2022年安徽省淮北市李桥中学高三数学理期末试题含解析

2022年安徽省淮北市李桥中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.过抛物线C：的焦点F的直线l交抛物线C于A、B两点，若抛物线C在点B处的切线斜率为1，则线段（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A2.执行下面的程序框图，如果输入，，则输出的（

）A．7

B．20

C.22

D．54参考答案：B3.已知集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，4}，则A∩（?UB）=(

) A．{1，2，3，5} B．{2，4} C．{1，3} D．{2，5}参考答案：C考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：根据全集U及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．解答： 解：∵集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，4}，∴?UB={1，3，5}，则A∩（?UB）={1，3}．故选：C．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．4.已知圆（x－1）2＋（y－3）2＝r2（r>0）的一条切线y＝kx＋与直线x＝5的夹角为，则半径r的值为

A．

B．

C．

或

D．或参考答案：C5.已知集合M＝{y｜y＝，x＞0}，N＝{x｜y＝lg（2x－x2）}，则MN为（）

A.(1.2)B.(1，＋)C.[2.＋)D.［＋)参考答案：A6.已知全集，那么 (A)

(B)

(C)

(D)参考答案：C7.复数满足方程则=A．

B．

C．

D．参考答案：C略8.已知在等比数列{an}中，，则（

）A.16

B.8

C.4

D.2参考答案：C由得：，又因为，而所以，，即，又因为，而，所以，.故选C．9.已知函数是定义在实数集R上的奇函数，且当时成立（其中的导函数），若，，则的大小关系是(

)

A． B． C．

D．参考答案：B略10.《算法通宗》是我国古代内容丰富的数学名书，书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底，每层灯的数目都是上一层的2倍，已知这座塔共有381盏灯，请问塔顶有几盏灯？”A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：A【考点】等差数列的前n项和．【分析】设出塔顶灯的盏数，由题意可知灯的盏数自上而下构成等比数列，且公比为2，然后由等比数列的前7项和等于381列式计算即可．【解答】解：由题意设塔顶有a盏灯，由题意由上往下数第n层就有2n﹣1?a盏灯，∴共有（1+2+4+8+16+32+64）a=381盏灯，即．解得：a=3．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知曲线f（x）=2x2+1在点M（x0，y0）处的瞬时变化率为﹣4，则点M的坐标为．参考答案：（﹣1，3）【考点】变化的快慢与变化率．【分析】求导函数，令其值为﹣4，即可求得结论．【解答】解：∵y=2x2+1，∴y′=4x，令4x0=﹣4，则x0=﹣1，∴y0=3∴点M的坐标是（﹣1，3）故答案为：（﹣1，3）【点评】本题考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．12.定义（表示不小于x的最小整数）为“取上整函数”，例如“取上整函数”在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等都是按照“取上整函数”进行计费的.以下关于“取上整函数”的性质是真命题的序号是_________（请写出所有真命题的序号）.①；②若则；③任意；④；⑤函数为奇函数.参考答案：②③13.若sin4xsin2x﹣sinxsin3x=a在[0，π）有唯一解，则a的值是．参考答案：1或0【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【分析】化简函数解析式为f（x）=（cos4x﹣cos6x），利用导数可得f（0）=0是函数的极小值，f（）=1是函数的极大值，f（π）=0是函数的极小值，当a=1或0时，函数f（x）=sin4xsin2x﹣sinxsin3x和函数y=a在[0，π）上只有一个交点，从而得到结论．【解答】解：令f（x）=sin4xsin2x﹣sinxsin3x=﹣（cos6x﹣cos2x）+（cos4x﹣cos2x）=（cos4x﹣cos6x），则有f′（x）=3sin6x﹣2sin4x，令f′（x）=0，可得x=0或x=，即f′（0）=0，f′（）=0，而且还有f′（π）=0．由于f′（x）在x=0的左侧小于0，右侧大于0，故f（0）是函数的极小值，由于f′（x）在x=的左侧大于0，右侧小于0，故f（）=1是函数的极大值，同理可得f（π）=0是函数的极小值．故函数f（x）在[0，π）上只有一个极大值是f（）=1，故当a=1或0时，函数f（x）=sin4xsin2x﹣sinxsin3x和函数y=a只有一个交点．即sin4xsin2x﹣sinxsin3x=a在[0，π）有唯一解．故答案为1或0．14.四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面SAD是以SD为斜边的等腰直角三角形，若四棱锥S-ABCD的体积取值范围为，则该四棱锥外接球表面积的取值范围是

．参考答案：

15.给定方程：（）x+sinx﹣1=0，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解；④若x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．则正确命题是

．参考答案：②③④考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．分析：根据正弦函数的符号和指数函数的性质，可得该方程存在小于0的实数解，故①不正确；根据指数函数的图象与正弦函数的有界性，可得方程有无数个正数解，故②正确；根据y=（）x﹣1的单调性与正弦函数的有界性，分析可得当x≤﹣1时方程没有实数解，当﹣1＜x＜0时方程有唯一实数解，由此可得③④都正确．解答： 解：对于①，若α是方程（）x+sinx﹣1=0的一个解，则满足（）α=1﹣sinα，当α为第三、四象限角时（）α＞1，此时α＜0，因此该方程存在小于0的实数解，得①不正确；对于②，原方程等价于（）x﹣1=﹣sinx，当x≥0时，﹣1＜（）x﹣1≤0，而函数y=﹣sinx的最小值为﹣1且用无穷多个x满足﹣sinx=﹣1，因此函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象在[0，+∞）上有无穷多个交点因此方程（）x+sinx﹣1=0有无数个实数解，故②正确；对于③，当x＜0时，由于x≤﹣1时（）x﹣1≥1，函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象不可能有交点当﹣1＜x＜0时，存在唯一的x满足（）x=1﹣sinx，因此该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解，得③正确；对于④，由上面的分析知，当x≤﹣1时（）x﹣1≥1，而﹣sinx≤1且x=﹣1不是方程的解∴函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象在（﹣∞，﹣1]上不可能有交点因此只要x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．故答案为：②③④点评：本题给出含有指数式和三角函数式的方程，讨论方程解的情况．着重考查了指数函数的单调性、三角函数的周期性和有界性、函数的值域求法等知识，属于中档题．16.函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[a，b]?D，使得函数f（x）满足：（1）f（x）在[a，b]内是单调函数；（2）f（x）在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则称区间[a，b]为y=f（x）的“美丽区间”．下列函数中存在“美丽区间”的是

（只需填符合题意的函数序号）．①f（x）=x2（x≥0）；

②f（x）=ex（x∈R）；③f（x）=；

④f（x）=．参考答案：①③④【考点】函数的值域．【专题】新定义；函数的性质及应用．【分析】根据函数中存在“美丽区间”，则：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②或，对四个函数分别研究，从而确定存在“美丽区间”的函数．【解答】解：①．若f（x）=x2（x≥0），若存在“美丽区间”[a，b]，则此时函数单调递增，则由，得，∴，∴f（x）=x2（x≥0）存在“美丽区间”[0，2]，∴①正确．②，若f（x）=ex（x∈R），若存在“美丽区间”[a，b]，则此时函数单调递增，则由，得，即a，b是方程ex=2x的两个不等的实根，构建函数g（x）=ex﹣2x，∴g′（x）=ex﹣2，∴函数在（﹣∞，ln2）上单调减，在（ln2，+∞）上单调增，∴函数在x=ln2处取得极小值，且为最小值．∵g（ln2）=2﹣ln2＞0，∴g（x）＞0，∴ex﹣2x=0无解，故函数不存在“美丽区间”，∴②不正确；③，∵f（x）=，在（0，+∞）上是减函数，若存在“美丽区间”[a，b]，则，得，∴满足ab=的区间[a，b]都是“美丽区间”，故③正确；④．若函数f（x）=（x≥0），f′（x）==，若存在“美丽区间”[a，b]?[0，1]，则由，得，∴a=0，b=1，∴存在“美丽区间”[0，1]，∴④正确．故答案是①③④．【点评】本题主要考查了与函数的性质有关的新定义问题，涉及知识点较多，综合性强，难度较大．17.若全集U=R，集合A={x|–2≤x≤2}，B={x|0<x<1}，则A∩UB=

．参考答案：{x|–2≤x≤0或1≤x≤2}

因为B={x|0<x<1}，所以，所以.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知数列{an}满足，(其中λ≠0且λ≠–1，n∈N*)，为数列{an}的前项和．(1)若，求的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)当时，数列{an}中是否存在三项构成等差数列，若存在，请求出此三项；若不存在，请说明理由．参考答案：(1)令，得到，令，得到。…………2分由，计算得．……………………4分(2)由题意，可得：

，所以有，又，……5分得到：，故数列从第二项起是等比数列。……………7分又因为，所以n≥2时，……………8分所以数列{an}的通项…………………10分(3)因为

所以……11分假设数列{an}中存在三项am、ak、ap成等差数列，①不防设m>k>p≥2，因为当n≥2时，数列{an}单调递增，所以2ak=am+ap即：2′()′4k–2=′4m–2+′4p–2，化简得：2′4k-p=4m–p+1即22k–2p+1=22m–2p+1，若此式成立，必有：2m–2p=0且2k–2p+1=1，故有：m=p=k，和题设矛盾………………14分②假设存在成等差数列的三项中包含a1时，不妨设m=1，k>p≥2且ak>ap，所以2ap=a1+ak，2′()′4p–2=–

+()′4k–2，所以2′4p–2=–2+4k–2，即22p–4=22k–5–1因为k>p≥2，所以当且仅当k=3且p=2时成立………16分因此，数列{an}中存在a1、a2、a3或a3、a2、a1成等差数列……………18分19.已知函数且.（1）若函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若函数，若存在使不等式成立，求实数p的取值范围.参考答案：解：(1)当时，函数是上的单调递增函数，符合题意；当时，，令，则分析知，在上单调递减，在上单调递增又∵函数在区间上单调递增，∴，∴综上，实数的取值范围是.（2）∵存在使不等式成立，∴存在使成立，令，则，∴由（1）知当时，在上单调递增，∴当时，，∴，即∴在上单调递增，∴，∴.即实数的取值范围为.

20.（本小题满分12分）

如图,在三棱柱中，侧棱底面,为的中点,,.(1)求证：平面；(2)求四棱锥的体积.参考答案：（1）证明:连接,设与相交于点,连接,

∵四边形是平行四边形,∴点为的中点.

∵为的中点，∴为△的中位线,∴.

………3分∵平面,平面,∴平面.

……6分(2)∵平面,平面,∴平面平面，且平面平面.作，垂足为，则平面，

……………8分∵，，在Rt△中，，，10分∴四棱锥的体积

.

∴四棱锥的体积为.

…12分略21.（本大题满分13分）

在等腰梯形PDCB中，DC∥PB，PB=3DC=3，PD=，DA⊥PB，垂足为A，将△PAD沿AD折起，使得PA⊥AB，得到四棱锥P-ABCD．（1）证明：平面PAD⊥平面PCD；（2）点M在棱PB上，平面AMC把四棱锥P-ABCD分成两个几何体，当这两个几何体的体积之比=时，证明：PD//平面AMC．参考答案：（1）证：因为在等腰梯形PDCB中，DA⊥PB，

所以在四棱锥P－ABCD中，DA⊥AB，DA⊥PA

1分

又PA⊥AB，且DC∥AB，所以DC⊥PA，DC⊥