湖北省武汉市一初慧泉中学高二数学理联考试题含解析

湖北省武汉市一初慧泉中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：D【考点】极差、方差与标准差．【分析】由题意知这组数据的平均数为10，方差为2可得到关于x，y的一个方程组，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出|x﹣y|，利用换元法来解出结果．【解答】解：由题意这组数据的平均数为10，方差为2可得：x+y=20，（x﹣10）2+（y﹣10）2=8，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出|x﹣y|，设x=10+t，y=10﹣t，由（x﹣10）2+（y﹣10）2=8得t2=4；∴|x﹣y|=2|t|=4，故选D．2.某工厂为了调查工人文化程度与月收入的关系，随机抽取了部分工人，得到如下列表：

文化程度与月收入列表

单位：人

月收入2000元以下月收入2000元及以上总计高中文化以上104555高中文化及以下203050总计3075105

由上表中数据计算得=6.109，请根据下表，估计有多大把握认为“文化程度与月收入有关系”(

)A．1％

B．99％

C．2.5％

D．97.5％参考答案：D3.已知（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略4.下列语句为命题的是（

）A．对角线相等的四边形

B.C.

D.有一个内角是的三角形是直角三角形.参考答案：D略5.已知a＞b＞0，则方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0的曲线在同一坐标系中大致是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】曲线与方程．【分析】根据题意，a＞b＞0，可以整理椭圆a2x2+b2y2=1与抛物线ax+by2=0变形为标准形式，可以判断其焦点所在的位置，进而分析选项可得答案．【解答】解：由a＞b＞0，椭圆a2x2+b2y2=1，即=1，焦点在y轴上；抛物线ax+by2=0，即y2=﹣x，焦点在x轴的负半轴上；分析可得，D符合，故选D．【点评】本题考查由椭圆、抛物线的方程判断图象的方法，注意先判断曲线的形状，再分析焦点等位置．6.从10个学生中挑选若干人组成一组，如果必含其中某人的组合数等于必不含某人的组合数，则这样的一个组合的人数有（

）

A．4个B．5个C．6个D．7个参考答案：B略7.设是函数的导函数，则的值为（）（A）1 （B）0 （C）

（D）参考答案：C8.设m、n为实数，若m+n=2，则3m+3n的最小值为（）A．18 B．6 C．2 D．9参考答案：B【考点】基本不等式．【专题】不等式．【分析】根据基本不等式和指数幂的运算即可得到答案．【解答】解：∵m+n=2，∴3m+3n≥2=2×=6，当且仅当m=n=1时取等号．故选：B．【点评】本题考查基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键．9.（5分）在6道题中有4道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到文科题的概率为（） A． B． C． D． 参考答案：D10.已知等差数列的前项和为，若（

）

A．72

B．68

C．54

D．90参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设随机变量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝，则P(Y≥1)＝________.参考答案：12.某班课程表中星期二上午的5节课要排语文、英语、数学、政治和化学5个科目（每科都要排），要求语文、英语不相邻的不同排法种数是

（用数字作答）参考答案：72略13..对于各数互不相等的整数数组(i1,i2,i3…，in)(n是不小于3的正整数)，若对任意的p，q∈{1，2，3…，n},当p＜q时有ip＞iq，则称ip，iq是该数组的一个“逆序”.一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，则数组（2，4，3，1）的逆序数为

.参考答案：

4略14.比较大小：403（6）

217（8）参考答案：>15.一物体沿直线以速度（的单位为:秒,的单位为:米/秒）的速度作变速直线运动，则该物体从时刻t=0秒至时刻t=5秒间运动的路程是_______米参考答案：10略16.将标号为的张卡片放入个不同的信封中，若每个信封放张，其中标号为的卡片放入同一信封，则有

▲

种不同的放法．（用数字作答）参考答案：18略17.如下图所示，E、F分别是正方体的棱AA1、的中点，则四边形BFD1E在该正方体的各表面内的射影可能是 .

(要求：把可能的图形的序号都填上)

①

②

③

④

参考答案：①②三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.［选修4－2：矩阵与变换］（本小题满分10分）

已知二阶矩阵A的属于特征值－1的一个特征向量为，属于特征值3的一个特征向量为，求矩阵A。参考答案：

解：设

则

∴

∴19.已知(x∈N＋)①求证：

②试求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2010)参考答案：f(x)的周期T＝＝4，所以而f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝sin＋sin＋sin＋sin＝cos－sin－cos＋sin＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2010)＝502×(f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4))＋f(2009)＋f(2010)＝f(1)＋f(2)＝cos－sin＝0.20.已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是（0，﹣），（0，），且AC，BC所在直线的斜率之积等于．（1）求顶点C的轨迹M的方程；（2）当点P（1，t）为曲线M上点，且点P为第一象限点，过点P作两条直线与曲线M交于E，F两点，直线PE，PF斜率互为相反数，则直线EF斜率是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由．参考答案：【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）C点坐标为（x，y），运用直线的斜率公式，化简整理，可得所求轨迹方程，注意去除y轴上的点；（2）设E（x1，y1），F（x2，y2），令直线PE：y﹣=k（x﹣1），联立椭圆方程，运用韦达定理求得E的坐标，同理将k换为﹣k，可得F的坐标，再由直线的斜率公式，化简整理，即可得到定值．【解答】解：（1）令C点坐标为（x，y），则直线AC的斜率k1=，直线BC的斜率k2=，因为两直线的斜率之积为，所以有，化简得到，所以轨迹M表示焦点在x轴上的椭圆，且除去（0，﹣），（0，）两点；（2）由题意曲线M为+=1（x≠0），点P（1，），设E（x1，y1），F（x2，y2），令直线PE：y﹣=k（x﹣1），联立椭圆方程，得（3+4k2）x2+8k（﹣k）x+4（﹣k）2﹣12=0，则x1xP=，故x1=，同理x2=，kEF=====，故直线EF斜率为为定值．21.用数学归纳法证明：≤n+1（n∈N*）．参考答案：【考点】RG：数学归纳法．【专题】14：证明题；55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】本题考查的知识点是数学归纳法，由数学归纳法的步骤，我们先判断n=1时成立，然后假设当n=k时成立，只要能证明出当n=k+1时，结论成立，立即可得到所有的正整数n都成立．【解答】证明：①n=1时，左边=，右边=2，成立；②设n=k时，结论成立，即≤k+1，即k+1≥0则n=k+1时，左边==≤＜k+2，∴n=k+1时，成立．由①②可知，≤n+1（n∈N*）．【点评】数学归纳法的步骤：①证明n=1时A式成立②然后假设当n=k时，A式成立③证明当n=k+1时，A式也成立④下绪论：A式对所有的正整数n都成立．22.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，向量，，且．（1）求角B；（2）若a，b，c成等差数列，且b=2，求△ABC的面积．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；余弦定理．【专题】计算题；三角函数的图像与性质；解三角形；平面向量及应用．【分析】（1）根据向量数量积的运算公式，结合三角恒等变换公式化简整理，得，再由0＜B＜π，解此方程可得角B的大小；（2）根据余弦定理，建立关于a、c的方程并化简得4=a2+c2﹣ac，而a、b、c成等差数列得a+c=2b=4，代入前面的式子解出a=c=2，从而得到△ABC是等边三角形，由此不难得到△ABC的面积．【解答】解：（1）∵向量，，且，∴，化简得，可得，…（5分）又0＜B＜π，得，∴，解之得…（7分）（2）∵a，b，c成等差数列，b=2，∴a+