九年级人教版切线判断应用

圆与圆的位置关系:.....外离外切相交内切内含．O1．O2．O1．O2．O1．O2．O2．O1．O1．O2

两圆的位置关系数量关系及识别方法

外离

外切

相交

内切

内含d＞R+rd=R+rd=R-r0＜

d＜R-rR-r＜d＜R+r1.圆的周长和面积公式2.弧长的计算公式3.扇形的面积公式S=360nπr2L=180nπr=12LrS或四.圆中的有关计算:周长C=2πr面积s=πr2．Or4.圆柱的展开图:D B C A rhS侧

=2πrhS全=2πrh+2π

r25.圆锥的展开图:底面侧面L母L母hrS侧

=πrL母S全=πrL母+π

r2不在同一直线上的三点确定一个圆.O．．C．B．A三角形的外接圆与内切圆:三角形的外心就是三角形各边垂直平分线的交点.．OABC三角形的内心就是三角形各角平分线的交点.阶段方法技巧训练（一）专训2切线的判定和性质

的四种应用类型习题课圆的切线的判定和性质的应用较广泛，一般先利用圆的切线的判定方法判定切线，再利用切线的性质进行线段和角的计算或论证，在计算或论证中常通过作辅助线解决有关问题．(1)有交点，连半径,证垂直;(2)无交点，作垂直,证半径.证切线时辅助线的添加方法例1例2有切线时常用辅助线添加方法

见切点，连半径，得垂直.切线的其他重要结论(1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;(2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.要点归纳∵OB＝OD，∴∠CBD＝∠1.又∵∠CDA＝∠CBD，∴∠1＝∠CDA.∴∠CDA＋∠ADO＝90°.即∠CDO＝90°.∴OD⊥CD，又∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线，即直线CD与⊙O相切．(2)过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC

＝2，⊙O的半径是3，求BE的长．(2)∵AC＝2，⊙O的半径是3，∴OC＝2＋3＝5，OD＝3.

在Rt△CDO中，由勾股定理得CD＝4，∵CE切⊙O于D，EB切⊙O于B，∴DE＝EB，∠CBE＝90°.解：设DE＝EB＝x，在Rt△CBE中，由勾股定理得：CE2＝BE2＋BC2，则(4＋x)2＝x2＋(5＋3)2，解得：x＝6.即BE＝6.证明：连接OP.∵AB=AC,∴∠B=∠C.

∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，∴∠OBP=∠C.

∴OP∥AC.

∵PE⊥AC，∴PE⊥OP.

∴PE为⊙O的切线.5.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，PE⊥AC于E.

求证:PE是⊙O的切线.OABCEP6.如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M.求证：CD与⊙O相切．证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，∵⊙O与BC相切于点M，∴OM⊥BC.又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，∴OM＝ON，∴CD与⊙O相切．MN阶段方法技巧训练（一）专训2垂径定理的四种

应用技巧习题课垂径定理的巧用主要体现在求点的坐标、解决最值问题、解决实际问题等．解题时，巧用弦的一半、圆的半径和圆心到弦的垂线段三条线段组成的直角三角形，然后借助勾股定理，在这三个量中知道任意两个，可求出第三个．1技巧巧用垂径定理求点的坐标1．如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(10，0)，点B的坐标是(8，0)，点C，D在以OA

为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四

边形，求点C的坐标．如图，连接CM，作MN⊥CD于N，CH⊥OA于H.∵四边形OCDB为平行四边形，B点的坐标是(8，0)，∴CD＝OB＝8，CN＝MH，CH＝MN.又∵MN⊥CD，∴CN＝DN＝

CD＝4.易知OA＝10，∴MO＝MC＝5.在Rt△MNC中，MN＝∴CH＝3，又OH＝OM－MH＝5－4＝1.∴点C的坐标为(1，3)．解：3技巧巧用垂径定理计算3．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，

AO⊥BC，垂足为E，BC＝2.(1)求AB的长；(2)求⊙O的半径．(2)由(1)知AB＝BC＝AC，∴△ABC为等边三角形，∵AE⊥BC，∴∠EAB＝∠CAE＝∠CAB＝30°.即∠OAF＝30°，在Rt△OAF中，AF＝

，易得OA＝2，即⊙O的半径为2.(2)由(1)知AB＝BC＝AC，∴△ABC为等边三角形，∵AE⊥BC，∴∠EAB＝∠CAE＝∠CAB＝30°.即∠OAF＝30°，在Rt△OAF中，AF＝

，易得OA＝2，即⊙O的半径为2.阶段方法技巧训练（一）专训2圆中常用的作辅助

线的八种方法习题课在解决有关圆的计算或证明题时，往往需要添加辅助线，根据题目特点选择恰当的辅助线至关重要．圆中常用的辅助线作法有：作半径，巧用同圆的半径相等；连接圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等；作直径，巧用直径所对的圆周角是直角；证切线时“连半径，证垂直”以及“作垂直，证半径”等．5遇弦加弦心距或半径方法5．如图所示，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相

垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP

的长为(

)A．3B．4C．3D．4C同类变式6．【中考·贵港】如图所示，AB是⊙O的弦，

OH⊥AB于点H，点P是优弧上一点，

若AB＝2，OH＝1，

则∠APB的度数是________．7遇切线巧作过切点的半径方法8．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，

点P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA＝PB.(1)求证：PB是⊙O的切线；(1)如图，连接OB，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.

∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA.

∴∠OAB＋∠PAB＝∠OBA＋∠PBA.即∠PAO＝∠PBO.又∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO＝90°.∴∠PBO＝90°.∴OB⊥PB.又∵OB是⊙O的半径，∴PB是⊙O的切线．证明：(2)已知PA＝

，∠ACB＝60°，求⊙O的半径．(2)如图，连接OP，∵PA＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上．∵OA＝OB，∴点O在线段AB的垂直平分线上．∴OP为线段AB的垂直平分线．解：又∵BC⊥AB，∴PO∥BC.∴∠AOP＝∠ACB＝60°.由(1)知∠PAO＝90°.∴∠APO＝30°.∴PO＝2AO.∵在Rt△APO中，AO2＋PA2＝PO2，∴AO2＋3＝(2AO)2.又∵AO＞0，∴AO＝1，∴⊙O的半径为1.8巧添辅助线计算阴影部分的面积方法9．【中考·自贡】如图所示，点B，C，D都在⊙O上，

过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，

且∠CDB＝∠OBD＝30°，DB＝6cm.(1)求证：AC是⊙O的切线；(1)如图，连接CO，交DB于点E，

∴∠O＝2∠CDB＝60°.又∵∠OBE＝30°，

∴∠BEO＝180°－60°－30°＝90°.∵AC∥BD，∴∠ACO＝∠BEO＝90°.

即OC⊥AC.又∵点C在⊙O上，∴AC是⊙O的切线．证明：(2)求由弦CD，BD与BC所围成的阴影部分的面积．(结果保留π)︵(2)∵OE⊥DB，∴EB＝

DB＝3cm.

在Rt△EOB中，∵∠OBD＝30°，∴OE＝

OB.

∵EB＝3cm，∴由勾股定理可求得OB＝6cm.解：又∵∠CDB＝∠DBO，DE＝BE，∠CED＝∠OEB，∴△CDE≌△OBE.∴S△CDE＝S△OBE.∴S阴影＝S扇形OCB＝π·62＝6π(cm2)．9.如图,在平面直角坐标系中,已知⊙D经过原点O,与x轴、y轴分别交于A、B两点,B点坐标为(0,),OC与⊙D相交于点C,∠OCA=30°,求图中阴影部分的面积10.如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=2,以BC为直径的圆交AC于点D,则图中阴影部分的面积为______

如图，半圆的直径AB=2,弦CD∥AB,连AC.AD,∠CAD=30º,求阴影部分的面积。略解：连接OC.OD分析：所求阴影部分是非常规图形，可转化为常规图形来解决．∠COD=60º

C、D为半圆的三