2020-2021学年上海市浦东新区建平中学高一（下）期末数学试卷

第1页（共1页）2020-2021学年上海市浦东新区建平中学高一（下）期末数学试卷一、填空题1．函数f（x）＝sin（﹣2x）的最小正周期为．2．若复数z满足（1+i）z＝i（i为虚数单位），则Imz＝．3．设A（2，3），B（﹣1，5），且，则点D的坐标是．4．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2+n，则该数列的通项公式an＝．5．已知，，则在向上的数量投影为．6．已知，则＝．7．关于x的方程x2+mx+2＝0（m∈R）的一个根是x＝1+ni（n＞0），则＝．8．i是虚数单位，则＝．9．如图，在三角形ABC中，点D是边BC的中点，O是AD的中点，若BO＝AD＝2，则＝．10．定义：复数b+ai是z＝a+bi（a，b∈R）的转置复数，记为z'＝b+ai．若，则的最大值为．11．定义两个平面向量的一种新运算：sin＜，＞，其中＜，＞表示，的夹角．对于平面上的任意，，向量，λ∈R，下列运算性质一定成立的是．①若，则与共线；②；③；④．12．△ABC中，三边a，b，c满足成等差数列，三角A，B，C满足sinB＝cosA•sinC，且，若存在动点P满足，且，则xy的最大值为．二、选择题13．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a+为纯虚数”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件14．已知向量，则下列能使成立的一组向量是（）A． B． C． D．15．设复数z满足条件argz∈（π，π），则对应复平面上的点位于第（）象限A．一 B．二 C．三 D．四16．如图所示，半径为1的圆O始终内切于直角梯形ABCD，则当AD的长度增加时，以下结论：①越来越小；②保持不变．它们成立的情况是（）A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确三、解答题17．设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3＝7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn＝log2an（n≥1），求数列{bn}的前n项和Tn．18．已知向量，不共线，t为实数．（Ⅰ）若＝，＝t，＝（+），当t为何值时，A，B，C三点共线；（Ⅱ）若||＝||＝1，且与的夹角为120°，实数x∈[﹣1，]，求|﹣x|的取值范围．19．已知复数z1＝sin2x﹣ti，，i为虚数单位，t，a，x∈R，且z1＝z2．（1）若t＝0且，求x的值；（2）设t＝f（x），已知，求．20．已知x∈R，，．（1）记函数，求函数f（x）取最大值时x的取值范围；（2）求证：与不平行；（3）设△ABC的三边a、b、c满足b2＝ac，且边b所对应的角为x，关于x的方程有且仅有一个实根，求实数t的范围．21．对于一组复数z1，z2，z3，…，zn（n∈N，n≥3），令Sn＝z1+z2+z3+……+zn，如果存在zp（p∈{1，2，3，……，n}），使得|zp|≥|Sn﹣zp|，那么称zp是该复数组的“M复数”．（1）设zn＝n+（n﹣x）i（n∈{1，2，3}），若z3是复数组z1，z2，z3的“M复数”，求实数x的取值范围；（2）已知z1＝i，z2＝1+i，是否存在复数z3使得z1，z2，z3均是复数组z1，z2，z3的“M复数”？若存在，求出所有的z3，若不存在，说明理由；（3）若，复数组z1，z2，z3，…，zn是否存在“M复数”？给出你的结论并说明理由．

2020-2021学年上海市浦东新区建平中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．函数f（x）＝sin（﹣2x）的最小正周期为π．【分析】利用y＝Asin（ωx+φ）+b的最小正周期为，的出结论．【解答】解：函数f（x）＝sin（﹣2x）的最小正周期为＝＝π，故答案为：π．【点评】本题主要考查三角函数的周期性，利用了y＝Asin（ωx+φ）+b的最小正周期为，属于基础题．2．若复数z满足（1+i）z＝i（i为虚数单位），则Imz＝．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：∵（1+i）z＝i（i为虚数单位），∴（1﹣i）（1+i）z＝i（1﹣i），化为：2z＝1+i，即z＝+i，则Imz＝，故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．设A（2，3），B（﹣1，5），且，则点D的坐标是（﹣7，9）．【分析】利用向量的运算法则即可得出．【解答】解：∵，∴＝（2，3）+3[（﹣1，5）﹣（2，3）]＝（﹣7，9）．故答案为（﹣7，9）．【点评】熟练掌握向量的运算法则是解题的关键．4．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2+n，则该数列的通项公式an＝2n．【分析】由数列的前n项和求得首项，再由an＝Sn﹣Sn﹣1（n≥2）求得an，验证首项后得答案．【解答】解：由Sn＝n2+n，得a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝（n2+n）﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]＝2n．当n＝1时上式成立，∴an＝2n．故答案为：2n．【点评】本题考查了由数列的前n项和求数列的通项公式，是基础题．5．已知，，则在向上的数量投影为4．【分析】根据，，求出，再求出投影即可．【解答】解：∵，，∴（）•＝2||²﹣＝8﹣＝0，∴＝8，∴向量在向量方向上的数量投影||cos＜，＞＝＝＝4．故答案为：4．【点评】本题主要考查向量投影的计算，根据向量投影的定义转化为向量数量积是解决本题的关键，是基础题．6．已知，则＝．【分析】由得3＝4﹣得3﹣3＝﹣，即3＝，结合＝﹣可解决此题．【解答】解：由得3＝4﹣得3﹣3＝﹣，即3＝，∴3（﹣）＝，得3＝4，∴＝．故答案为：．【点评】本题考查平面向量加减运算、数乘运算，考查数学运算能力，属于基础题．7．关于x的方程x2+mx+2＝0（m∈R）的一个根是x＝1+ni（n＞0），则＝﹣2．【分析】把x＝1+ni代入已知方程x2+mx+2＝0，结合n＞0，根据复数相等的条件可得关于m、n的方程，可求m、n，进而可求．【解答】解：∵x2+mx+2＝0（m∈R）的一个根是1+ni（n∈R+），∴（1+ni）2+m（1+ni）+2＝0，整理可得，（3﹣n2+m）+（m+2）ni＝0，∵n＞0，根据复数相等的条件可得，m+2＝0，3+m﹣n2＝0，∴m＝﹣2，n＝1，则m+n＝﹣1，∴＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查了复数相等条件的简单应用及基本运算，属于基础题8．i是虚数单位，则＝﹣i．【分析】利用复数的运算法则、复数的周期性、数列求和公式即可得出．【解答】解：∵＝＝＝﹣i，（﹣i）4＝1，（﹣i）2021＝[（﹣i）4]505×（﹣i）＝﹣i，∴＝＝＝﹣i，故答案为：﹣i．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数的周期性、数列求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．如图，在三角形ABC中，点D是边BC的中点，O是AD的中点，若BO＝AD＝2，则＝﹣6．【分析】建立平面直角坐标系，设∠OBD＝θ，BD＝a，根据OD＝1得出a和θ的关系，再利用坐标运算计算．【解答】解：以D为原点，以BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，设BD＝a，∠OBD＝θ，则D（0，0），B（﹣a，0），O（﹣a+2cosθ，2sinθ），A（﹣2a+4cosθ，4sinθ），∴＝（a﹣4cosθ，﹣4sinθ），＝（2a，0），∵OD＝1，∴（﹣a+2cosθ）2+4sin2θ＝1，整理得：a2﹣4acosθ＝﹣3，∴＝2a2﹣8acosθ＝﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查了平面向量的基本定理，平面向量的数量积运算，属于中档题．10．定义：复数b+ai是z＝a+bi（a，b∈R）的转置复数，记为z'＝b+ai．若，则的最大值为．【分析】设z＝a+bi（a，b∈R），则z'＝b+ai，求出（z′+z）、（），再由乘积的模等于模的乘积及基本不等式求解．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），则z'＝b+ai，z′+z＝（a+b）+（a+b）i，＝（a+b）+（a﹣b）i，∵，∴a2+b2＝2，∴|（z′+z）（）|＝|（z′+z）||（）|＝＝＝．当且仅当a＝b时等号成立．故答案为：．【点评】本题是新定义题，考查复数代数形式的四则运算及复数模的求法，训练了基本不等式的应用，是中档题．11．定义两个平面向量的一种新运算：sin＜，＞，其中＜，＞表示，的夹角．对于平面上的任意，，向量，λ∈R，下列运算性质一定成立的是①④．①若，则与共线；②；③；④．【分析】由若得sin＜，＞＝0，得＜，＞＝0或π，可判断①；举例：＝﹣，与（或）不共线，可判断②；分析λ符号可判断③；对等式中左边进行计算即可判断④．【解答】解：由若得sin＜，＞＝0，得＜，＞＝0或π，∴与共线，∴①对；例如：＝﹣，与（或）不共线，+＝，∴②中等式左边为0，右边不为0，∴②错；当λ＜0时，③中等式左边为负，右边为正，∴③错；④中等式左边＝||2||2sin2＜，＞+||2||2cos2＜，＞＝||2||2（sin2＜，＞+cos2＜，＞）＝||2||2＝右边．∴④对．故答案选：①④．【点评】本题考查平面向量数量积性质及运算，考查数学运算能力，属于中档题．12．△ABC中，三边a，b，c满足成等差数列，三角A，B，C满足sinB＝cosA•sinC，且，若存在动点P满足，且，则xy的最大值为．【分析】由△ABC中，三边a，b，c满足成等差数列得2b＝a+c，由正弦定理得2sinB＝sinA+sinC，由sinB＝cosA•sinC得sin（A+C）＝cosAsinC得C＝，结合前面条件可得sinA＝，cosA＝，由，得bccosA＝16，得bc＝20，可令a＝3，b＝4，c＝5，以A为原点、CA、CB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设P（s，t），根据与得到x与y的等量关系，可求得xy的最大值为．【解答】解：由△ABC中，三边a，b，c满足成等差数列得2b＝a+c，由正弦定理得2sinB＝sinA+sinC，由sinB＝cosA•sinC得sin（A+C）＝cosAsinC得C＝，由2sinB＝sinA+sinC得2cosA＝sinA+1，代入sin2A+cos2A＝1可得sinA＝，cosA＝，由，得bccosA＝16，得bc＝20，可令a＝3，b＝4，c＝5，以A为原点、CA、CB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图：则A（4，0），B（0，3），C（0，0），设P（s，t），根据得（s﹣4，t）＝λ（﹣s，3﹣t）∴3s+4t＝12，由得（s，t）＝（2x，0）+（0，3y），∴，∴12＝6x+4y≥2，得xy≤，∴xy的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查平面向量数量积性质及运算、基本不等式应用，考查数学运算能力，属于难题．二、选择题13．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a+为纯虚数”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据复数的概念求出a，b满足的条件，然后利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：∵复数a+＝a﹣bi为纯虚数，∴a＝0且﹣b≠0，即a＝0且b≠0，∴“ab＝0”是“复数a+为纯虚数”必要不充分条件．故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用复数的有关概念是解决本题的关键．比较基础．14．已知向量，则下列能使成立的一组向量是（）A． B． C． D．【分析】作为基底不共线即可，判断四组向量是否共线．【解答】解：作为基底不共线即可，共线，共线，不共线，共线，故选：C．【点评】本题考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题．15．设复数z满足条件argz∈（π，π），则对应复平面上的点位于第（）象限A．一 B．二 C．三 D．四【分析】设出复数的三角形式，利用复数的运算法则化简求解，判断对应点所在象限即可．【解答】解：复数z满足条件argz∈（π，π），设z＝r（cosθ+isinθ），则＝（cos（﹣2θ）+isin2θ）＝（cos2θ+isin2θ），argz∈（π，π），即θ∈（π，π），可得2θ∈（，2π）．则对应复平面上的点位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查复数的三角形式的运算，复数的几何意义，是中档题．16．如图所示，半径为1的圆O始终内切于直角梯形ABCD，则当AD的长度增加时，以下结论：①越来越小；②保持不变．它们成立的情况是（）A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确【分析】以B为坐标原点，分别以BC、BA所在直线为x、y轴建立平面直角坐标系，求出B、A、O的坐标，设出C与D的坐标，得到CD所在直线方程，由O到CD的距离为1可得m与n的关系，然后分析两个命题得结论．【解答】解：建立如图所示平面直角坐标系，则B（0，0），A（0，2），O（1，1），设C（m，0），D（n，2），（m＞1，n＞1），则CD所在直线方程为，即2x+（m﹣n）y﹣2m＝0，由题意，，整理得m+n﹣mn＝0（m，n＞1），，，，，∴＝2﹣n，当AD的长度增加时，n增大，则越来越小，故①正确；＝（m+n﹣4，0），＝＝|mn﹣4|，当AD的长度增加时，n增大，|mn﹣4|是变化的，故②错误．故选：C．【点评】本题考查平面向量数量积的运算，考查向量模的求法，考查运算求解能力，是中档题．三、解答题17．设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3＝7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn＝log2an（n≥1），求数列{bn}的前n项和Tn．【分析】（1）设等比数列{an}的公比为q（q＞1），根据S3＝7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列即可求出a1和q，从而根据等比数列通项公式写出an即可．（2）分析可知数列{bn}是等差数列，根据等差数列的前n项和即可写出Tn．【解答】解；（1）设等比数列{an}的公比为q（q＞1），由a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，得6a2＝a1+3+a3+4，即a1+a3＝6a2﹣7，又S3＝7，得a1+a2+a3＝7，所以6a2﹣7+a2＝7，解得a2＝2．所以a1+a3＝5，则+2q＝5，即2q2﹣5q+2＝0，解得q＝2或q＝（舍去），所以a1＝＝＝1，因此an＝1×2n﹣1＝2n﹣1．（2）由（1）可知an＝2n﹣1，所以bn＝log2an＝n﹣1，所以Tn＝b1+b2+…+bn＝0+1+2+…+n﹣1＝．【点评】本题主要考查等差数列与等比数列的综合，考查推理运算求解能力，涉及逻辑推理、数学运算等数学学科核心素养，属于基础图．18．已知向量，不共线，t为实数．（Ⅰ）若＝，＝t，＝（+），当t为何值时，A，B，C三点共线；（Ⅱ）若||＝||＝1，且与的夹角为120°，实数x∈[﹣1，]，求|﹣x|的取值范围．【分析】（Ⅰ）因为A，B，C三点共线，则存在实数λ，使得，由此得到关于λ，t的方程解之；（Ⅱ）求出与的数量积，然后将所求平方，转化为与的模和数量积的运算，集合二次函数求最值．【解答】解：（Ⅰ）A，B，C三点共线，则存在实数λ，使得，即，则…（4分）（Ⅱ）由，则，因为，当时，的最小值为…（5分）当时，的最大值为…（6分）所以的取值范围是…（8分）【点评】本题考查了平面向量共线以及数量积公式的运用．19．已知复数z1＝sin2x﹣ti，，i为虚数单位，t，a，x∈R，且z1＝z2．（1）若t＝0且，求x的值；（2）设t＝f（x），已知，求．【分析】（1）t＝0，z1＝z2．sin2x＝a+（a﹣cos2x）i，利用复数相等可得sin2x＝a，a﹣cos2x＝0，进而得出x．（2）z1＝z2．sin2x﹣ti＝a+（a﹣cos2x）i，利用复数相等可得sin2x＝a，t＝﹣a+cos2x，t＝﹣sin2x+cos2x＝f（x），根据f（α）＝，结合诱导公式、倍角公式即可得出．【解答】解：（1）t＝0，z1＝z2．∴sin2x＝a+（a﹣cos2x）i，∴sin2x＝a，a﹣cos2x＝0，∴sin2x﹣cos2x＝0，∴tan2x＝，∵，∴0＜2x＜，∴2x＝，或2x＝，解得x＝，或x＝．（2）z1＝z2．∴sin2x﹣ti＝a+（a﹣cos2x）i，∴sin2x＝a，t＝cos2x﹣a，∴t＝﹣sin2x+cos2x＝f（x），∴f（α）＝﹣sin2α+cos2α＝，∴sin2α﹣cos2α＝﹣，∴sin（2α﹣）＝﹣，∴＝sin[2（2α﹣）+]＝﹣cos[2（2α﹣）]＝﹣[1﹣2]＝2×﹣1＝﹣．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等、三角函数求值、诱导公式、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．已知x∈R，，．（1）记函数，求函数f（x）取最大值时x的取值范围；（2）求证：与不平行；（3）设△ABC的三边a、b、c满足b2＝ac，且边b所对应的角为x，关于x的方程有且仅有一个实根，求实数t的范围．【分析】（1）把向量、的坐标代入进行化简，结合正弦函数图象性质可解决此问题；（2）通过2cosx•2（sinx﹣cosx）﹣2sinx（sinx+cosx）＝0无解可证明此题；（3）b2＝ac结合余弦定理b2＝a2+c2﹣accosB，再结合基本不等式可求得B＝x的取值范围，令g（x）＝+求其值域可解决此题．【解答】（1）解：＝2sinxcosx+（sinx+cosx）（sinx﹣cosx）＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣）．当sin（2x﹣）＝1时f（x）取得最大值，此时2x﹣＝2kπ+得x＝kπ+，∴函数f（x）取最大值时x的取值范围是{x|x＝kπ+，k∈Z}．（2）证明：2＝（2sinx，2（sinx﹣cosx）），假设∥2，则2cosx•2（sinx﹣cosx）﹣2sinx（sinx+cosx）＝0，得2sinxcosx﹣2cos2x﹣sin2x﹣sinxcosx＝0，sin2x﹣sin2x﹣cos2x﹣1﹣+cos2x＝0，（1﹣）（sin2x﹣cos2x）＝1+，得sin（2x﹣）＝7+4，显然无解．∴与不平行；（3）解：∵△ABC的三边a、b、c满足b2＝ac，由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accosB，∴ac＝a2+c2﹣accosB≥2ac﹣2accosB，∴cosB≥，∴B∈（0，]，∴x∈（0，]．令g（x）＝+，则g（x）＝+＝2sin（2x﹣）+．由x∈（0，]得2x﹣∈（﹣，]，令2x﹣＝m∈（﹣，]，函数g（x）即为h（m）＝2sinm+，m∈（﹣，]，若关于x的方程有且仅有一个实根，则函数h（m）＝2sinm+，m∈（﹣，]与y＝t有且仅有一个交点，∵函数h（m）＝2sinm+，在（﹣，]上单调递增，值域为（﹣，]，∴实数t的范围是（﹣，]．【点评】本题考查平面向量数量积性质及运算、函数与方程，考查数学运算能力及抽象能力，属于难题．21．对于一组复数z1，z2，z3，…，zn（n∈N，n≥3），令Sn＝z1+z2+z3+……+zn，如果存在zp（p∈{1，2，3，……，n}），使得|zp|≥|Sn﹣zp|，那么称zp是该复数组的“M复数”．（1）设zn＝n+（n﹣x）i（n∈{1，2，3}），若z3是复数组z1，z2，z3的“M复数”，求实数x的取值范围；（2）已知z1＝i，z2＝1+i，是否存在复数z3使得z1，z2，z3均是复数组z1，z2，