2020-2021学年河南省郑州市中牟县高二（下）期中数学试卷（理科）

第1页（共1页）2020-2021学年河南省郑州市中牟县高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将答案涂在答题卡的相应位置．1．（5分）下列等式错误的是（）A．C＝ B．＝（n﹣2）! C．A＝ D．A＝A2．（5分）复数（i为虚数单位）的虚部为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．23．（5分）已知函数f（x）＝﹣x2+2xf′（2021）+2021lnx﹣2，则f′（2021）＝（）A．2022 B．2021 C．2020 D．20194．（5分）用反证法证明“若a，b∈R，ab≠0，则a，b全不为0”时，假设正确的是（）A．a，b中只有一个为0 B．a，b至少一个不为0 C．a，b至少有一个为0 D．a，b全为05．（5分）已知复数z＝cos+isin，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是（）A．z2的共轭复数为z B．z2的实部为1 C．z+z2＝1 D．|z2|＝26．（5分）长、宽分别为a，b的矩形的外接圆的面积为（a2+b2），将此结论类比到空间中，正确的结论为（）A．长、宽、高分别为a，b，c的长方体的外接球的半径为 B．长、宽、高分别为的长方体的外接球的表面积为（a2+b2+c2） C．长、宽、高分别为的长方体的外接球的体积为（a3+b3+c3） D．长、宽、高分别为的长方体的外接球的表面积为π（a2+b2+c2）7．（5分）函数f（x）＝ln|x+1|﹣x2﹣2x的图象大致为（）A． B． C． D．8．（5分）如图是某社区的街道示意图，一辆洒水车从A点出发不重复地经过所有街道又回到A点，那么洒水车行走的不同路线有（）A．8种 B．12种 C．16种 D．24种9．（5分）函数f（x）＝的最大值为（）A． B． C．1 D．010．（5分）设z1，z2，z3为非零复数，下列命题：①若|z1|＝|z3|，则z1＝±z3．②若z1+z2＞z2+z3，则z1＞z3．③若z1z2＝z1z3，则z2＝z3．④若z1•z2＞z2•z3，则z1＞z3则其中真命题的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个11．（5分）为迎接“3+1+2”新高考，某校开设了化学、生物、政治、地理四门选修课程，要求每位同学都要选择其中的两门课程．已知甲同学选择了化学，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课程相同，丁与丙没有相同的课程．则以下说法错误的是（）A．丙有可能没有选化学 B．丁有可能没有选化学 C．乙、丙可能两门课程都相同 D．这4个人里恰有2个人选了化学12．（5分）已知f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导数，且∀x∈R，f′（x）＜1，f（1）＝0，则（）A．f（e）＞e﹣1 B．f（e）＞f（0）+e C．f（0）＜﹣1 D．f（0）＞﹣1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案填在答题卡的相应位置，答在其它地方无效．13．（5分）曲线f（x）＝sinx﹣2cosx﹣1在点（，0）处的切线方程为．14．（5分）若2﹣3i是关于x的方程2x2+px+q＝0（p，q∈R）的一个根，则p+q＝．15．（5分）在（1+x﹣）12的展开式中，x2项的系数为．16．（5分）将杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得到数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，记该数列为{an}，若数列{an}的前n项和为Sn，则S81＝．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卡指定区域内作答，答在其它地方无效．17．（10分）已知复数z＝1﹣mi（i是虚数单位，m∈R）满足z•（3+i）为纯虚数．（1）若复数z1•（1﹣i）＝m+2i，求|z1|；（2）若复数z2＝在复平面内对应的点在第四象限，求实数a的取值范围．18．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝﹣，满足Sn++2＝an（n≥2）．（1）计算S1，S2，S3，S4的值；（2）根据以上的值猜想Sn的表达式．19．（12分）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．①第5项的系数与第3项的系数之比是14：3；②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55；③C﹣C＝10．已知在（﹣）n的展开式中，_______．（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中含x5的项．20．（12分）已知函数f（x）＝2x3•（2t﹣）dt．（1）求f（x）在x∈[0，1]上的最小值；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣ax2+x+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，求实数a的值．21．（12分）已知某圆形花坛圆周上有A1，A2，A3，…，A1212个点，且将圆周12等分．（1）若从这12个点中任意选择4个点，求这4个点恰能组成矩形的概率；（2）若该花坛被四边形A1A5A7A10分成五部分，计划在这五部分里种植花卉，如果有6种不同的花卉可供选择，要求每部分种植1种花卉，并且相邻两部分种植不同的花卉，求共有多少种不同的花卉种植方案？22．（12分）已知函数f（x）＝1+﹣ax+alnx，其中a∈R．（1）当a≤0时，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）在（0，1）内有极值，试判断极值点的个数并求a的取值范围．

2020-2021学年河南省郑州市中牟县高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将答案涂在答题卡的相应位置．1．（5分）下列等式错误的是（）A．C＝ B．＝（n﹣2）! C．A＝ D．A＝A【分析】由排列组合数公式逐一计算即可求解结论．【解答】解：对于A，＝＝＝，故A错误；对于B，＝（n﹣2）•（n﹣1）•…•1＝（n﹣2）！，故B正确；对于C，＝n•（n﹣1）•…•（n﹣m+1）＝＝，故C正确；对于D，＝•n•（n﹣1）•…•（n﹣m+1）•（n﹣m）＝n•（n﹣1）•…•（n﹣m+1）＝A，故D正确．故选：A．【点评】本题主要考查排列与组合公式，考查运算求解能力，属于基础题．2．（5分）复数（i为虚数单位）的虚部为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【分析】利用复数的运算法则直接求解．【解答】解：复数＝＝＝1﹣i．∴复数（i为虚数单位）的虚部为﹣1．故选：A．【点评】本题考查复数的运算，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．3．（5分）已知函数f（x）＝﹣x2+2xf′（2021）+2021lnx﹣2，则f′（2021）＝（）A．2022 B．2021 C．2020 D．2019【分析】利用题中的条件求出函数f（x）的导数，进而解出结果．【解答】解：由题意可知f′（x）＝﹣x+2f′（2021）+，令x＝2021，∴f′（2021）＝﹣2021+2f′（2021）+1，∴f′（2021）＝2020，故选：C．【点评】本题考查了导函数的定义，学生的数学运算能力，属于基础题．4．（5分）用反证法证明“若a，b∈R，ab≠0，则a，b全不为0”时，假设正确的是（）A．a，b中只有一个为0 B．a，b至少一个不为0 C．a，b至少有一个为0 D．a，b全为0【分析】用反证法证明数学命题时，应先假设要证的命题的否定成立，求出要证命题的否定，即可得到答案．【解答】解：用反证法证明数学命题时，应先假设要证的命题的否定成立，而命题“若a，b∈R，ab≠0，则a，b全不为0”的否定为“a，b至少有一个为0”．故选：C．【点评】本题主要考查用反证法证明数学命题的方法和步骤，求一个命题的否定，属于基础题．5．（5分）已知复数z＝cos+isin，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是（）A．z2的共轭复数为z B．z2的实部为1 C．z+z2＝1 D．|z2|＝2【分析】由复数z＝cos+isin＝﹣+i，求出z2＝（）2＝﹣，由此能求出结果．【解答】解：复数z＝cos+isin＝﹣+i，z2＝（）2＝＝﹣，∴z2的共轭复数为z，故A正确；z2的实部为﹣，故B错误；z+z2＝﹣﹣＝﹣1，故C错误；|z2|＝＝1，故D错误．故选：A．【点评】本题考查复数的运算，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．6．（5分）长、宽分别为a，b的矩形的外接圆的面积为（a2+b2），将此结论类比到空间中，正确的结论为（）A．长、宽、高分别为a，b，c的长方体的外接球的半径为 B．长、宽、高分别为的长方体的外接球的表面积为（a2+b2+c2） C．长、宽、高分别为的长方体的外接球的体积为（a3+b3+c3） D．长、宽、高分别为的长方体的外接球的表面积为π（a2+b2+c2）【分析】平面的矩形，对应类比空间的长方体；平面矩形的外接圆的面积，对应类比空间长方体的外接球的表面积；通过计算可得空间长方体的外接球的半径为，外接球的表面积为π（a2+b2+c2）．【解答】解：设长方体的长，宽，高分别为a，b，c；则长方体的体对角线长＝2×外接球的半径＝；所以空间长方体外接球的半径为，外接球表面积S＝4πr2＝π（a2+b2+c2）．故选：D．【点评】本题是基础题，考查类比推理及长方体的外接球的表面积的计算，考查空间想象能力，计算能力．7．（5分）函数f（x）＝ln|x+1|﹣x2﹣2x的图象大致为（）A． B． C． D．【分析】根据函数定义域以及特殊函数值，运用排除法得解．【解答】解：函数的定义域为{x|x≠﹣1}，故选项C错误；当x＝1时，f（1）＝ln2﹣3＜0，故选项A错误；当x→﹣1时，ln|x+1|→﹣∞，x2+2x→﹣1，则f（x）→﹣∞，故选项B错误．综上，选项D符合题意．故选：D．【点评】本题考查根据函数解析式确定函数图象，考查排除法的运用，属于基础题．8．（5分）如图是某社区的街道示意图，一辆洒水车从A点出发不重复地经过所有街道又回到A点，那么洒水车行走的不同路线有（）A．8种 B．12种 C．16种 D．24种【分析】根据题意，洒水车从A点出发可以选择向左或向右，有2种情况，据此分2种情况分析，求出每种情况下的行走路线，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，洒水车从A点出发可以选择向左或向右，有2种情况，①若向左，走到B点时，有3种选择，走到C点后有2种选择回到A点，有2×3＝6种路线，②若向右，走到C点时，有3种选择，走到B点后有2种选择回到C点，最后剩下1种选择回到B，最后返回A，有2×3＝6种路线，；综上，共有：6+6＝12种路线．故选：B．【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．9．（5分）函数f（x）＝的最大值为（）A． B． C．1 D．0【分析】求出函数的导数，判断函数的单调性，然后求解函数的最大值即可．【解答】解：f′（x）＝＝，当0＜x＜1时，lnx＜0，＞1，∴﹣lnx﹣1＞0，函数是增函数，当x＞1时，lnx＞0，0＜＜1，∴﹣lnx﹣1＜0．函数是减函数，即当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0．∴当x＝1时，f（x）max＝f（1）＝．故选：B．【点评】本题考查函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．10．（5分）设z1，z2，z3为非零复数，下列命题：①若|z1|＝|z3|，则z1＝±z3．②若z1+z2＞z2+z3，则z1＞z3．③若z1z2＝z1z3，则z2＝z3．④若z1•z2＞z2•z3，则z1＞z3则其中真命题的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】直接利用复数的运算和复数的模的运算判断①②③④的结论．【解答】解：设z1，z2，z3为非零复数，下列命题：①若|z1|＝|z3|，只能说明z1和z3的模相等，但是不能说明z1＝±z3．故②错误；②若z1+z2＞z2+z3，说明z1+z2和z2+z3都为实数，但是并不能说明z1和z3都为实数，故z1＞z3错误；③若z1z2＝z1z3，整理得z1•（z2﹣z3）＝0，由于z1为非零复数，则z2＝z3，故③正确；④若z1•z2和z2•z3，为实数，但是z1和z3不一定为实数，故z1＞z3错误，故④错误；故选：B．【点评】本题考查的知识要点：复数的运算，复数的模，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．11．（5分）为迎接“3+1+2”新高考，某校开设了化学、生物、政治、地理四门选修课程，要求每位同学都要选择其中的两门课程．已知甲同学选择了化学，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课程相同，丁与丙没有相同的课程．则以下说法错误的是（）A．丙有可能没有选化学 B．丁有可能没有选化学 C．乙、丙可能两门课程都相同 D．这4个人里恰有2个人选了化学【分析】根据题意合理推理，并作出合理的假设，最终得出正确结论．【解答】解：根据题意，∵甲选择了化学，乙与甲没有相同课程，∴乙必定没选化学．又丙与甲有一门课相同，假设丙选择了化学，而丁与丙无相同课程，则丁一定没选化学；若丙没选化学，又丁与丙无相同课程，则丁必定选择了化学．综上，A、B、D都有可能，而C是不可能的，故C错误，故选：C．【点评】本题主要考查了学生的推理能力，属于中档题．12．（5分）已知f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导数，且∀x∈R，f′（x）＜1，f（1）＝0，则（）A．f（e）＞e﹣1 B．f（e）＞f（0）+e C．f（0）＜﹣1 D．f（0）＞﹣1【分析】令g（x）＝f（x）﹣x，求出函数的导数，根据导函数的符号，求出函数的单调性，判定答案即可．【解答】解：∵f′（x）＜1，∴f′（x）﹣1＜0，令g（x）＝f（x）﹣x，则g′（x）＝f′（x）﹣1＜0，故g（x）在R单调递减，故g（0）＞g（1）＞g（e），而g（0）＝f（0），g（1）＝f（1）﹣1＝﹣1，g（e）＝f（e）﹣e，f（0）＞f（1）﹣1＝﹣1＞f（e）﹣e，故f（e）＜e﹣1，故A错误，f（e）＜f（0）+e，故B错误，f（0）＞﹣1，故C错误，D正确，故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案填在答题卡的相应位置，答在其它地方无效．13．（5分）曲线f（x）＝sinx﹣2cosx﹣1在点（，0）处的切线方程为2x﹣y﹣π＝0．【分析】求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由直线的点斜式方程，可得切线的方程．【解答】解：f（x）＝sinx﹣2cosx﹣1的导数为f′（x）＝cosx+2sinx，可得曲线f（x）＝sinx﹣2cosx﹣1在点（，0）处的切线的斜率为f′（）＝cos+2sin＝2，则切线的方程为y﹣0＝2（x﹣），即为2x﹣y﹣π＝0．故答案为：2x﹣y﹣π＝0．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题．14．（5分）若2﹣3i是关于x的方程2x2+px+q＝0（p，q∈R）的一个根，则p+q＝18．【分析】利用实系数的一元二次方程的虚根成对原理即可得出．【解答】解：∵2﹣3i是关于x的方程2x2+px+q＝0（p，q∈R）的一个根，∴2+3i是关于x的方程2x2+px+q＝0（p，q∈R）的一个根，∴，解得p＝﹣8，q＝26，∴p+q＝﹣8+26＝18．故答案为：18．【点评】本题考查了实系数的一元二次方程的虚根成对原理，属于基础题．15．（5分）在（1+x﹣）12的展开式中，x2项的系数为66．【分析】由题意利用乘方的意义，组合数公式，计算求得结果．【解答】解：在（1+x﹣）12的表示12个因式（1+x﹣）的乘积，故有2个因式取x，其余的10个因式都取1，可得展开式中，含x2项，故含x2项的系数为•＝66，故答案为：66．【点评】本题主要考查乘方的意义，组合数公式的应用，属于中档题．16．（5分）将杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得到数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，记该数列为{an}，若数列{an}的前n项和为Sn，则S81＝4174．【分析】通过题目中数图规律可归纳：每行数的个数是公差和首项都为“1”的数列、第n行数的各项和为2n﹣1．以此可解决本题．【解答】解：由题目中数图可知：前n行数的个数和为1+2+3+•••+n＝，由此可知第81个数位于第13行的第三个数．由数图又可知第n行数的各项依次为：，，•••，，和为2n﹣1．由上面归纳可知：S81＝1+2+22+23+•••+211+1+12+66＝4174．故答案为：4174．【点评】本题考查等差等比数列、归纳法，考查数学运算能力及数据分析能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卡指定区域内作答，答在其它地方无效．17．（10分）已知复数z＝1﹣mi（i是虚数单位，m∈R）满足z•（3+i）为纯虚数．（1）若复数z1•（1﹣i）＝m+2i，求|z1|；（2）若复数z2＝在复平面内对应的点在第四象限，求实数a的取值范围．【分析】由已知求得m．（1）求出z1，再由商的模等于模的商求解；（2）由虚数单位i的运算性质化简z2，再由实部大于0且虚部小于0联立不等式组求解．【解答】解：由z•（3+i）＝（1﹣mi）（3+i）＝（3+m）+（1﹣3m）i为纯虚数，可得，即m＝﹣3．（1）由z1•（1﹣i）＝m+2i，得，∴＝；（2）z2＝＝＝＝，由题意，，解得a＞3，∴实数a的取值范围是（3，+∞）．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题．18．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝﹣，满足Sn++2＝an（n≥2）．（1）计算S1，S2，S3，S4的值；（2）根据以上的值猜想Sn的表达式．【分析】（1）a1＝﹣，满足Sn++2＝an（n≥2）．Sn++2＝an＝Sn﹣Sn﹣1，化为：+2＝﹣Sn﹣1，即Sn＝．即可得出．（2）根据（1）猜想Sn＝﹣．【解答】解：（1）a1＝﹣，满足Sn++2＝an（n≥2）．∴Sn++2＝an＝Sn﹣Sn﹣1，化为：+2＝﹣Sn﹣1，即Sn＝．可得：S1＝a1＝﹣，n＝2时，S2＝﹣＝﹣＝﹣．同理可得：S3＝﹣，S4＝﹣．（2）根据（1）猜想Sn＝﹣．【点评】本题考查了数列递推关系、数列的通项公式、猜想能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．①第5项的系数与第3项的系数之比是14：3；②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55；③C﹣C＝10．已知在（﹣）n的展开式中，_______．（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中含x5的项．【分析】（1）由题意利用，二项式系数的性质，求得n的值，再利用通项公式求得展开式中二项式系数最大的项．（2）由题意利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中含x5的项．【解答】解：①在（﹣）n的展开式中，（1）若选①，第5项的系数与第3项的系数之比是14：3，则：＝14：3，求得n＝10，当二项式系数最大时，r＝5，即第六项的二项式系数最大，此项为T6＝•（﹣1）5•＝﹣252．（2）该二项式的通项公式为Tr+1＝•（﹣1）r•，令＝5，求得r＝0，故展开式中含x5的项为T1＝•x5＝x5．②在（﹣）n的展开式中，（1）若选②，第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55，则+＝n+＝＝55，∴n＝10，当二项式系数最大时，r＝5，即第六项的二项式系数最大，此项为T6＝•（﹣1）5•＝﹣252．（2）该二项式的通项公式为Tr+1＝•（﹣1）r•，令＝5，求得r＝0，故展开式中含x5的项为T1＝•x5＝x5．③在（﹣）n的展开式中，（1）若选③，C﹣C＝10＝﹣，∴n＝10，当二项式系数最大时，r＝5，即第六项的二项式系数最大，此项为T6＝•（﹣1）5•＝﹣252．（2）该二项式的通项公式为Tr+1＝•（﹣1）r•，令＝5，求得r＝0，故展开式中含x5的项为T1＝•x5＝x5．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于中档题．20．（12分）已知函数f（x）＝2x3•（2t﹣）dt．（1）求f（x）在x∈[0，1]上的最小值；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣ax2+x+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，求实数a的值．【分析】（1）利用微积分基本定理可得（2t﹣）dt，即可得出f（x），利用导数研究其单调性即可得出．（2）g（x）＝f（x）﹣ax2+x+1＝2x3﹣ax2+1在（0，+∞）内有且只有一个零点⇔函数y＝a与函数h（x）＝2x+在（0，+∞）内只有一个交点．利用导数研究函数h（x）在（0，+∞）上单调性即可得出．【解答】解：（1）（2t﹣）dt＝＝，∴f（x）＝2x3•（2t﹣）dt＝2x3﹣x，x∈[0，1]．f′（x）＝6x2﹣1＝6（x+）（x﹣），∴函数f（x）在[0，）上单调递减，在（，1]上单调递增．∴x＝时函数f（x）取得极小值即最小值，f（）＝﹣．（2）g（x）＝f（x）﹣ax2+x+1＝2x3﹣ax2+1在（0，+∞）内有且只有一个零点⇔函数y＝a与函数h（x）＝2x+在（0，+∞）内只有一个交点．h′（x）＝2﹣＝，可得函数h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．h（x）min＝h（1）＝3，x→0时，h（x）→+∞；x→+∞时，h（x）→+∞．∴只有a＝3时，函数y＝3与函数h（x）＝2x+在（0，+∞）内只有一个交点．∴a＝3．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性及其极值、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．（12分）已知某圆形花坛圆周上有A1，A2，A3，…，A1212个点，且将圆周12等分．（1）若从这12个点中任意选择4个点，求这4个点恰能组成矩形的概率；（2）若该花坛被四边形A1A5A7A10分成五部分，计划在这五部分里种植花卉，如果有6种不同的花卉可供选择，要求每部分种植1种花卉，并且相邻两部分种植不同的花卉，求共有多少种不同的花卉种植方案？【分析】（1）从12个点中任意选择4点有种不同的选法，以这些等分点为顶点的矩形一定是以其中两条直线为对角线，有＝15个矩形，由此能求出这4个点恰能组成矩形的概率．（2）6种花卉种在①②③④⑤五个区域，分五步进行：第一步：对于区域①有6种花卉选择，第二步：对于区域②有5种花卉选择，第三步：对于区域③有5种花卉选择，第四步：对于区域④有5种花卉选择，第五步：对于区域⑤有5种花卉选择，利用乘法计数原理能求出不同的花卉种植方案的种数．【解答】解：（1）从12