土…教师富将学耗生回怨答得者正确奏的结醉论写掏在黑纳板上轮，回范答不杏正确把的不啦写，释最后照加以望补充矩总结复，抽恼象出抄正方皆形的耐定义兰。（4）操删作性赶认识查与结成构性尖认识献的必且要互饿补当前删应当万加强跟的环司节：腥活动疏的内算化；深由操钉作性疑认识遗向结权构性污认识戴的必旋要过天渡。相关珍的论溉述：叙“对笋概念潮教学都，课丸改以除后更菜为强脾调概屿念的崖生成柄，这对是正滥确的赶。但婶不能柄忽视敬对概这念本遗身的算分析跪，这拦可是及基本篇功。典”（圣陈永错明，20雾08）更为豪一般针的分羞析概念拆教学害的不誉同环何节：婚（概翠念的哗）生廉成、昌分析晃与组料织。相关遥的论帖述：瓜“为磁了理击解一拍个概宣念，顽一般颗说，茫一是固正反忧举例祝；二播是扣戏住定袍义的袍关键钢词语卡；三宣是注漫意特帮殊情却况；赚四是惭与有静关概童念进喜行比豪较，踪蝶找出拘概念幸的区听别和铺联系祸。”（陈鉴永明反，20疼08）一个时相关砌的问辣题：塞什么副是“轿数学右活动岔”？数学承活动醋的两酬个基感本形醒式：（1）概华念的锤生成陶、分仅析与弄组织饭；（2）问槐题的将提出张与解小决。举例套与“由问题祝解决泄”“解描决问应题时蔑，必耐须通百过提饿供相尾关案枝例……向学做习者教提供拔他们费不具料备的深经验……通过权在学歼习环休境中耍展示权相关昌案例福，……向学道习者勿提供律了一念系列含的经惕验和底他们持可能僚已经近建构盈的与旦这些变经验问有关俱的知副识，籍以便灰与当杆前的另问题炭进行害对比洗。”狸（乔忆纳森侄）相关澡的经堡验“我肉提倡漏‘一厦题一锣课，捐一课矛多题茎’——一节灯数学染课做梦一道壮题目俗，以值一道嗓题为芦例子斜讲解临、变会化、纤延伸念、拓饿展，层通过址师生绝互动侧、探鸽讨、蝇尝试芦、修军正，昌最后彩真正咽学到付的是默很多碑题的判知识旺。”晕（李妇成良赤，20沫10）更为宝一般悉的主匙张“双蹲基教肃学”忙的必贵要发扯展：基本卧技能寨，不标应求禾全，叠而应浆求变柱；基础果知识炒，不色应求关全，忘而应吐求联鱼。[例]回到冰“植域树问哨题”问题体：教惹学中西是否塘应当发特别悔重视爬“两刷端都苍种”捆、“埋只种蜂一端瞎”与牧“两宵端都烫不种刮”这员样三龄种情售况的弓区分霸，并赔要求物学生私牢牢责地记乱住相括应的急计算肤法则叙（“陈加一织”、刷“不扭加不册减”慰、“蛮减一俱”）悲，从遇而在伸面对佩新的嘉类似灿问题泻时就殖能不溜假思跌索地眉直接泻应用补？有益窑的思饮考就“环植树锋问题萝”而双言，泪在现斥实中氏是否甘真的稠只有妥“两轿端都泡种”犯、“礼只种袄一端医”、解“两箩端都苹不种爪”这炸样三显种情扁况？对于慨其它佛的可国能情种况我小们是妹否也予应要夏求学谅生总淡结出也相关秘类型崭，并陡牢牢掘记住绍相应吸的“耐规律厦”（丸“加榜二”啊、“津减二跟”、推“乘既二”塞、“能除二壮”……）？不同况的结挂论所谓感的“慰加一挑”、于“减轿一”索等法峰则都腥是针芽对具网体情勾况作想出的侧变化——从而茧，在山此所旦需要故的就灾不是饶“规勾律的汽应用罗”；神而是抵思维叛的灵承活性属，也牙即如库何能案够通希过基兼本模衬式的膊适当氏变化飘适应提变化秃了的俩情况盯。回顾疤：基怠本法妖则的芬学习勇，不骨应求盛全，遵而应博求变屈！插入梢：一公个“凶反例滩”教学嫁中的肥“病恩态现反象”渗（施鞠银燕游，《小学去教学》，20英11年第4期）镜：“小踪蝶明踢寄球，夕从3时踢储到5时，涌他踢速了几棚小时压？”裂我的茫孩子焰有得3小时连的，日通过谋数数迎就能亦检验屯出是劝错误娃的，校他们化却深饥信不躬疑：醋‘我鹿们学坚过植跪树问秒题，5-垂3+狠1=蜜3。”小结“善谢于举咬例”决有利豪于实死现“浆理解庸学习趣”。相关倦研究戒不应祥局限亦于如缩慧何能赵够针幻玉对具匠体内资容选炼择出朽适当聚的“额例子伶”，够也应满十分婚重视办如何旅很好迎地去劲处理吓数学宵的形辰式方石面与张非形齐式方错面之粥间的冷关系贪。基本臂技能饿的学筝习，屯不应咳求全薯，而萝应求谜变。二、津“善于意提问卧”与毫数学趁教学1丹.桨“问题遵”对撕于数任学和酬数学绸教学刮的特论殊重衡要性逼。（1）数糟学发墙展的括基本版模式叮：问题—问题君解决—新的井研究银问题—…闲…这就谊是指凳，“问题附”可出以被杆看成这数学哈研究已的实恰际出幼发点氏。一个末相关酱的现多象每个意数学鞭分支礼都具志有自也己特茅殊的疫基本白问题掌，相捷应的姓理论土正是徐围绕埋这些惯问题逃得到眉建立造的。（2）从天教学勾教学年的角星度看教学敢活动鸣实现鲜”双建中心复”的蚕关键四。中国武数学亏教学味的一尺项优碰秀传既统：演“教葛师试凭图获搁得一形种平悠衡，密教学朽也就叠变得首既以贴学生扑为中熔心又贤以教奶师为盛中心冰。”胜（姐马飞据龙，金“状什么需是好可的教承学？亡”，《人民势教育》，20证09年第8期）国际块上的示相关拉研究“那奥些自叶诩为莫绝对伙真理恶的建班议，痕无论朋认为映教学联应当兴完全切‘以端学生丛为中部心’盆，还螺是认照为教爬学应蹲当完硬全‘次由教窗师主芬导’柄，都毕得不折到研铺究的随支持粗，因久此不漠应当芳遵循佩。采域取何捎种教敞学方鼠法应岸当根居据具缸体情能况来缎决定修。”位（美虽国《数学昏咨询径委员照会最衔终报粘告》）进一找步的透思考在教脱学中挑如何凤才能茧真正公做到划既尊瞧重学哥生在陆学习符活动川中的卵主体榴作用飞，同剖时又唤能充赔分发吓挥教商师的侧主导领作用主？相关累的经樱验“河南杰省濮轿阳市覆第四学中学吹教学许改革征纪实话”券（《人民旱教育》，20共09年第6期）刘：拨“老叛师和妥学生应都应旬以问各题为塘中心枪进行武双向弹的互壶动，板实现松双主腔体的盖双互忙动。指”“辽棒宁省毁调兵贵山市功教育币内涵忧发展券纪实北”，《人民共教育》，20颤11年第20期）自：“20躬03年教策育局程提出湿‘以淡问题桌为中滋心设旧计’队课堂妥教学每，……经过8年摸插索和穴实践洋，形盼成教剑学模壳式，20疗11年正脾式命填名为双‘问湖题引争导教恼学法餐’。范”结论棵：数扩学教绞学中蔑的“王问题涝导引兴”教师芦在教持学中惹应当胳善于撕提出倍既有喘一定材挑战填性、魄同时筛又与鱼学生宜的认波知水宗平相欢适应坛的问竞题，拨从而窑很好逗调动放学生键的好建奇心赤，并拆能积任极地阳去进衡行学剑习，烦包括易深入舞地进针行思杯考和蚁探究助。应当耗注意抖的问锄题（1）这里很所说永的“苏问题溜”并律不只久是指纤源自贼实际哲生活著的问朽题，哑也包珍括其站它方农面的捏问题之，以卡及源真自数森学本程身的六问题久。相对荒于简务单地叶去提她出问蛋题而橡言，疫我们衡在教揭学中莲更应工注意让“问泳题情拉境”苦的创诉设。相关谱的论买述“问证题情版境在骆下述财的意器义上掠是与晃传统金的问口题很产不相隙同的狗：一郊个问匪题情柿境既素不能主被等旨同于厉问题卧本身畏，也撑不能跨被等旁同于逃如何鼓在教锐室中慰对所嗽说的敌问题委作出分说明电，它居还包既括了秋教师羽关于嫩在课属堂上旗如何介去组蚀织这精一问专题的从求解膜以及餐如何梅对相颗关解烟答进伯行验月证的秧构思安。从稀而，垄这就便可看歌成问液题与扣教学跳情境胳的一柳个组夜合”智；“喂问题纵情境器的目习的在膝于促贩进学乓生对披于新灰的知识识的稼建构及。”填（安党提卡换）（2）以积“大丝式问题膏”为边导向葡的数风学教冈学中国鹅数学西教学潮的现事实：陶中国晨的数惰学教柿师往葱往特犬别重榴视课迫堂提失问，坛但现巾实中息又普箱遍存缠在“意问题生”多哗而不威精的训弊病宿。新的赤努力聪方向与“筐问题针”多退而不脏精的及情况查相对钞照，稠教学外中应袜当突偶出主暑要问裹题、豪关键性问题签。一项划有意刑义的灶研究恼：“抛以‘信大问宰题’馒为导非向的尘数学地教学秆”（青黄爱未华）教学耕中的少关键我们缠在教鸟学中催如何切能够巾很好旱地去辅处理芽教学神的“材预设飞性”谦与“忧生成焦性”棵之间朋的关善系，浅也即县使得清所说女的主锦要问垄题真却正成彻为学件生自低己的跟问题逝，包衰括针秋对学册生的磁具体制情况俯作出何必要嫂的调盆整？[例1]横“异分倡母分芳数加绒减法约”的根教学哈（吴污正宪种）教师挪出示队了这也样3道题秩：1/帐4姓+陈7/猎12两=？1/铜4喉+钉5/源6=？1/宽4饼–桌1/锁7=？请樱同学男们试芝做。学生烛做完细订正炎后，根老师撒又提燃了这亿样几贺个问束题：问题1：这3道题晚同学押们都梅把异茅分母泛转化雅为同禾分母无分数痰，转挖化时生要注张意什汇么？问题2：转鱼化的确目的盾是什绍么？问题3：通扔过计乞算，极你认济为异献分母政分数辨加减漫法的域计算掘方法诱是什眠么？问题4：在嘉计算绕时要香注意厚什么检问题犹？[例2]喂“百分舌数的而意义押”的鞭教学偏（络黄爱怎华）教学录中教粪师首忘先要凡求学亩生自潮由地些提出削各种伪与百摄分数她直接型相关挡的问佩题；居但与竹“放艳任自恨流”旅不同凑，教可师通贡过对破学生拢提出贞的问保题进乓行梳古理归状纳出奥了以逢下几辉个问既题：问题1：什菌么是磁百分星数的域意义贯？问题2：百京分数狠有什亩么好扰处？问题3：在删什么洽情况捧下用快百分旦数？问题4：百闸分数略与分排数比产较有走什么古不同睁？分析彼与思蛮考当前牲的常丝式见做姿法：颂首先声要求暖学生汁自由滚地提贩出问互题，叠然后究再由返教师戒进行纪归纳穴梳理淘，从岛而引康导学警生集枝中到陈主要虏问题咸之上狼。关键我：我肿们究佛竟应球当如夕何去辨理解仙“使笑问题胶真正服成为士学生敏自己画的问如题”反？2.筝“善于轰提问乔”与纹帮助灯学生虚学会煤数学坏地思垫维改进节数学汪教学旋的一幕个重踪蝶要方宽向。当前凭应当宽特别洽强调西的一犁个环冷节：稍数学警教学搏的重诞点并联不在捆于教活会学留生如秧何去哄做，桥而应费更加甩重视签如何你去想炎！数学顽思维掌的具慰体表病现：量一些悔定型疮的问禾题与雁策略浪（“欧数学变启发牵法”沉）。必要瞧的学沿习（左聚焦斜“问证题解购决”布）走近趁波利河亚：脑“问傻题解石决”匠现代您研究共的主起要奠邪基者批。主要壤工作背：“株数学阿启发押法”窄（胃解题于策略排）的确研究代表牧性著丛作：《怎样奥解题》；《数学有的发冈现》；《数学养与猜默想》。实质援：“窜一些卷定型裂的问愚题和闻建议忆”。数学锹思维异学习挺的关所键数学侄思维明的学屯习，号不应亿求全鹊，而诞应求俱用。这也轧正是荡帮助边学生驶学会范数学羡地思痕维的贪关键壤所在绩：身铅传言彻教。相关屠的论遮述“教扎师的绒工作伸是通泊过向斧学生冒问他嚷们应运当自球己问仪自己引的问记题来滑对学坑习和势问题文解决迁进行花指导必。这巴是参僚与性乘的，懒不是魄指示偿性的捆；其钢基础贴不是节要寻两找正复确答伐案，辽而是受针对禾专业撞的问弦题解御决者周当时产会向院自己朴提出归的那裤些问叔题。孙”（贤巴拉恢布与露达菲购）[例]购“找次好品问估题”痕的教耐学问题秘：如最果24伞3个产观品（偏螺丝企钉）鸦中有赖一个展次品辨（较误轻）俯，用愉天平谷至少复称几行次能鸦保证法将把结它找仆出来斯？求解家这一登问题四的关琴键：垃特殊宣化方辅法的黑适当泛应用娃。问题艘的具堆体化我们素在此隙究竟涛应当成如何更通过n的适旱当选弟择来摆逐步扑解决谣这一疤问题础？前提忘：问曲题的贞适用箭变形碎：“筐如果n个产烫品（蹄螺丝剪钉）华中有长一个脖次品隶（较斗轻）稍，用划天平胡至少已称几捐次能磁保证睁将把勇它找盘出来参？”康）一些朗相关索的问伍题应当歪如何脾去进尘行称礼重？壳是两叙个一驼组地恢去称构重、女还是浴三个财一组船地去贷称重上，……？我们抹是否途应当练逐一葬地去僚进行悦研究五，也灶即依底次地砍研究n=板5、n=喇6、n=题7、n=泳8等情头况？就各降种新山的情先况而绢言，乒我们胶又应丈如何济去利食用已婶有的烟经验乘或知例识？……相关邻的策急略思绕想策略泽一：与“三佳分”掌的合络理性夜。（扎“不葡称”乌有时竿也是默一种恰“称宜”。桑）策略歉二：枯问题志的适围当归毫类。勉（有丙时产虾品多誉一个捉、少甲一个幕并不男会影菠响到清最终叙的答陕案。策略少三：放应当所充分偶利用往已获贪得的典成果保由简持到到虾繁地亡去开心展研桂究。策略迹四：沫思维丛的条晌理性鞠。应祸当帮刑助学飘生跳绿出各沃个具周体步肌骤并政从整葛体上马把握掘全部宝的解请题过钟程。相关剖的教赚学设完计郑毓种信，层“‘趴找次施品问油题’禁与数燥学思箭维“蓄，《小学是教学》，20腔11年第7期郑毓称信，《数学线教师懒的三肚项基芝本功》，江历苏教络育出屠版社词，第户四章由实胜践到奥理论特殊假化方晕法的请应用（梅倡森）由随吸意的器特殊切化去腾了解猪问题且；由系归统的蚕特殊恨化为脖一般枯化提棵供基类础；由巧随妙的氏特殊侵化对品一般检性结顽论进哭行检哪验。教学轰的重拨点与电难点我们调不应妈满足笋于教僻师自炮身能蔽够通客过数姥学思蚊维的采恰当扎运用杨成功显解决着这一败问题枝，也悄应通美过教染学帮叔助学坚生真帝正理晚解相麻应过捎程的奋合理住性，漂从而崖切实骨起到顶“帮辫助学野生初太步地蓄学会洞数学锅思维降”的某作用车。小结银：“升善于赚提问瓦”的身又一的重要如涵义教师扯在教厚学中唯应当要善于插针对耻当时浙的情伞况提筋出具迟有启手发性似的问紫题。“启赶发性险”的暮基本姓涵义旺：既崖有一自定的批启示等意义朋，即木是对响于学顶生思哥维的举发展夺具有格一定借的导陕向与戏促进捎作用瓶；但家又并柄非硬批性的规范蝇，而腹是有威一定攻的开丝式放性章或自洗由度些，从锁而就贼能给点学生诱的独驼立思踏考留应下充弊分的读空间春。[例]韦达魂定理溪的教纲学两种末不同拼的提滴问方德式和峰教学舰设计寇：（1）先杂列表竭让学湾生填瞒充，王然后畏问：这你认包为根臂与系后数有乱什么炼关系荒？方程X1X2X1+X2X1X2X2–X-12=0X2–6X+5=0X2–2X-35=0另一程种提速问方疯式（2）什压么是绑一元芳二次微方程惜的主央要成妹分？纱在一驶元二亚次方连程的榴根与浮系数江可能苹存在素什么若样的勒关系坡？如间何去根作出到发现逮？又傅应如脚何去代证明屈？插入欠：谷题超豪脸先生口诗一欣首（19才91）人言职数无著味，港我道将味无键穷。良师腹多启县发，跌珍本绳富精孟蕴。解题中岂一蔽法，街寻思扫求百鸦通。幸得注桑梓领教，吗终生吉为动匹容。3.数学搏教育座的更分高追基求：育努力区提高勒学生宪提出签问题最的能雅力能否世提出密恰当棍的问叨题正副是创仰造能兴力的躺一个梯重要这表现努。现实斤情况杆：中舟国学仓生较怖为薄裙弱的房诚一环咽。结论史：数魄学教里学应章当努亩力提眉高学顾生提仆出问亏题的伴能力主。两个蔽基本各认识（1）“禾两个蛇能力舟”并旋重：从应当煎同样化重视歪学生启解决顽问题嘉能力助与提傻出问孕题能物力的仗提高夫。（2）正浑如“成解题仰策略刃”的裂学习旱，学烤生提尼出问扣题能孩力的臭提高子也有失一个箩后天码学习柿的过蝇程，炭我们测并应愁深入沉地去割研究腔相应段的“斧提问库策略贪”。[例]灿“提问含与“孙从众拖”（寒祝家膨林）相关秀信息非：故脚事书升每套12元，授连环乔画每名套15元，织科学望书每室套18元。原题监：买5套故律事书谎和2套连急环画款，一蔬共要花付多脖少钱携？解答瞒：12友×5体+1昆5×取2=税60猫+3灶0=圾90（元丸）教师雕：谁庄还能乓再提巨一个击问题事？（1）买3套故话事书躺和5套连挣环画奋，一毕共要柜付多梢少钱勾？（2）买4套故倍事书纷和3套连歇环画耀，一指共要榜付多阔少钱拨？（3）买2套故烈事书驴和6套连笑环画批，一跑共要感付多挤少钱读？现实撑中的蹲问题乔：（1）满情足于期“简两单模治仿”劲；（2）将冤“创嚼新”肢等同辉于“坚标新第立异敞”。回顾（2）正另如“恼解题炒策略朱”的爽学习微，学誉生提各出问杏题能检力的种提高画也有尽一个抗后天谣学习草的过殊程，论我们钢并应启深入舒地去昨研究净相应偿的“膜提问岛策略况”。关键教师窝在这吃方面戚应当读发挥宵重要杨的指宽导作讲用，驶特别同是，盟即应奖善于支通过沃对于竹学生劳所提饶出的宿各种眨问题缎的及脾时评蜻价作脸出必忽要的锣引导榆；另腰外，竿教师座在教艳学中言也应轿切实牵起到唯“身评传言颂教”纳的作族用。提出各问题温的具废体策辫略一般颤化。求变宽（加摇大难持度）叮。反向青思维蛙（fo智cu盟s效ba休ck以wa肺rd）[例]回到似“找姜次品味问题输”原先愁的问垫题：异如果24业3个螺羞丝钉良中有招一个叶次品赢较轻巷，用脚天平释至少像称几蚁次能籍保证困将把坛它找借出来较？一般渔化：粪如果n个螺套丝钉苍中有众一个蛇次品火较轻椒，用甘天平饶至少毛称几技次能瓜保证荐将把秩它找摔出来驱？求变（1）诞如果命事先划只知剖道“维次品羡重量比不一吨样”借，而或不是争“次留品较晴轻”奏，结闯果有辜什么邀不同丑？（2）如薪果事检先知劳道有沫两个耻次品垫，而仁不是袄只有笋一个矮次品岂较轻连，结御果有爹什么俗不同慈？……[例]拼“反向茶思维暂”的急应用相关哗信息雷：故养事书姿每套12元，烦连环保画每潜套15元，捏科学卧书每撕套18元。原题醒：买5套故滔事书联和2套连浴环画席，一够共要熄付多央少钱菠？新的脉问题缴：一脸个学川生带理了90元钱饭来买鄙书，枣如果年要求段将90元钱焦全部们花完驱，他置应当献如何俘购买磨？更多矮的变旗化如果蚕要求歪将90元钱亿全部降花完宜，能究否全午部买熔故事扣书？屈能否嫩全部扭买连浆环画鸭或科衬学书闸？如果广要求那将90元钱各全部价花完卫，如赵何搭馋配可至以买慈最多趋的书慢；如百何搭申配买狡的书墓最少隔？小结“善涌于提坟问”隶的基泥本意帜义之旷一即权是有厉利于犬学生言学会玻数学盖地思奖维。这并蠢直接康关系耳到了虾教学愁中如拖何能特够很射好调锻动学鸟生的彻学习匪积极雕性，筑真正赛实现夕教学年活动岁的“贤双中喘心”某。“问屈题导漫引”选的三绑个境限界教学滨工作炮的创瓦造性片：教档学内蓬容的摄“问崖题化逆”；教学陕工作丙的艺香术性意：如缸何能无使相紧关的员问题躺真正忽成为满学生嫌自己副的问捆题？更高宜的水舌准：砍学生面所关殃注的已不蝴只是针原来棕的问谷题，亩所寻汗求的冶也不皂再是航单纯蕉意义似上的而解答客。”帐（M.La岭mp缎er夺t，19婶90）三、“善足于优存化”蹄与数状学教熊学1.膊“优化敞”对缠于数查学学蛮习的饼特殊携重要裂性。[例1]单位能数加谣法的赶三个头不同恨水平第一嫩，泽从头坊数起油（co坏un盆t悉al女l）；第二笔，枯“简封化的禽计数沙程序秋”：绝如从秧第一系个加诱数“冤继续走往后须数”乘。（co歌un腰t龟on）；第三崖，已料知事膝实的录应用财。例如此，9+眨7=（9+拨1）+6脉=1凯0+绣6=桐16[例2]算术浓方法备到代违数方的法的核比较“四窜则难昌题制沟造了捡许许按多多斩的奇棵招怪厚招。肃但是抄你跑嘴不远共、走强不远病，更泥不能碧腾飞……可是炕你要秋一引很进代朗数方灾法，搜这些青东西轻就都帮变成没了不来必要彻的、往平平蠢淡淡订的。侨你就明可以赢做了怜，而钳且每俘个人毫都可稿以做拨，溜用不艰着天肆才人愧物想家出许扇多招宁来才稼能做算，而个且他城可以锁腾飞泡。（姻吴文后俊）[例3]语言苍的必含要改叠进现代王的符耗号语骗言：w2惰/5认-跳z说3/贫3缴+忘x2黄y4晋/2率7中国军的传顶统方尝法：五三二七元二秩人麻三馆天燃二地红四从数筑学思住维的勇角度债看数学煌家们纤总是竞不满这足于斧某些值具体没结果腿或结绩论的智获得丘，而棵是希瞒望能漫够获架得更杯为深波入的听理解吗，后心者不幼仅导罚致了久对于付严格敲的逻抓辑证险明的耽寻求裹，也政促使座数学团家积曾极地灿去从房诚事进腐一步矿的研恢究，驻如在阅这些肝看上盘去并骨无联华系的不事实变背后赖是否饱隐藏认着某暮种普续遍的甚理论同？这芦些事训实能怪否被那纳入姨某个转统一后的数打学结蛇构等稻等；者数学各家们察也总樱是希谊望能阀达到倦更大覆的简睡单性筋和精待致性惑，如享是否蠢存在絮更为书简单恨的证虎明？伤能否闻对相卫应的验表述守方式露（包啊括符亦号等才）作粗出改厦进？许等等妥。结论应当殿明确陵肯定房诚“优丙化”程对于嫁数学繁学习竖的特呢殊重龟要性犹，反爱对放桑任自常流。“优厘化”绘的具体穴涵义慰：（1）显弦性层因面：宁方法榴的改顿进；眨结论散的推烟广；济更好寻的表沈述方井法的浴引入距；……（2）隐捷性层彩面，争观念冤的更辽新，贞新的爪品格约的养桑成；……更为秤深入悬的思每考什么蓄是学旺生数刺学思赴维发算展过站程的灾主要德形式后，是催“同绵化”河还是使“顺股应”滑？相关乱的论拐述：粗数学他思维乎的发始展同乎时包蛋括“北水平营方向任”上贼的发标展与严“垂炊直方堡向”趋上的天发展园。数学乞教学抗所应第特别扬关注曾的一亦个问融题“数各学的塔学习森不是逝一个茫连续焰过程礼，它罚必须皆重新娘组织除、重疤新认艳识，动有时委甚至岁要与裤以前迹的知见识和饭思考凉模式什真正太决裂邪。”趋（M.Ar禾ti蝴qu唐e，20溪04）相关最的历距史事计实从发蚀现负译数到翻把负村数当广作数户来使询用，遭其间吃差不无多经鸣过了袭整整50患0年；从发泉现虚茄数到巨得到侮一般懒承认扔，中幅间实堪际经铁历了25舅0年；……相应秆的思舅考“学广生主衫动探恨究”短作为渔一种泊教学饰方法范是否雅有其痰一定锐的局播限性紫或适肯用范牲围？我们奥又应批如何拢看待恐“先翻学后红教”慈这样理一种检教学婚模式币的普壮遍意润义？一般扮性的刃结论数学姜学习剩主要直是一绣个文院化继塌承的钓过程粉，我星们更她应清肺楚地施看到供数学颤思维挥与相邻应的滨“情灰感、奖态度释与价尸值”陈的后猎天获淹得性钥，教脏师并育应在狠这一座过程裕中发蜜挥重塔要的匙作用粒。应当摧更为灶全面室和深屿入地病认识闭数学乖中“魂优化誉”的蒜具体婚涵义读。[例]学生朗的“竟规律些性错岸误”有理枕数乘烫除法洗教学滴中经都常可茄以看远到的由一个丙现象舅：尽掏管两俯个问驼题具炮有完谨全相游同的窗数学梨结构坛，学傲生却献采用励了不虹同的势运算喷去进侍行求寻解：（1）某瓜种奶弱酪的盾售价新为每世公斤28元，5公斤洒这样策的奶穷酪售撑价是导多少排？（2）某享种奶被酪的抚售价线为每厘公斤27默.5元，0.历92公斤违这样下的奶辉酪售召价是呆多少刮？分析大多匪数学般生正呜是通流过先缓前的执学习闯逐渐擦形成姐了关乓于乘苹除运殃算的符一些玻观念易，特恒别是醋，由虑于学杨生在察开始犁学习兵乘除针法时蝇所接睛触到个的都斩是自理然数亭，因约此就夫很容故易形朵成以海下的千观念皮：“凶乘法策总是战使数弱变大瞎，除蕉法则历总是引使数煎变小管。”相关该的结雅论这正现是数料学教莫学中久所说宁的“想优化迈”的荷一个疮重要馅涵义待：我搜们应必当帮盾助学宾生及测时纠间正各弦种不条恰当口或错纺误的训观念松，包泳括对腰知识旬与认涛知结株构等旷作出好必要透的调绞整与建发展那。2.教学他中如劲何实夹现“瞎优化悟”？关键锹：如锻何能史够使库得“岗优化竭”真萌正成合为学含生的士自觉贝行为博，而无不是晓外部球的强砍制规匹范。[例1]惠“问题燃解决拘”的乖教学欲（解迫题策辅略：挎画图秆）问题劫：动孩物车语展，奏第一象天卖提了65辆车凉，第盼二天瞒销量粪增加摄了1/遮5，问谊：第屑二天多卖了作多少典？教学居重点遍：画差图策价略教学烫中的殊常态首先素要求朋各个铲学生稠相对椅独立但地通吃过画贸图去使求解掀问题其次务，为扁了实筒现学斯生间都的积趟极互河动，席教师胖通常孕又会忘要求涂一些揭学生汽向全缝班展兔示自惰己的使画图白方法雪。问题身：我跑们在语课堂图上是锄否应活当让创尽可族能多缩慧的学却生向拣其它健学生雨展示换自己住的画邮法，虽如直已接画65个小顽圈，摩画5个圈肾去代盆表65辆车墙，等刮等？教学练中的川常态上来胃展示跨的学宅生越安多，演效果素似乎衬就越台差：巨大多饮数学露生对罗于其后它学钻生所硬采取夹的方疏法往纪往视糟而不嘱见，栽根本惩不予掩关心刺，更哪不用英说与芦自己刮的方妹法进规行比山较。[例2]用2-感6的乘轨法口逗诀求寺商教师重出示吃问题衬：12个桃峡子，掌每只曾小猴矮分3个，倡可以恰分给欠几只翻小猴福？几种细不同暴的解诞决方增法：（1）实腰物操挺作；交（2）用乘法响口诀甜求商肺；（3）采先用“继连减册”的念方法杜；（4）采辉用“播连加塑”的基方法缓。……教学墙实录菊（片洞段四胶）师：异请小废朋友钳看黑扣黑板伟，现送在有废这么画多种雁方法撤来算12贺÷3，你冶最喜录欢哪浴种方低法？生：制我喜胆欢减胸法，的因为页它最墨特殊日。师：无不觉糟得它吃很麻蛾烦吗挑？生：疑不麻丛烦！师：尤谁再族来说钳说，胀你最蹈喜欢申哪种翅方法舞？生：巷我最百喜欢四加法鸽。师：躲为什苍么？生：射因为书我喜粗欢做厕加法恒，不撑喜欢盾做乘戏法。师：恢（无追奈地兆指着说用乘抹法口菠诀求胳商的浪方法决）有散没有执喜欢松用这底种方射法的经？有少吹部分阶学生驼响应肿。师：速其实很，用呆乘法梁口诀票求商径是最乒简便雕的方恳法。勉以后钱我们颜做除息法时繁，就设用这盛种方边法来日做。回顾惜：教蹈学中旨如何魂实现椅“优绒化”有？关键厌：如岩何能宏够使百得“咬优化丸”真苹正成孩为学跃生的殿自觉湾行为立，而废不是榴外部唤的强膏制规暖范。一些功特别资重要晶的环模节：例（1）多验元化欧；（2）比雄较；穷（3）反灰思。进一由步的阔分析多元洒化应嘴当被费看成阿优化偷、特芒别是妖比较本的必低要前椅提。肌从而敌，我母们在本教学该中就告不应脏为了宽“多俩元化疑”而惕多元馅化，僻更不挺是越捞多越秤好！比较豆的主胡要功植能：带诱发位反思磁与总滩结，蛾从而亲就能插自觉旷地实辞现优病化。教学禽中的阀关键第一撇，加颗强比坑较；第二狸，努才力促急进学睛生的抱反思盾与总露结，宰从而碑使得灵优化委真正百成为愁学生糠的自猎觉行柴为。[例1]渣“沉‘估算词’教予学实斥录”夏（吴赌正宪匹）引入害（1）：骑“青略青和撑妈妈紫一起热到超宽市购脚物，晌一共俭买了帽五种翠商品太，……妈妈恳带了20笔0元钱饰，不邀知够扛不够宵？”求。引入课（2）：竿“曹托冲称素象：如六次券称石棍头所加得出阅的重券量分不别为32袭8、34精6、30妥7、37啄7、39服8和35血2斤。于大象考大概蒜重多抚少？妄”教学愁实录教师提以实嘴例为抢背景末并通缴过实茧际估烂算和爽交流赴总结角清楚岂地展晨示了器估算复方法注的多席样性乔。几种惩不同康的估秆算方叮法：逢生1采取岭了所烫谓的枝“小手估”脱、即州是往棚小里些估的医方法30肆0×敬6=强18笋00；生2采取翻了‘舍大估点’、留也即匠往大色里估册的方坚法：40造0×蔽6=交24阁00：也填有学丽生（奇生3）坚嘱持认骂为精笨确计劲算要寸比估采算好牵。教学才实录师：企“我歉们继傲续研罢究，投精确盼值是21长08千克僻。同鞠学们孝，看移着这藏个精盆确计纸算的倦结果刚，再维看看火同学路们估滴的结膝果：24汉00，21哄00，20疗80，18真00陆……此时趁此刻算，你勺想对雷刚才召自己圈的估鬼算结夸果作强一点照评价漂或思璃考吗态？”生1：“学我估否的是18温00。我元觉得布我估王得太辰少了矩，那柱些数