湖北省荆州市石首滑家镇东升中学2022年高三数学理期末试卷含解析

湖北省荆州市石首滑家镇东升中学2022年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知O为坐标原点，双曲线上有一点P，过点P作双曲线C的两条渐近线的平行线，与两渐近线的交点分别为A，B，若平行四边形OAPB的面积为1，则双曲线C的离心率为（）A． B． C．2 D．参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的渐近线方程，设P（m，n）是双曲线上任一点，设过P平行于x+ay=0的直线为l，求得l的方程，联立另一条渐近线可得交点A，|OA|，求得P到OA的距离，由平行四边形的面积公式，化简整理，解方程可得a=2，求得c，进而得到所求双曲线的离心率．【解答】解：由双曲线方程可得渐近线方程x±ay=0，设P（m，n）是双曲线上任一点，设过P平行于x+ay=0的直线为l，则l的方程为：x+ay﹣m﹣an=0，l与渐近线x﹣ay=0交点为A，则A（，），|OA|=||，P点到OA的距离是：，∵|OA|?d=1，∴||?.=1，∵，∴a=2，∴，∴．故选：D．2.已知△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠A=，M是BC的中点，则A.

B.11

C.12

D.15参考答案：B3.若双曲线过点（m,n）（），且渐近线方程，则双曲线的焦点位置（

）

A．在x轴上

B．在y轴上C．在x轴或y轴上

D．无法判断是否在坐标轴上参考答案：A4.直线，圆，直线与圆交于两点，则等于

（

）A．2

B．3

C．4

D．参考答案：A5.如图，函数y=f（x）的图像为折线ABC，设f1（x）=f（x），fn+1（x）=f[fn+1（x）],n∈N*,则函数y=f4（x）的图像为参考答案：D6.已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜x，且f（2）=1，则不等式f（x）＜x2﹣1的解集为（）A．（﹣2，+∞） B．（0，+∞） C．（1，+∞） D．（2，+∞）参考答案：D【考点】函数的单调性与导数的关系．【专题】转化思想；构造法；导数的综合应用．【分析】根据条件构造函数g（x）=f（x）﹣（x2﹣1），求出函数g（x）的导数，利用导数和单调性之间的关系即可求出解集．【解答】解：设g（x）=f（x）﹣（x2﹣1），则函数的导数g′（x）=f′（x）﹣x，∵f′（x）＜x，∴g′（x）=f′（x）﹣x＜0，即函数g（x）为减函数，且g（2）=f（2）﹣（×4﹣1）=1﹣1=0，即不等式f（x）＜x2﹣1等价为g（x）＜0，即等价为g（x）＜g（2），解得x＞2，故不等式的解集为{x|x＞2}．故选：D．【点评】本题主要考查了不等式的求解以及构造函数，利用导数研究函数的单调性问题，是综合性题目．7.若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=(

) A．5 B．6 C．7 D．8参考答案：B考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论．解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（﹣1，﹣1），此时z=﹣2﹣1=﹣3，此时n=﹣3，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即B（2，﹣1），此时z=2×2﹣1=3，即m=3，则m﹣n=3﹣（﹣3）=6，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．8.若数列{an}的前n项和为Sn对任意正整数n都有Sn=2an﹣1，则S6=(

) A．32 B．31 C．64 D．63参考答案：D考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知条件推导出{an}是首项为1，公比为2的等比数列，由此能求出S6．解答： 解：∵Sn=2an﹣1，∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（2an﹣1）﹣（2an﹣1﹣1）=2an﹣2an﹣1，∴an=2an﹣1，当n=1时，S1=a1=2a1﹣1，解得a1=1，∴{an}是首项为1，公比为2的等比数列，∴S6==63．故选：D．点评：本题考查数列的前6项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．9.平面平面的一个充分条件是（）Ａ．存在一条直线

Ｂ．存在一条直线Ｃ．存在两条平行直线Ｄ．存在两条异面直线参考答案：答案：D解析：平面平面的一个充分条件是存在两条异面直线，选Ｄ．10.若复数满足为虚数单位），则（

）A．

B．3

C．4

D．5参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，点E满足，则=．参考答案：0【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据菱形中的边角关系，利用平面向量的线性运算与数量积定义，计算即可．【解答】解：如图所示，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，，∴=+=+，∴=（+）?=?+?=2×2×cos（180°﹣60°）+×2×2=0．故答案为：0．【点评】本题考查了平面向量的数量积和线性运算问题，是基础题．12.设数列{an}的前n项和为Sn，且，若a4=32，则a1=．参考答案：【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】利用，a4=32，可得=32，即可得出结论．【解答】解：∵，a4=32，∴=32，∴a1=，故答案为．【点评】本题考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，比较基础．13.已知F1、F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若在右支上存在点A，使得点F2到直线AF1的距离为2a，则该双曲线的离心率的取值范围是．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】设A点坐标为（m，n），则直线AF1的方程为（m+c）y﹣n（x+c）=0，求出右焦点F2（c，0）到该直线的距离，可得直线AF1的方程为ax﹣by+ac=0，根据A是双曲线上的点，可得b4﹣a4＞0，即可求出双曲线的离心率的取值范围．【解答】解：设A点坐标为（m，n），则直线AF1的方程为（m+c）y﹣n（x+c）=0，右焦点F2（c，0）到该直线的距离=2a，所以n=（m+c），所以直线AF1的方程为ax﹣by+ac=0，与﹣=1联立可得（b4﹣a4）x2﹣2a4cx﹣a4c2﹣a2b4=0，因为A在右支上，所以b4﹣a4＞0，所以b2﹣a2＞0，所以c2﹣2a2＞0，即e＞．故答案为：．14.已知半径为2的圆O与长度为3的线段PQ相切,若切点恰好为PQ的一个三等分点,则_______▲_________.参考答案：略15.函数f（x）=sinωx+cosωx（x∈R），又f（α）=﹣2，f（β）=0，且|α﹣β|的最小值等于，则正数ω的值为

．参考答案：1【考点】三角函数的最值．【分析】由题意可得，|α﹣β|的最小值为=?=，由此求得正数ω的值．【解答】解：∵f（x）=sinωx+cosωx=2sin（ωx+），x∈R，f（α）=﹣2，f（β）=0，∴|α﹣β|的最小值为为=?=，则正数ω=1，故答案为：1．16.已知曲线在点处的切线平行于直线，则___▲___.参考答案：17.在中，点在线段的延长线上，且，点在线段上（与点不重合）若，则的取值范围是____________.参考答案：【知识点】平面向量基本定理F2=y=y(-)=-y+(1+y),y,x.【思路点拨】根据所给的数量关系，写出要求向量的表示式，注意共线的向量之间的二分之一关系，根据表示的关系式和所给的关系式进行比较，得到结果．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列{an}的前n项和Sn=an+n2﹣1，数列{bn}满足3n?bn+1=（n+1）an+1﹣nan，且b1=3．（Ⅰ）求an，bn；（Ⅱ）设Tn为数列{bn}的前n项和，求Tn，并求满足Tn＜7时n的最大值．参考答案：【考点】数列与不等式的综合．【专题】点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（Ⅰ）在已知数列递推式中取n=n﹣1得另一递推式，两式作差后整理得到an﹣1=2n﹣1，则数列{an}的通项公式可求，把an代入3n?bn+1=（n+1）an+1﹣nan，整理后求得数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）由错位相减法求得数列{bn}的前n项和Tn，然后利用作差法说明{Tn}为递增数列，通过求解T3，T4的值得答案．【解答】解：（Ⅰ）由，得（n≥2），两式相减得，an=an﹣an﹣1+2n﹣1，∴an﹣1=2n﹣1，则an=2n+1．由3n?bn+1=（n+1）an+1﹣nan，∴3n?bn+1=（n+1）（2n+3）﹣n（2n+1）=4n+3．∴．∴当n≥2时，，由b1=3适合上式，∴；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴①．②．①﹣②得，=．∴．∵．∴Tn＜Tn+1，即{Tn}为递增数列．又，．∴Tn＜7时，n的最大值3．【点评】本题是数列与不等式的综合题，考查了数列递推式，训练了利用数列的前n项和求通项公式，考查了错位相减法求数列的和，求解（Ⅱ）的关键是说明数列{Tn}为递增数列，是中高档题．19.已知数列{an}的前n项和为Sn，满足，且．正项数列{bn}满足，其前7项和为42．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）令，数列{cn}的前n项和为Tn，若对任意正整数n，都有，求实数a的取值范围；（3）将数列{an}，{bn}的项按照“当n为奇数时，an放在前面；当n为偶数时，bn放在前面”的要求进行排列，得到一个新的数列：，，，，，，，，，，，…，求这个新数列的前n项和Pn．参考答案：（1），；（2）；（3），【分析】（1）是首项为1，公差为等差数列，计算得到；化简得到，计算得到答案.（2），，设，根据单调性得到，只需即可.（3）讨论为偶数，和三种情况，分别计算得到答案.【详解】（1），故是首项为，公差为的等差数列，故，当时，，时满足，故，则，即前7项和，故（2），即易知函数，单调递增，故（3）当为偶数时：；当时，；当时，故【点睛】本题考查了数列的通项公式，前项和，恒成立问题，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.20.已知函数f（x）=﹣1．（1）判断函数f（x）的单调性；（2）设m＞0，求f（x）在[m，2m]上的最大值；（3）证明：?n∈N*，不等式ln（）e＜．参考答案：考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；综合题；分类讨论；转化思想．分析：（1）利用商的求导法则求出所给函数的导函数是解决本题的关键，利用导函数的正负确定出函数的单调性；（2）利用导数作为工具求出函数在闭区间上的最值问题，注意分类讨论思想的运用；（3）利用导数作为工具完成该不等式的证明，注意应用函数的最值性质．解答： 解：（1）函数f（x）的定义域是：（0，+∞）由已知令f′（x）=0得，1﹣lnx=0，∴x=e∵当0＜x＜e时，，当x＞e时，∴函数f（x）在（0，e]上单调递增，在[e，+∞）上单调递减，（2）由（1）知函数f（x）在（0，e]上单调递增，在[e，+∞）上单调递减故①当0＜2m≤e即时，f（x）在[m，2m]上单调递增∴，②当m≥e时，f（x）在[m，2m]上单调递减∴，③当m＜e＜2m，即时∴．（3）由（1）知，当x∈（0，+∞）时，，∴在（0，+∞）上恒有，即且当x=e时“=”成立，∴对?x∈（0，+∞）恒有，∵，∴即对?n∈N*，不等式恒成立．点评：此题是个中档题．本题考查导数在函数中的应用问题，考查函数的定义域思想，考查导数的计算，考查导数与函数单调性的关系，考查函数的最值与导数的关系，体现了等价转化的数学思想和分类讨论的思想，同时考查了学生的计算能力．21.设函数。 （1）若时，解不等式； （2）若函数有最小值，求a的取值范围。参考答案：（1）。（2）。试题解析：（1）当时，。当时，可化为，解得；当时，可化为，解得。综上可得，原