2022高考数学精英备考专题讲座第一讲函数第二节导数(文)

第二节导数导数是文科生研究函数的单一性，求函数极（最）值等的重要工具之一，导数是向来高考的必考点导数对文科生来说，在课标中增加了三角函数，指数，对数函数等的导数，导数在文科高考取必须惹起重视导数在向来高考取一般在一个小题、一个大题中出现难度值控制在～之间考试要求①认识导数观点的实际背景,理解导数的观点及其几何意义；②认识函数的单一性与导数的关系,会求函数的极大小值及闭区间上的最值；③能求一些初等函数的导数；④认识函数在某点取得极值的充要条件；⑤可以用导数研究函数的单一性,利用导数解决某些实际问题题型一初等函数的导数例1设函数f(x)sinx33cosx2tan,其中[0,5]，且f(1)2，求3212点拨看清题目中变量x和，f(x)的自变量是x，为参变量，因此f(x)是三次函数；于是先对f(x)求导，再求f(1)，进而转变为已知三角函数值求角的问题解∵()sin23cos,∴fxxxf(1)sin3cos2.sin()2[0,53],∴353，又],3[,43,得1221234易错点①本题f(x)中含有两个字母，学生误以为是三角函数，求导数时按三角函数求导法则；②容易忽略的范围变式与引申1：设函数f(x)sinx33cosx2tan，其中32[0,5]，则导数f(1)的取值范围是_________12题型二初等函数的单一区间和极值例2已知函数f(x)x33bx2cxd在(,0)上是增函数，在(0,2)上是减函数，且f(x)0的一个根为b（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）求证：f(x)0还有不同于b的实根x1、x2，且x1、b、x2成等差数列；（Ⅲ）若函数f(x)的极大值小于16，求f(1)的取值范围点拨第（Ⅰ）问中由已知得出函数的极大值点是x0，即可解出c的值；第（Ⅱ）问要使x1,b,x2成等差数列，必须x1x22b，因此重点是将f(x)因式分解，再借助韦达定理推出x、b、1x2三者的关系；用函数的思想剖析第（Ⅲ）问，将f(1)看作是对于b的函数g(b)，题目即转化为求g(b)的值域问题解（Ⅰ）f(x)3x26bxc，x0是极大值点，f(0)0,c0（Ⅱ）令f(x)0，得x0或2b,由f(x)的单一性知2b2,b1，b是方程f(x)0的一个根，则(b)33b(b)2d0d2b3f(x)x33bx22b3(xb)(x22bx2b2),方程x22bx2b20的根的鉴别式4b24(2b2)12b20又(b)22b(b)2b23b20，即b不是方程x22bx2b20的根f(x)0有不同于b的根x、xx1x22b，x、b、x成等差数列1212（Ⅲ）根据函数的单一性可知x0是极大值点,f(0)162b316b2，于是2b1,令g(b)f(1)2b33b1,求导g(b)6b23,2b1时，g(b)0,g(b)在(2,1]上单一递减,g(1)g(b)g(2)即0f(1)11易错点在第（Ⅱ）问中学生对f(x)进行因式分解时易犯错或不能因式分解，分解之后易忽略判断“b不是方程x22bx2b20的根”；第（Ⅲ）问中学生不易从函数的角度剖析f(1)的取值范围变式与引申2：设函数fxsinxcosxx1,0x2，求函数fx的单一区间与极值题型三导数与不等式例3已知函数f(x)1x3x2axb的图像在点P(0,f(0))处的切线方程3为y3x2.Ⅰ求实数a,b的值；Ⅱ设g(x)f(x)m)上的增函数求实数是[2,x1的最大值；点拔①过三次函数图像上一点的切线方程可用导数求斜率,再用点斜式求直线方程，进而布列方程组求出a,b的值；②利用“函数在某区间上递增递减,其导数在这区间上恒大于小于零”转变为不等式恒建立的问题解Ⅰ由f(x)x22xa及题设得f(0)3,即a3,f(0)2.2.bⅡ由g(x)1x3x23x2xm得g(x)x22x3m2.31(x1)∵g(x)是[2,)上的增函数，∴g(x)0在[2,)上恒建立即x22x3m0在[2,]上恒建立,设(x1)2t(x1)2∵x[2,)，∴t[1,),即不等式t2m)上恒建立t≥0在[1,当m0时，设yt2m0在[1,)上恒建立t当m＞0时，设yt2m0，t[1,)tmm因为y1)上单一递增因此ymin3m.t2＞0，所以函数yt2在[1,t∵ymin0,∴3m0,即m3.又m0,故0m3综上，m的最大值为3易错点有些学生错用g(x)f(x)m是[2,)上的增函数g(x)0的解为x1[2,)变式与引申3：设函数f(x)ax33x1(xR)，若对于随意的x1,1都有f(x)0成立，求实数a的值题型四导数与解析几何例4已知函数f(x)x3ax2bxc．Ⅰ若函数yf(x)的图像上存在点P，使P点处的切线与轴平行，求实数a,b的关系式；Ⅱ若函数f(x)在x1和x3时取得极值，且其图像与x轴有且只有3个交点，求实数c的取值范围．点拨本题的重点是将几何问题转变为代数问题第Ⅰ问中“点P的存在性问题”转变为“方程f(x)0解的存在性问题”；第Ⅱ问中“图像与x轴有且只有3个交点”转变为“f(x)的极大值大于0，且极小值小于0”解Ⅰf(x)3x22axb,设切点为P(x0,y0),则曲线yf(x)在点P处的切线的斜率kf(x0)3x022ax0b,由题意，知f(x0)3x022ax0b0有解，∴4a212b≥0即a2≥3bⅡ由已知可得x1和x3是方程f(x)3x22axb0的两根，∴132a13b，∴a3，b9．，33∴f(x)3(x1)(x3)，∴f(x)在x1处取得极大值，在x3处取得极小值．∵函数yf(x)的图像与x轴有且只有3个交点，∴f(1)0,f(3)0.又f(x)x33x29xc，∴139c0,解得5c27．272727c0易错点有些学生对三次函数图像与x轴（或平行x轴的直线）的交点问题难以从整体把握，难以找到几何问题转变为代数问题的切入点变式与引申4：设函数f(x)|x1||ax1|，已知f(1)f(1)，且aR（aR,且a0），函数g(x)ax3bx2cx（bR，c为正整数）有两个不同的极值点，且该函数图像上取得极值的两点A、B与坐标原点O在同一直线上（1）试求a，b的值；（2）若x0时，函数g(x)的图像恒在函数f(x)图像的下方，求正整数c的值本节主要考察初等函数的导数；导数的运算；利用导数研究函数的极值、单一性；求切线等数形联合的思想和函数与方程的思想点评：f(x)求导f(x)①求f(x)在a,b的最值的方法：由f(x)=0求x1，x2求f(a),f(b),f(x1),f(x2)的值②求f(x)单一区间、极值的方法：得出最大（小）值求导f(x)由f(x)=0求x1，x2③利用导数，求曲线yf(x)在点x,y0处的切线方程，先求kf(x0)再求方程0yy0f(x0)(xx0).习题1—21．已知f(x)x23xf(2),则f(2)=2曲线y2exx31在点（0，1）处的切线方程为．3设定函数f(x)ax3bx2cxda＞，且方程30f'(x)9x0的两个根分别为1，4（Ⅰ）当a3且曲线yf(x)过原点时，求f(x)的解析式；（Ⅱ）若f(x)在(,)无极值点，求a的取值范围4已知函数f(x)x33ax29a2xa3．（Ⅰ）设a1，求函数f(x)的极值；（Ⅱ）若a1[1，4a]时，|f(x)|12a恒建立，试确定a的取值范围．，且当x45设函数f(