初中数学华东师大九年级上册第章图形的相似-相似三角形的性质

对应边成比例,对应角相等相似三角形：回顾相似三角形的判定:方法4:“三边”定理：三边成比例的两三角形相似。方法1:

“平行”定理：平行于三角形一边的直线和其他

两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。方法2:“两角”定理：两角对应相等的两三角形相似.方法3:“两边夹角”定理：两边成比例且夹角相等的

两个三角形相似.探究相似三角形对应边上的高有什么关系呢？DA′B′C′D′BCA相似三角形对应边上的高之比等于相似比.(1)相似比K=已知△ABC∽△A′B′C′(2)高之比：(3)结论证明证明已知:△ABC∽△A′B′C′，相似比为K，且AD、A′D′分别是BC、B′C′边上的高，求证：ABCD证明：∵△ABC∽△A′B′C′∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′∴∠ADB＝∠A′D′B′＝90°∴△ABD∽△A′B′D′∴∠B＝∠B′,∴∴A′B′C′D′探究相似三角形对应边上的中线有什么关系呢？DA′B′C′D′BCA相似三角形对应边上的中线之比等于相似比.(1)相似比K=已知△ABC∽△A′B′C′(2)中线比：(3)结论证明证明已知:△ABC∽△A′B′C′，相似比为K，且AD、A′D′分别是BC、B′C′边上的中线，求证：ABCDA′B′C′D′证明：∵△ABC∽△A′B′C′∵BC＝2BD，B′C′＝2B′D′∴△ABD∽△A′B′D′∴∠B＝∠B′,∴∴∴探究相似三角形对应角的平分线有什么关系呢？DA′B′C′D′BCA相似三角形对应角的平分线之比等于相似比.(1)相似比K=已知△ABC∽△A′B′C′(2)角平分线比：(3)结论证明证明已知:△ABC∽△A′B′C′，相似比为K，且AD、A′D′分别平分∠BAC、∠B′A′C′，求证：ABCDA′B′C′D′证明：∵△ABC∽△A′B′C′∵2∠1＝∠BAC，2∠2＝∠B′A′C′

∴△ABD∽△A′B′D′∴∠BAC＝∠B′A′C′，

∠B＝∠B′

,∴∴12∴∠1＝∠2课堂练习(1)1、两个相似三角形对应边比为3:5，那么相似比为

，对应边上的高之比为

，对应边上的中线比为

，对应角的角平分线比为

。2、两个相似三角形对应角的角平分线比为1:4，可直接得到对应边上的高之比为

，对应边上的中线比

。3、△ABC的三边分别为3、4、5，△A′B′C′的三边长分别为12、16、x,则x=

。3:53:53:53:51:41:420练习探究相似三角形的周长有什么关系呢？相似三角形的周长之比等于相似比.结论证明（1）（2）（3）(1)与(2)的相似比=______(1)与(2)的周长比=______(2)与(3)的相似比=______(2)与(3)的周长比=______1∶

21∶

22∶

32∶

3∴ACBB′A′C′证明已知:△ABC∽△A′B′C′，且相似比为K，求证：证明：∵△ABC∽△A′B′C′∴∴已知：△ABC∽△A′B′C′，它们的周长分别为60cm和72cm，且AB=15cm，B′C′＝24cm求：BC、AC、A′B′、A′C′ABC解：∵△ABC∽△A′B′C′∴∵AB=15cm，B′C′＝24cm∴∴A′B′=18cm，BC=20cm∴AC=60－15－20=25cmA′C′=72－18－24=30cm例1探究相似三角形的面积有什么关系呢？相似三角形的面积之比等于相似比的平方.结论证明（1）（2）（3）(1)与(2)的相似比=______(1)与(2)的面积比=______(2)与(3)的相似比=______(2)与(3)的面积比=______1∶

21∶

42∶

34∶

9证明：过点A作AD⊥BC于D，过点A′作A′D′⊥B′C′于D′，∴∴∴证明已知:△ABC∽△A′B′C′，且相似比为K，求证：ABCDA′B′C′D′∵△ABC∽△A′B′C′如图所示，D、E分别是AC、AB上的点，且ABCDE,△ABC的面积为，求四边形BCDE的面积。解：∵，∠A=∠A例21、两个相似三角形对应边比为3:5，那么相似比为

，周长比为

，面积比为

。3:59:253:5练习2.如果两个相似三角形的面积之比为1:9，则它们对应边的比为______，对应高的比为______，周长的比为______。3.如果两个相似三角形的面积之比为2:7，较大三角形一边上的高为7，则较小三角形对应边上的高为______。1:31:31:3课堂练习(2)4.在△ABC中，BC=m，DE∥BC，交AB于E，交AC于D，则DE＝。ABDCE5、如图，已知DE∥BC，BD=3AD，S△ABC=48，求：△ADE的面积。解：∵DE∥BC∴∠ADE