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文档简介
1第十章球函数轴对称球函数2.连带勒让德函数3.一般的球函数球函数称为球（谐）函数，进一步分离变量，得到：其中：函数满足连带勒让德方程：第九章学到，勒让德方程通常有两个线性独立的级数解，通解应当是这两个解的线性组合。但是这些解在x=±1处发散！为了得到物理上有意义的有限解，即满足所谓“自然边界条件”，从而构成本征值问题。我们发现，对于奇数和偶数次幂的级数解，只有一个能满足自然边界条件的解，它要求ℓ必须为整数，从而使无穷级数截断为有限阶，称作ℓ阶勒让德多项式。第九章学到，勒让德方程通常有两个线性独立的级数解，通解应当是这两个解的线性组合。但是这些解在x=±1处发散！为了得到物理上有意义的有限解，即满足所谓“自然边界条件”，从而构成本征值问题。我们发现，对于奇数和偶数次幂的级数解，只有一个能满足自然边界条件的解，它要求ℓ必须为整数，从而使无穷级数截断为有限阶，称作ℓ阶勒让德多项式。4一.勒让德多项式轴对称球函数（m=0）(1)一般表达式级数表示约定级数中最高次幂的系数是反用系数递推公式5微分表示展开再求导L次可得积分表示6常用的勒让德多项式7图象89二.勒让德多项式的性质奇偶性Pl(-x)=(-1)lPl(x)零点定理L阶勒让德多项式为L次多项式，有L个零点。正交性正交性公式模完备性完备性公式广义傅立叶系数完备性应用例题10三完备性应用例题例1：把函数f(x)=2x3+3
x+4用勒让德多项式展开。11轴对称拉普拉斯方程的求解四勒让德多项式的应用12例
半径为r0
的半球，球面上温度分布为保持为，底面绝热，确定半球内空间的稳定温度分布u。13例4在本来是匀强的静电场中放置均匀介质球，本来的电场强度是E0，球的半径是，介电常数是，试求介质球内外的电场强度分析：球内电势球外电势衔接条件14
一.连带勒让德函数10.2连带勒让德函数设带入方程整理得:有限求对应的本征函数:15利用莱布尼茨求导规则把勒让德方程求导m次:所以通常记作:16注意:区分171819二.连带殖勒让清德函绣数的济性质奇偶有性正交街性正交姻性公式模完备按性完备岭性公亲式广义朝傅立催叶系奏数m相同锯的连尤带勒拐让德影函数茧是完踩备的2010呼.3球函虾数球函喂数方穿程一.球函也数21任取除其一,球函妈数方培程的州解为世球函续数:二.球函扮数的怀性质正交谷性22完备偏性例1.用球控函数逆把下蔑列函嚷数展道开例2.用球券函数京把星展挠开23三.拉普冒拉斯毕方程候的非铺轴对棍称定魂解问饥题拉普义拉斯侍方程阿在球撒形区艘域的套定解盏问题,如果杜是非俩轴对谈称的,问题搂与鞋有贞关,用一简般的办球函茂数例4.半径毫为的您球形冶区域锋内部娘没有谨电荷,球面熔上的毕电势为株为虫常数,求球突形区钱域内械部的别电势萄分布解:定解广问题积为24由边苗界条誉件知:解为哭一般临的球悼函数由于规解在搏内部绒有限,所以冒含睬项舍努去所以
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