九年级人教版相似相似三角形相似三角形的判定 - PPT

27.2.3相似三角形的判定（3）课前预习1.如图，在△ABC中，点D在AB上，下列

条件能使△BCD和△ABC相似的是（）A.∠ACD=∠BB.∠ADC=∠BDC C.AC2=AD•ABD.BC2=BD•BA2.如图，无法保证△ADE与△ABC

相似的条件是（）A.∠1=∠CB.∠A=∠C C.∠2=∠BD． 3.如图，D为△ABC的边AB上的点，

请补充一个条件

，

使△ADC∽△ACB．DB∠ADC=∠ACB4.已知40°和50°分别为两个直角三角形中的一个

锐角，这两个直角三角形

（选填“是”或

“不是”）相似的．是课堂精讲知识点1相似三角形的判定定理3两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．如图所示，在△ABC与△DEF中，∠B=∠E，，可判定△ABC∽△DEF.注意在利用该方法时，相等的角必须是已知两对应边的夹角，才能使这两个三角形相似，不要错误地认为是任意一角对应相等，两个三角形就相似.

注意：在两个直角三角形中，若两组直角边的比相等，则这两个直角三角形相似．【例1】如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，

点F在边CD上，且CF=3FD，△ABE与△DEF相

似吗？为什么？解析：先根据正方形的性质得∠A=∠D=90°，AB=AD=CD，设AB=AD=CD=4a，利用E为边AD的

中点，CF=3FD，得到AE=DE=2a，DF=a，则可

计算出=2，加上∠A=∠D，于是根据

相似三角形的判定方法即可得到△ABE∽△DEF.解：△ABE与△DEF相似．理由如下：∵四边形ABCD为正方形∴∠A=∠D=90°，AB=AD=CD设AB=AD=CD=4a∵E为边AD的中点，CF=3FD∴AE=DE=2a，DF=a∴=2，=2∴而∠A=∠D∴△ABE∽△DEF变式拓展1.已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，点D、E分

别AB、CB延长线上的点，CE=9，AD=15，连接DE.

若BC=6，AC=8，求证：△ABC∽△DBE．证明：∵在RT△ABC中，

∠C=90°，BC=6，AC=8∴AB==10∴DB=AD-AB=15-10=5∴DB：AB=1：2又∵EB=CE-BC=9-6=3∴EB：BC=1：2，∴EB：BC=DB：AB

又∵∠DBE=∠ABC，∴△ABC∽△DBE．5知识点2相似三角形的判定定理4两角分别相等的两个三角形相似，如图所示，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，那么△ABC∽△.

注意：在两个直角三角形中，若有一个锐角对应相等，则这两个直角三角形相似．【例2】如图，点D在等边△ABC的BC

边上，△ADE为等边三角形，DE与AC交于点F．（1）证明：△ABD∽△DCF；（2）除了△ABD∽△DCF外，请写出

图中其他所有的相似三角形．解析：（1）利用等边三角形的性质以及相似三角

形的判定方法两角对应相等的两三角形相似

得出即可；（2）利用对顶角的性质以及相似

三角形的性质进而判断得出即可．（1）证明：∵△ABC，△ADE为等边三角形

∴∠B=∠C=∠3=60°

∴∠1+∠2=∠DFC+∠2

∴∠1=∠DFC

∴△ABD∽△DCF（2）解：∵∠C=∠E，

∠AFE=∠DFC

∴△AEF∽△DCF

∴△ABD∽△AEF

故除了△ABD∽△DCF外，

图中相似三角形还有：

△AEF∽△DCF

△ABD∽△AEF

△ABC∽△ADE

△ADF∽△ACD．变式拓展2.如上图，要使△ADB∽△ABC，还需增添的条件是

（写一个即可）.∠ABD=∠C知识点3相似三角形的判定定理的综合运用

判定三角形相似的几种基本思路：（1）条件中若有平行线，可采用相似三角形基本

定理；（2）条件中若有一对等角，可再找一对等角或再

找夹边成比例；（3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；（4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角

或证明斜边、直角边对应成比例；（5）条件中若有等腰关系，可找顶角相等或一对

底角相等，也可找底和腰对应成比例.9【例3】如图，在△ABC，点D、E分别在AB、AC上，

连结DE并延长交BC的延长线于点F，连结DC、BE，若∠BDE+∠BCE=180°.请写出图

中的两对相似三角形（不另外添加字母和

线），并选择其中的一对进行证明.解析：由于∠BDE+∠BCE=180°，

∠BDE+∠ADE=180°，

根据等角的补角相等得到

∠ADE=∠BCE，加上

∠DAE=∠CAB，根据有两

组角对应相等的两个三角

形相似可判断ADE∽△ACB,

用同样的方法可证明△FCE∽△FDB.解：△ADE∽△ACB,△FCE∽△FDB.

对△ADE∽△ACB进行证明：

∵∠BDE+∠BCE=180°

而∠BDE+∠ADE=180°

∴∠ADE=∠BCE

即∠ADE=∠ACB

而∠DAE=∠CAB

∴△ADE∽△ACB变式拓展3.如图，在平行四边形ABCD中，

过点A作AE⊥BC，垂足为E，

连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B.（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=，AF=，求AE的长.（1）证明：∵在ABCD中，∴AB∥CD，AD∥BC

∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B∴∠AFD=∠C，而在△ADF与△DEC中，∠AFD=∠C，∠ADF=∠DEC∴△ADF∽△DEC；（2）解：∵在ABCD中，∴CD=AB=8由（1）知△ADF∽△DEC∴∴DE===12，在Rt△ADE中，由勾股定理得AE=随堂检测1.如图所示，给出下列条件：①∠ACD=∠ADC；

②∠ADC=∠ACB；③；

④.其中单独能够判定

△ABC∽△ACD的个数为（）A.1B.2C.3D.42.已知一个三角形的两个内角分别是30°，70°，

另一个三角形的两个内角分别是70°，80°，则

这两个三角形（） A.一定相似B.不一定相似 C.一定不相似D.不能确定BA3.如图，在△ABC于△ADE中，

，要使△ABC于△ADE

相似，还需要添加一个条件，

这个条件是

.4.如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直

平分线AD交于点E，交BC的延长线于点F．试说明：

△ABF∽△CAF．证明：∵AD是∠BAC的平分线

∴∠BAD=∠CAD(设为α)

∵EF⊥AD，且EF平分AD

∴AF=DF，∠ADF=∠DAF

∵∠ACF=∠ADF+α=∠DAF+α=∠BAC而∠AFC=∠AFB，∴△ABF∽△CAF∠B=∠E5.如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC

边上一点，且∠ADE=60°．

（1）求证：△ABD∽△DCE；

（2）若BD=3，CE=2，求△ABC的边长.（1）证明：∵△ABC是等边三角形∴∠BAC=∠B=∠C=60°∴∠CDE+∠CED=180°-∠C=120°