高中数学人教A版函数的应用方程的根与函数的零点 全市获奖

宜宾市叙州区第一中学校结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的关系.宜宾市叙州区第一中学校韦达（Viete，Francois，seigneurdeLaBigotiere）是法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。他的《解析方法入门》一书（1591年），集中了他以前在代数方面的大成，使代数学真正成为数学中的一个优秀分支。他对方程论的贡献是在《论方程的整理和修正》一书中提出了二次、三次和四次方程的解。宜宾市叙州区第一中学校第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。宜宾市叙州区第一中学校探究：下列一元二次方程的根与相应的二次函数的图象有何关系？与与与宜宾市叙州区第一中学校引申:二次函数的图象和相应一元二次方程的根有何关系?判别式＞0＝0＜0方程的根两不相等实数根一个交点没有交点二次函数的图象与x轴的交点两个交点两相等实数根没有实数根宜宾市叙州区第一中学校对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点．函数的零点：思考：函数的图象与轴的交点和相应的方程的根有何关系？x宜宾市叙州区第一中学校结论:方程f(x)＝0有实数根

函数y＝f(x)的图象与x轴有交点

函数y＝f(x)有零点方程的根是函数的图象与轴的交点的横坐标.宜宾市叙州区第一中学校由此可知，求方程的实数根，就是求函数的零点。对于不能用公式法求根的方程来说，可以将它与函数联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根.注意：函数零点既是对应方程的根，又是函数图象与x轴交点的横坐标！零点对于函数而言，根对于方程而言．宜宾市叙州区第一中学校探究：如何求函数的零点？12-13-2y345-21245-1-3-4x宜宾市叙州区第一中学校观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象：在区间[-2，1]上有零点______；f(-2)=_______，f(1)=_______，f(-2)·f(1)___0(“＜”或“＞”)．在区间(2，4)上有零点______；f(2)·f(4)____0（“＜”或“＞”）．

－1－45<3<12345-112345-1-2-3-4y宜宾市叙州区第一中学校xyOabcd思考：观察图象填空，在怎样的条件下，函数在区间上存在零点？宜宾市叙州区第一中学校有<有<有<①在区间(a,b)上f(a)·f(b)____0(“＜”或“＞”)．在区间(a,b)上______(有/无)零点；②在区间(b,c)上f(b)·f(c)___0(“＜”或“＞”)．在区间(b,c)上______(有/无)零点；③在区间(c,d)上f(c)·f(d)___0(“＜”或”＞”)．在区间(c,d)上____(有/无)零点；宜宾市叙州区第一中学校结论xyOabc宜宾市叙州区第一中学校例1判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例.（1）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点.（）（2）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)≥0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点.（）（3）已知函数y=f(x)在区间[a,b]满足f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a,b)内存在零点.（）宜宾市叙州区第一中学校解：（1）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点.（）abOxy如图,函数y=f(x)在区间[a,b]上有3个零点,“在区间(a,b)内有且仅有一个零点”的说法是错误的. 宜宾市叙州区第一中学校（2）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)≥0，则

f(x)在区间(a,b)内没有零点.（）abOxy可知，函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)≥0，但f(x)在区间(a,b)内有零点.故论断不正确。如图,宜宾市叙州区第一中学校（3）已知函数y=f(x)在区间[a,b]满足f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a,b)内存在零点.（）abOxy虽然函数y=f(x)在区间[a,b]满足f(a)·f(b)<0,但是图象不是连续的曲线，则f(x)在区间(a,b)内不存在零点.如图, 宜宾市叙州区第一中学校练习2

若函数y=5x2-7x-1在区间[a,b]上的图象是连续不断的曲线，且函数y=5x2-7x-1在(a,b)内有零点，则f(a)·f(b)的值()A.大于0B.小于0C.无法判断D.等于零练习1函数f(x)=x3+x-1在下列哪个区间有零点（)A.(-2，-1)B.(0，1)C.(1，2)D.(2，3)CB宜宾市叙州区第一中学校由表可知f(2)<0，f(3)>0，由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点．方法1：用计算器或计算机列出x、f(x)的对应值表：例2.求函数f(x)=lnx+2x－6的零点的个数，并确定零点所在的[n，n+1](n∈Z)解：108642-2-4512346xyOx123456789f(x)-4-1.31.13.45.67.89.912.114.2f(x)=lnx+2x－6从而f(2)·f(3)<0,∴函数f(x)在区间(2,3)内有零点．宜宾市叙州区第一中学校y=－2x+6y=lnx6Ox1234y即求方程lnx+2x-6=0的根的个数，即求lnx=6-2x的根的个数，即判断函数y=lnx与函数y=6-2x的交点个数如图可知，只有一个交点，即方程只有一根。方法2：宜宾市叙州区第一中学校练习:求方程2-x=x的根的个数，并确定根所在的区间[n，n+1](n∈Z)．解：求方程

的根的个数，即求方程的根的个数，即在判断函数与