高等数学上册总复习题

高等数学（上）总复习数高上习题课安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics1959第一章函数与极限第三章微分中值定理与导数的应用第二章导数与微分第五章定积分第四章不定积分第六章定积分的应用⑴利用微分中值定理⑵利用函数的单调性3.1、连续函数在闭区间上的性质第三章微分中值定理与导数的应用第三章基本要求⑶利用函数的极值与最值⑷利用图形的凹凸性⑴基本定理⑵有关命题的证法3.2、微分中值定理⑴中值定理⑵证题技巧分析3.3、导数的应用3.5、证明不等式3.4、解函数方程⑴单调性的判定⑵函数极值与最值⑶凹凸性与拐点⑷函数作图⑸弧微分曲率曲率圆⑴利用函数表示与字母无关⑵利用极限⑶利用导数的定义⑷利用变上限积分的可导性⑸利用连函可积与原函连续第三章基本要求Back3、理解函数的极值概念，并掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。4、会用导数判断函数图形的凹凸性；会求拐点；会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐近线)；会求最值应用问题。5、熟练使用洛必达(LHospital)法则求几类不定式的极限(已放到第一章)。6、了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。1、理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理。2、了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylor)定理。7、了解方程近似解的二分法和切线法。3.1、连续函数在闭区间上的性质⑴基本定理定理1(有界性定理)f(x)在[a,b]上连续,则$M>0,对"xÎ[a,b]，恒有|f(x)|≤M.定理3(介值定理)f(x)在[a,b]上连续,且m≤f(x)≤M,对"Î[m,M],则$xÎ[a,b],

使得f(x)=,a≤x≤b.定理4(根的存在定理或零点定理)f(x)在[a,b]上连续,且f(a)·f(a)<0,则$xÎ(a,b),

使得f(x)=0,a<x<b.定理2(最值定理)f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上至少取得最大值与最小值各一次，即$x,h使得3.1、连续函数在闭区间上的性质⑵有关闭区间上连续函数命题的证法解题提示命题的证明有两种方法：①直接法：先利用最值定理，再利用介值定理；②辅助函数法：先构造辅助函数F(x),再验证F(x)满足零点定理的条件,最后由零点定理得出命题的证明。辅助F(x)作法：a)把结论中的x或x0改成x;

b)移项,使等式右端为0，左端即F(x).证由零点定理,例13.1、连续函数在闭区间上的性质证明：例2由介值定理,Back3.2、微分中值定理⑴中值定理②Rolle定理

条件：①f(x)∈C[a,b],②在(a,b)内可导,③f(a)=f(b);结论：至少有一点x∈(a,b),使得①费马定理设f(x)在U(x0)内有定义,且在x0处可导,若对"x∈U(x0),有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0)),则f'(x0)=0.

闭连开导,端值相等;内必有点,切线水平.

③Lag-定理条件：①f(x)∈C[a,b],②在(a,b)内可导;结论：至少ョ一点x∈(a,b),使f(b)-f(a)=f'(x)(b-a).

闭连开导,端值不等;内有点切线与弦平行.

④Cauchy定理

条件:①f(x)、F(x)∈C[a,b];②f(x)、F(x)在(a,b)内可导;

③F'(x)在(a,b)内每一点均不为零。结论:至少存在一点x∈(a,b),使得3.2、微分中值定理⑤Taylor定理设f(x)在含有x0的开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶导数,则对任一x∈(a,b),有常用麦克劳林公式⑵证题技巧分析3.2、微分中值定理①欲证命题结论:至少存在一点xÎ(a,b),

使得f(n)(x)=0解题提示此类命题的证法有三条思路：①验证f(n-1)(x)在[a,b]上满足罗尔定理条件，可证之；②验证x为f(n)(x)的最值或极值，用费马定理可证之；③个别命题可用泰勒公式证明。证例33.2、微分中值定理证例43.2、微分中值定理②欲证结论:至少$一点xÎ(a,b),

使得f(n)(x)=k及其代数式证题程序a)构造辅助函数F(x);b)验证F(x)满足罗尔定理条件;c)由定理结论即得命题的证明。辅助函数F(x)作法(一)：原函数法a)把结论中的x或x0换成x;b)通过恒等变形将结论化成易消除导数符号形式;c)用观察法或积分法求出原函数，为简便取C=0;d)移项,使等式右端为0，左端即F(x).3.2、微分中值定理例5分析证由零点定理,3.2、微分中值定理例6分析证3.2、微分中值定理辅助函数F(x)作法(二)：常数k值法(适于常数已分离)a)令常数部分为k;b)恒等变形,使a及f(a)在等式一端,b及f(b)在另一端;c)分析端点表达式是否为对称或轮换对称,若是,把a及f(a)改成x及f(x)，变换后的表达式即为F(x).例7分析3.2、微分中值定理Back证例83.3、导数的应用⑴单调性的判定定理注意(a,b)内有限个点导数为零,不影响函数的单调性。例9解3.3、导数的应用例10解⑵函数极值与最值极大值与极小值统称极值,使f(x)取极值点称为极值点.①定义3.3、导数的应用③定理(必要条件)

f(x)在x0可导且取极值,则f'(x0)=0.②极值是函数的局部性概念：极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值,极值点不唯一.⑤临界点:即可能的极值点,驻点和不可导点的统称.④驻点：使导数为零的点(即f'(x)=0的实根).3.3、导数的应用⑥定理(第一充分条件)若x<x0时f'(x)>0,x>x0时f'(x)<0,则

f(x0)为极大值;若x<x0时f'(x)<0,x>x0时f'(x)>0,则

f(x0)为极小值;若x<x0与x>x0时f'(x)的符号相同,则

f(x0)不是极值.⑦定理(第二充分条件)设f(x)在x0处具有二阶导数且f'(x0)=0,

f"(x0)≠0,则当f"(x0)<0时,f(x)在x0处取得极大值;当f"(x0)>0时,f(x)在x0处取得极小值.⑧求极值的步骤:3.3、导数的应用⑨闭区间[a,b]上连续函数的最值问题①求出f在(a,b)内的驻点与不可导点x1,x2,…,xn;②计算函数值:f(a),f(x1),

f(x2),…,

f(xn),

f(b);③通过比较确定f在[a,b]上的最值:ymax=max{f(a),f(x1),

f(x2),…,

f(xn),

f(b)};ymin=min{f(a),f(x1),

f(x2),…,

f(xn),

f(b)}.注意:在实际问题,如果开区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)注意:实际问题求最值①建立目标函数(数学模型);②求最值。3.3、导数的应用⑶凹凸性与拐点定义1定理13.3、导数的应用定义2

连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.求法1:求法2:3.3、导数的应用利用函数特性描绘函数图形.⑷函数图形的描绘①求f(x)的定义域、奇偶性、周期性,并求出f'(x)、f"(x);②求f'(x)=0,f"(x)=0全部根或不可导点,以此划分定义域;③据f'(x)和f"(x)的符号确定函数升降和凹凸,极值和拐点,结合分区列表;

⑤找出曲线上若干特殊的点,描绘函数的图形.

④确定曲线的水平,铅直,斜渐近线以及其他变化趋势;3.3、导数的应用⑸弧微分曲率曲率圆曲率的计算公式二(2).A.极大值B.极小值C.驻点D.拐点分析第三章微分中值定理与导数的应用二(2).分析:第三章微分中值定理与导数的应用由两式可得：由式还可以得第三章微分中值定理与导数的应用二(2).分析:第三章微分中值定理与导数的应用二(4).分析:第三章微分中值定理与导数的应用一(4).分析:第三章微分中值定理与导数的应用二(3).第三章微分中值定理与导数的应用分析:第三章微分中值定理与导数的应用第三章微分中值定理与导数的应用二(3).第三章微分中值定理与导数的应用二(3).第三章微分中值定理与导数的应用分析:第三章微分中值定理与导数的应用二(3).第三章微分中值定理与导数的应用自我检查试题七二(2).分析:如下图第三章微分中值定理与导数的应用第三章微分中值定理与导数的应用第三章微分中值定理与导数的应用第三章微分中值定理与导数的应用第三章微分中值定理与导数的应用第三章微分中值定理与导数的应用第三章