2025年新高考数学选填压轴好题汇编（一）（解析版）

2025年新高考数学名校选填压轴好题汇编(一)

一、单选题

1.(广东唐六校2025居高三八月第一次联考数学试题)将半径为R的铁球磨制成一个圆柱体零件,则可

能制作的圆柱体零件的侧面积的最大值为()

A.兀&B.2兀&C.2■兀&D.4兀充

【答案】B

【解析】设圆柱的底面半径为T,高为h,

由圆柱体零件的侧面积最大可得圆柱体内接于球，此时圆柱的轴的中点为球的球心，

所以产+居)2=加，

由基本不等式可得r2+(与1)2•r•-y=rh,

当且仅当r=殍五，r=嚣/?时等号成立，

所以MX店,

由圆柱的侧面积公式可得，圆柱的侧面积5=2兀丁无，

所以S42TLR2,当且仅当丁=4尺，『二，^R时等号成立，

所以可能制作的圆柱体零件的侧面积的最大值为2兀店.

故选：

22

2.(广东看六校2025居高三八月第一次第考数学试题)设双曲线C：与—%=l(a>0,6〉0)的左、右焦

ab

点分别为E,月，过F2的直线与C的右支交于双，N两点，记4MFM与ANFM的内切圆半径分别为

八,宝.若八度2=9。2,则。的离心率为()

A.V2B.V3C.3D.4

【答案】。

【解析】设片(―c,0),E(c,0)，其中°?=(?+/,

设△MFI®与&NF尽的内心。1,。2的横坐标分别为©,22,

过。1分别作人阴、儿因、E鸟的垂线，垂足分别为R、S、T,

则\MR\=|MS|、质|=E7|、因S|=|*|,

又\MF^-\MF^(|Affi|+|RF]|)-(|A^S|+|SE|)=|凡用—|SE|=|丁制—|T蜀=2a,

且㈤制=|TE|+|型|=2c,则|坨|=a+c,T(a,0)，于是g=a，同理©=a,

因此点Q、C»2在直线t=a上，又用Oi平分/T&P,用Q平分/T£Q,

“EQ=兀，则/Q耳Q=f,|QT|•102Tl=IT研，

而\TFt\-c-a,\O]T\-rx,\O^r\—r2,

则W2=(c—a)2,即9a2=(c—a),,解得c=4a,

所以双曲线的离心率e=9=4.

a

故选：D

3.(广东看深圳外国语学校(集团)龙华高中等2025居商三第一次月考数学试题)已知函数/(/)=

sin(2/+?)(同<引满足=/(•，若/(*)在区间(f.t］上恰有3个零点，则实数t的取值范围

为()

A・［五5B.。［五，半口.(百,五」

【答案】。

【解析】由题意可知，/(力)的最小正周期T=^~=7U,

_7T__|_2L

34

因为看一手=/<:,可知c=9=察为/(①)的一条对称轴，

o4JLZ414生

所以“力)在力一2L之后的乘占依次为巨+工一强£_ZZL+3T_25兀_7TL_.5T_37TT_7TT_.7T

所以/⑺在”一24之后的冬八,、依人力24+4-24'24+4-24'24+4一24’24+4

__4_9__兀•••

24，'

故选：C.

4.(广东省深圳外国语学校(集团)龙华方中部2025居南三第一次月考教学试题)已知函数y=fQ)具

有以下的性质：对于任意实数a和b,都有/(a+b)+/(a—b)=2/(a)-/(b),则以下选项中，不可能是

/(I)值的是()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】A

【解析】因为函数y=/(2)对于任意实数a和b,都有f(a+b)+f(a—b)=2f(a)•f(b)，所以令a=b=0,有

f(0)+/(0)=2f(0)-f(0)，即2/(0)"(0)—1］=0,所以/(0)=0或/(O)=1;

令a=b=%,，为任意实数，有/(,)+/(0)=2/(专)"(专),即/(⑼=2/(当>呜)-/(0);

因为/信)"管)>0,所以/(，)>-/(0),

当/(0)=0时，，(，)>0;当/(0)=1时，/(，)>—1;

所以/(①)的值不可能是一2,

故选：A

5.(广东看华南弹他大学府信茂名滨海学校2025届高三上学期9月月考数学试题)已知•奇函M数/(土)的

定义域为A，对任意的c满足/(-*)=f(x+2)，且/(田)在区间(—1,0)上单调递增，若a=log43,6=

108兀2,。=［108〃512，^,则/((2),/3),/(0)的大小关系为()

A./(c)>f(a)>/(b)B.f(c)>f(b)>f(a)

C.f(a)>/(6)>f(c)D.f(a)>/(c)>f(b)

【答案】。

【解析】因为对任意的/满足了(一，)=/(2+2),所以/(乃关于c=1对称，

又因为奇函数/(劣)的定义域为A,所以/3)=—/(—/)=—于(劣+2),

则/(%)=-f(x+2)=于(x+4),则/(宏)的周期为4,

因为fQ)在区间(-1,0)上单调递增，所以f(x)在区间(-1,1)上单调递增,

____3.

/4

1=log44>log43=log4^8l>log4^64=log44

922

C=jlog2512V2=jlog(2X2)=jlog^21xV_19

72i1X「丁,

-j=1限招？>log*如F=logJt2>log」=0,.I0VbV9,

又于⑹=/(f)=/(4+f)=/(1),0<b<l<a<l,

所以加)<»,即/⑹</(c)<f(a),

故选：D.

6.(广东省金山中学、中山一中、佛山一中、室安中学2025届高三上学期第一次联考数学试卷)若函数

f(x)=sincox+V3cosa)x(a)>0)在区间［a,b］上是减函数，且/(Q)=1,/(b)=—1,b—a=兀，则0=

【答案】A

【解析】由题知/(力)=sintzKC+V3coscox=2sin(0%+

因为/(Q)=l，/(b)=-l，

所以sin(0Q+=y,sin(8b+等)=-y

又因为f3)在区间［Q,6］上是减函数，

所以3a+飞—-^―+2k兀(kEZ),cob+弓=+2k兀(kGZ)

0000

两式相减，得①(b—Q)=飞,

o

因为6—。=兀，所以0=；.

O

故选：A.

7.(广东宿金山中学、中山一中、佛山一中、宝安中学2025届高三上学期第一次联考数学试卷)圆锥顶点

A,底面半径为1,母线=4,的中点为M,一只蚂蚁从底面圆周上的点8绕圆锥•侧面一M周到达

M的最短路线中，其中下坡路的长是()

A.0B.丝^

C.D.V5

55

【答案】B

【解析】将圆锥侧面沿用线AB剪开并展开成扇形,

则该扇形半径AB=4,弧长为27txi=2兀，圆心角NBAM=

最短路线即为扇形中的线段BM,BM=y/AB2+AM2=2^/5,

过人作的垂线，垂足为N,当蚂蚁从B点爬行到点N过程中，它与点A的距离越来越小,

于是BN为上坡路段，当蚂蚁从点N爬行到点M的过程中，它与点A的距离越来越大，

于是NM为下坡路段，下坡路段长NM=AM-cos/4MB=2x-^―=乌宴.

2V55

故选：B

8.(广东看2025居方三“蜻增杯”8月份阶段连应性测武教学试题)已知某圆锥的轴截面是顶角为a的等

腰三角形，侧面展开图是圆心角为户的扇形，则当a-£最小时，£=()

A.1B.2C.J兀2-1D.2—1

【答案】。

【解析】设圆锥的母线长为Z,则圆锥的底面半径r=Zsin~^,

侧面展开图的扇形弧长，即圆锥底面的周长C=第，

因此"?=2兀Zsin£*,§=27tsin-^-,0—a=27tsin-^--a.

记/(a)=27tsin-^--a,aE(0,TC),则『(a)=兀cos年—1,

因为/'(a)在(0,兀)上递减，且广(。)=兀cosO—1=兀-1>0,/'(兀)=兀cos£—1=一1<0,

所以存在唯一的«0C(0,兀)满足/'(劭)=0,即cos学=—,

271

且当aC(0,劭)时，/(a)>0,则/(a)在(0,劭)上单调递增，

当aC(a0,兀)时,f'(a)V0,则f(a)在(a。,兀)上单调递减,

于是劭是/(a)的极大值点，也是最大值点，此时B=2兀sin胃=2兀J1-(*)=,

而a—丑最小，当且仅当。一a最大，所以6=2V7T2—1.

故选：D

9.(广东看2025届需三“蜻增杯”8月份阶段迨应性测试数学试题)已知函数/(c)的定义域为R,y=

/(⑼―4e，为奇函数，"=/(£)+21为偶函数，则/(⑼的最小值为()

•M

A.2V3B.4V3C.6V3D.8V3

【答案】A

解析】由y=f（x）-4e"是奇函数，得，（一①）—4e~x-—f（x）+4e",

由y—f｛x｝+2e”是偶函数，得/（—c）+2e~x—f（x'）+2ex,

联立解得了（,）=e"+3e~>2y/ex-3e~x=2遍，当且仅当e,=3e~，即c=yln3时取等号,

所以/（c）的最小值是2V3.

故选：A

10.（广东盾播相市两校2024—2025学年商三上学期8月联考数学试题）设E,用分别是椭圆E：5+g

ab

=l（a>b>0）的左、右焦点,过用的直线交椭圆于两点，且湿•通=0,存=4演，则椭圆E

的离心率为（）

A-fB.乎C，4D.4

【答案】B

【解析】设|B引=2,

因为万=4演，则|AE|=3c,|班|=2,

由椭圆的定义可得|AR|=2a—3c,|BR|=2a—c,

因为福•亚=0,即/氏4月=半

在Rt^AF[B中,则\AF^+\AF^=\BF^，即（2a-3a;）2+（4a:）2=（2a-x）2,

解得re=半可得|AR|=|A£|=a,

o

在△RtAARE中，可得a?+a?=（2c）2，整理得<?=2c?,

所以椭圆E的离心率为e=q=

故选：B.

11.（广东省推用市两校2024—2025学年商三上学期8月联考数学就题）已知数列｛%｝满足©=1,前几

项和为51,%+/册=2"（n6"*）,则$2。24等于（）

A.22024-1B.3X21O12-1C.3X21012-2D.3X21012-3

【答案】。

【解析】数列｛a“｝中，5=1,由册+「册=2”,得（12=2,@+2。斯+1=2"+i,则有&=2,

因此数列是以1为首项，2为公比的等比数列，数列｛a2J是以2为首项，2为公比的等•比数W列，

W12

所以S2024=(Q1+Q3H----^电023)+(。2+04H-----ba2024)==4----—~=3X2-3.

11/1—2

故选：D

12.(广东看部分学校2024-2025学隼商三上学期8月我廉测试数学试题)已知抛物线C：，=脑，圆尸:

(£—2)2+才=4,直线l:y=k(x—2)(卜片0)自上而下顺次与上述两曲线交于M,此,四点，则下

列各式结果为定值的是

A.M监卜的B.c.M峪H峪MJD.

【答案】c

4fc2+8

设Mi(g,m)，M(，2，?/2),则Xi+x2,0，2=4.

过点M，昭分别作直线，:C=-2的垂线，垂足分别为AB,

则\M1F\=x1+2,\MiF\=g+2.

对于41MMi4M4I=(IMW+2)(|MF|+2)=(电+4)(电+4)

=XrX2+4(3；1+X2)+16,不为定值，故A不正确.

对于B,iFMHFMl=(g+2)(g+2)=，任2+2(g+电)+4,不为定值，故B不正确.

对于。，|M此|・|M3Ml=2)(|昭川-2)=为电=4,为定值，故。正确.

对于。，FMHMMl=|MF|•(I酩F|-2)=Qi+2)g,不为定值，故。不正确.

选。.

13.(广东省部分学校2024-2025学年高三上学期8月摸扁测武数学试题)已知函数”乃是定义域为R

的函数，/(2+cc)+f(—x)=0,对任意叫，啊C[1,+oo)(xi<®2)，均有/但)—f(®i)>0,已知a,

b(afb)为关于T的方程rr2-2®+t2-3=0的两个解,则关于t的不等式/(a)+/(6)+/(i)>0的解

集为()

A.(-2,2)B.(-2,0)C.(0,1)D,(1,2)

【答案】。

•••

I由/(2+re)+/(—a;)=0,得f(1)=0且函数1f(土)关于点(1,0)对称.

由对任意g,x2G[1,+00)(的〈砌，均有/但)一/(判)>0,

可知函数/(rc)在[1,+co)上单调递增.

又因为函数/(①)的定义域为五，

所以函数/(2)在R上单调递增

因为a,b(aWb)为关于rc的方程/—20；+廿一3=0的两个解，

所以△=4—4(t2—3)>0,解得一2VtV2,

且a+b=2,即b=2—a.

又/(2+/)+f(-x)=0,

令①=-a,则/(a)+/(b)=0,

则由f(a)+f(b)+f(t)>0,得f⑻>0=/(l),

所以力>1.

综上，土的取值范围是(1,2).

故选：D.

14.(广东看多校联考2024—2025学年南三上学期一调考试数学试题)已知函数/⑺=

5皿(02：+*)(0>0),“存在771,716[04],函数/(2；)的图象既关于直线X=771对称，又关于点(71,0)

对称”是%>2”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】若存在m,nE,函数/(①)的图象既关于直线a=771对称，又关于点(九,0)对称，

因为cC|~0,告],且3>0,贝1|CDX+-^-E|~1，春3+昌，

L2」6L026」

则三3+强2乃，解得。U,

263

又因为[2,+co)是岛+co)的真子集，

所以“存在机,Tie[o昼]，函数/(2)的图象既关于直线2=小对称，又关于点(物0)对称”是“0>2”的必要

不充分条件.

故选：

15.(广东省多校联考2024—2025学年方三上学期一调考试教学试题)已知关于力的不等式

"simc—2Q)[/—(2a+l)/+l]<0对任意/G(0,+8)恒成立，则实数Q的取值范围是()

A・岛士B-[14]C-[14]D-

【答案】。

【解析】根据题意可得对于函数"=(2a+l)2+l,

当(2a+l)2—4W0时，即一,《a■时，AW。，此时满足夕="—(2a+l)/+1>0恒成立•，M

因此，只需-^-sinx-2Q40恒成立即可，因此a>]sin/恒成立；

又易知-^sina:所以可得Q>[,

因此可得

42

当(20+1)2—4>0时，即aV—9或a>方时，此时△>(),

若a<―,可得~|~sin/一2a>0恒成立，

因此只需满足一(20+1)力+1<0在力G(0,+oo)上恒成立，显然不合题意;

若a>[■，可得]sin力—2a<0恒成立，

因此只需满足沙="一(20+1)6+1>0在(0,+oo)上恒成立，

不妨取/=1,可得g=1—(2a+1)+1=1—2QV0,显然不合题意；

综上可知，实数a的取值范围是.

故选：C

16.(广东省茂名市南州中学2025届高三上学期8月月才数学试题)已知可导函数的定义域为R,

10

/信-1)为奇函数，设g⑺是〃为的导函数，若g(2c+l)为奇函数，且g(0)=51，则W>g(2k)=

()

A11B-史C达D一旦

【答案】。

【解析】因为/传—1)为奇函数,则/传

即/(/-1)=—/(—/一1)，两边求导得r(力-1)=/'(一力一1),

则g(x—l)=g(—力一1)，可知g{x}关于直线力=—1对称，

又因为g(26+1)为奇函数，则g(2/+1)+g(—21+1)=0,

即g(6+1)+g(—c+l)=0,可知g(宏)关于点(1,0)对称,

令2=1,可得c/(2)+g(0)=0,即g(2)=—g(0)=—/，

由g(c—1)=g(-c—1)可得g(rr)=g(—c—2),

由g(6+1)+g(—力+1)=0,可得g(%)+g(—%+2)=0,即g(%)=-g(—力+2),

可得g(一力-2)=—g(—力+2),即g(/+4)=—g(/),

令c=0,可得g(4)=—g(0)=~:

令2=2,可得g⑹=-g⑵■:

且gQ+8)=—g(x+4)=—[―g(6)]=g(力)，可知8为g(力)的周期，

可知g(8k+2)=g(8k+4)=~p^(8fc+6)=g(8k+8)=EZ,

ioii11

所以Zkg(2%)=—+(1+2+5+6+9+10)+《(3+4+7+8)=一分.

k=i222

故选：D.

17.(广东看茂名市高州中学2025居高三上学期8月月考数学试题)设函数/㈤=1限㈤―相，则不等式

/3—2)>/(2宓+2)的解集为()

A.[-4,0]B.[-4,0)

C.[-4,-1)U(-1,0]D.[-4,-1)U(-1,0)

【答案】。

2

【解析】函数/(e)=log2|a:|—x~的定义域为{c|,W0},

且/(—c)=log2]—引一(一a?)-2=logM|-2—二/⑸，所以/㈤nog?㈤—『2为偶函数，

-22

当2>0时于(x)—log2a:—re,因为y—log2a;与y——x~在(0,4-co)上单调递增，

所以/(,)=log2,--2在(o,+oo)上单调递增，

则f(x)在(-oo,0)上单调递减,不等式/3-2)>f(2x+2),

(\x-2\>\2x+2\

即/(限—2|)>/(|2c+2|)，等价于<x—2^0,解得—4<cV—1或一1V，40,

12①+2片0

所以不等式的解集为[-4,-1)U(-1,0].

故选：C

18.(广东省2025届寄三上学期第一次调研才裁数学试题)设a,/3为锐角，且cos(a—囚)=，则a与

的大小关系为()

A.a=£B.a>£C.a<^D.不确定

【答案】A

【解析】由a，B为锐角，则cosa>0,cos£>0,

cosa

由cos(a—0)=可得cosa=cos(a—0)cos§,

cos§

又由cosa=cosa(a—0+6)=cos(a—£)cos/?—sin(a—£)sin§,

所以有sin(a—0)sin6=0,由0为锐角可得sin§>0,

则sin(a-0)=0,又由a，B为锐角可得一£Va—0<£■,

故a—6=0,即a=£.

故选：4

19.(广东看2025居高三上学期第一次调研考试数学试题)若a>b>0,且—〃=a?—/,则十++的

取值范围是()

A.(l,y)B.(y,+co)C.(1,3)D.(3,+s)

【答案】。

【解析】由a3—b3—a—fe2,则(a—b)(a2+ab+52)=(a—&)(a+fe),

又a>b>0,则/+ab+/=a+b,

又当a>b>0时，a2+b2>2a5,

因此可得，a+b=滔+而+b?>3ab,

即>3,又=J_+J_,

ababab

因此可得上+《>3,

ab

故选：D

20.(广东省部分学校2025居高三上学期新起点模拟考试数学试题)已知函数/(乃=aei—Imr+lna,

若则a的取值范围是()

A.(—8,1]B.(0,1]C.[1,+8)D.(l,+oo)

【答案】C

【解析】由J(T)>1nae*T—Inx+Ina>1naex~r+Ina>Inx+1=>elna+rc-1+Ina>In6+1,

两边同时加3—1),得：eina+*T+/+Ina—1>InN+力n+(rr+lna-1)>elnx+In匕

设g(比)=e"+宏，则g'{x}=e”+l>0,所以g(x)在(—oo,+oo)上单调递增.

所以a?+Ina—1>Ina:o力一Inrc+Ina—1>0.

设h(x)—x—Inx+Ina—1,/>0,则/z/Q)=1——,

x

由h'{x)>0=>力>1;由h'{x)<0=>0<3：<l.

所以九(力)在(0,1)上单调递减，在(1,+oo)上单调递增，

所以九(/)min=九(1)=Ina.

由Ina>0na>1.

故选：C

21.（广东省部分学校2025居高三上学期新起点模拟考试数学试题）已知实数小，八满足0V九V恒V1,

则（）

nnm

A.—>'^~\B.m+—>n+—C.m<nD.logmn>lognm

mm+1mn

【答案】。

n

【解析】由0V八VmVl知九一mVO，故—---~^~\=一^一mV0,所以—<乙,故A错误;

mm+1m（m+l）mm+1

由OVnVmVl得Tn一九>0,1---=卫也——<0,

mnrrm

所以m+——（九+2）=----）<0,m+—<n+里，故34号误；

m、n''rrm）mn

因为指数函数g=M为单调减函数，故??2”〉心，

由幕函数夕=力馆为单调增函数知馆加>口馆，故W>rT,故C错误；

根据0〈几〈??2Vl对数函数y=10gm/、y=lognT为单调减函数，

故10gmn>logmm=1=lognn>lognm，故。正确，

故选：。

tan2(7—tan2jS

22.（广东看部分学校2024—2025学年高三8月入学考试教学试题）若tan（a+0）=7,

1—tan2<7tan2y§

21,则tan2a=()

C10

A.-yB.-2C-2fD-f

【答案】A

【解析】因为tan(a+6)=7,所以tan(a+0)tan(a-0)=7tan(a—6),•••

tana+tan0tana—tan._tan%—tan/_

等式左边二

1—tan^tan^1+tan^tan/?1-tan26ztan2^'

所以21=7tan(tz—6),即tan(a—0)=3,

tan(a+6)+tan(a—6)7+3=1

故tan2a=tan[(a+0)+(a—£)]=

1—tan(a+0)・tan(a—0)1—7x3一—5

故选：4

23.（广东看2024—2025学年高三上学期开学覆篇联考教学试题）在电子游戏中，若甲，乙,丙通关的概率

分别是京六,且三人通关与否相互独立，则在甲，乙，丙中恰有两人通关的条件下，甲通关的概率

354

为（）

A2c6D・击

A，5C-l3

【答案】。

【解析】设甲，乙，丙通关分别为事件AB,C,三人中恰有两人通关为事件。，

则P⑷=告,P(B)=卷,P(C)=4，

OO

P(D)=P(ABCUABCUABC)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)

=|x|x|+|x|x|+|-x|-x1=^-.P(AD)=P{ABCUABC)=P[ABC)+P(ABC)=

7

而，

7

P(AD)_30_7

：.P(A\D)

P(。)f*

故选：。.

24.（广东看2024—2025学年高三上学期开学携底联考数学试题）当a>e时,方程1+y+In）=Ina+

放在［1,+8）上根的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】ex-Fx-hInc=Ina+—^>ex+x=—+In包，设函数F（x）=e*+

xxx

现讨论方程F（c）=F（ln.）根的个数，尸⑺在力>1时单调递增，

故问题可转化为力+Inx=Ina根的问题，

令h（x）=/+lriN（力>1）,易知九（力）单调递增，故拉（力）E［1,+oo）,

当a>e时，方程力+Inx=Ina只有一^艮，

所以方程e*+N+Ina?=Ina+包在［1,+oo）上根的个数为1.

故选：R

25.（广东省部分学校2025届高三上学期第一次月考联合测评数学武卷）若P（川B）=J,尸（人）=J,

OO

P（B）=/,则事件人与B的关系是（）•M

A.事件A与B互斥B.事件A与口对立

C.事件A与B相互独立D.事件A与口既互斥又相互独立

【答案】C

【解析】由P(川B)=餐学得P(AB)=F(A|B)F(B)=：x｝=击，

因为F(A)F(B)=-y,F(A)F(B)=P(AB)，所以事件A与B相互独立，

无法判断事件A与B是否互斥.

故选：C.

26.(广东看等分学校2025居高三上学期第一次月考或合测评数学试卷)已知定义在A上的函数/(工)满

足：/(1)=9,且/(2+9)+/3一9)=2/3)/(9)，则下列结论正确的是()

A.7(0)=0B.f(x)的周期为4

C./(2c—1)关于2=。对称D./(>)在(0,+8)单调递减

【答案】。

【解析】由cos(a+£)=cosacos^—sinasinB,cos(a-0)=cosacos0+sindfsinyS

可得cos(a+6)+cos(a—0)=2cosacos§,可设/(力)=cosax

由/⑴-，即8$@=~|~,则可取0=等,即/(劣)=COSI(年’)进行验证.

选项A:/(0)=1,故选项A不正确.

选项B：由y(T)cos(士c，则其最小正周期为了=红=6,故选项6不正确.

兀

"3

选项。：由于/(力)为周期函数，则在(0,+00)不可能为单调函数.故选项。不正确.

2兀兀x=

选项C:/(2a;-1)=cos,又/(])=cosO=1,故此时~^为其一条对称轴.

此时选项。正确,

故选：c

二、多选题

27.(广东看六校2025届高三八月第一次联考教学试题)已知等比数列｛an｝的公比为q,前几项和为S。,

若Si=-1,且VTZG?/*,。九+2>为，则()

A.。2>0B.0<Q<1C.an+i>anD.Sn<—^―

qT

【答案】BC

【解析】Si=aj——1,a”+2>a”对VnCN*恒成立，

+1

则s•<f>arq"Tn—q"+i>-^nq"T(/_i)<o恒成立,

则q>0,/—l<0,故ovqvl,故B对；

A:a2——qV0,故A错；

n-1n-1

C:an+1-a”=一q"+g=Q(l-q)>0=>an+1>册，故。对;

n

。：由&=己故。错.

r—q•••

故选:BC.

28.（广东看六校2025居高三八月第一次联考数学疏题）设复数z在复平面内对应的点为Z,任意复数z

都有三角形式：r（cosd+加in。），其中r为复数z的模，。是以①轴的非负半轴为始边，射线OZ为终边

的角（也被称为z的辐角）.若Zi=ri（cosa+4sina）,z2=r2（cos/?+zsin/?），则z1•z2=

r1r2[cos（ff+/?）+zsin（ff+/?）].从0,1,四中随机选出两个不同的数字分别作为一个复数的实部和虚

部,如此重复操作71次，可得到几个复数：Z1,Z2,…,Z”,记Xn=Z=…Zn.（）

A.不存在打，使得XI=2024B.若（X/24为实数，则X1的辐角可能为卷

O

C.乂|W4的概率为朵D.旧）2为整数的概率为日

【答案】ACD

【解析】由0,1,心中任意选两个不同数字分别作为实部和虚部，

贝I模长r可能值为1,73,2

3

对于A,若|XJ=2O24,则ri-r2--Tn=2024=2-253,

由253不是2与3的整数倍，

故不存在n，使|XJ=2O24，故A对；

对于B,若（Xj°24为实数，则区的辐角为2kK或y+2A；7r,fceZ,故B错；

对于。，由|X4|=n-r2•^3•^44,

则发1,0,「3,『4的取值为1,1,，^,，^;1,1,四,2;1,1,2,2;1,1,1,，^；1,1,1,2.

故F（|X4|^4）=1+举*°：十°升窗=孚.=若，故。对；

对于。，当r=l时，则辐角为0或5；

当r=A/3时，则辐角为0或-y;

当r=2时，则辐角为1或《

若（%4）2为整数，则X」的辐角可以为0,4■，兀（3个名加1个0）

故？=:=1",故。对；

故选：ACD.

29.（广东看深圳外国语学校（MS）龙华南中等2025届高三第一次月考数学试题）数学中有许多形状优

美，寓意美好的曲线，曲线。：/+才=1+㈤,就是其中之一（如图）.给出下列四个结论，其中正确结

论是（）

y

O/x

A.图形关于夕轴对称

B.曲线。恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）

C.曲线。上存在到原点的距离超过方的点

D.曲线。所围成的“心形”区域的面积大于3

【答案】ABD

【解析】对于A,将c换成一立方程不变，所以图形关于y轴对称，故A正确；

对于B,当c=0时，代入可得/=1,解得9=±1,即曲线经过点（0,1）,（0,-1）,

当2>0时，方程变换为y2—xy+x2—1—0,由△=/—4（a?—1）>0,解得26（0，2f]，所以2只能取整

数1,

当±=1时，靖一沙=0,解得夕=0或9=1,即曲线经过（1,0）,（1,1）,

根据对称性可得曲线还经过（—1,0）,（—1,1）,故曲线一共经过6个整点，故B正确；

2.2

对于。，当2>0时，由+才=1+立沙可得22+y2-1=C2/,（当土=3时取等号），，①2+才W2,

y/x^+y2W,即曲线。上?/轴右边的点到原点的距离不超过,根据对称性可得：曲线。上任意一点

到原点的距离都不超过四，故。错误

对于。，如图所示，在多轴上图形的面积大于矩形ABCD的面积：&=1x2=2,①轴下方的面积大于等腰

三角形ABE的面积：S2=]x2x1=1,所以曲线。所围成的“心形”区域的面积大于2+1=3,故。正

确；

故选：ABD

30.（广东唐华南弹疱大学带工茂名滨海学校2025届高三上学期9月月考数学试题）设ae儿函数/（⑼

(2X—Q,X<Z1

，则（)

[(x—a)(rr—2a),®>1•••

A.当a=l时，/(⑼的最小值为—"B.对任意的。>0,/(2)至少存在一个零点

C.存在a>0,使得/(⑼有三个不同零点D.对任意的QG(—8,0),/(⑼在五上是增函数

【答案】BC

(2x—ax<l

【解析】函数/㈤=/'、/.，当力V1时，函数/㈤在(-oo,l)上单调递增,

[\x-a)(re—2a),力>1

又函数g=/—3ax+2a2的对称轴为x=与1,

(2X—1x<l

对于4当a=l时，/(/)=4'，当力VI时，0V2'V2,

U9-3^+2,x>l

则一1V2,—1V1,即一1</(劣)VI,4错误；

对于当0VaV2时，由力VI,得0V2°V2,因此存在力VI,使得2'=Q,

则力=log2a是/(N)的零点，即/(力)至少存在一个零点，

当a>2时，由(/一a)(6一2a)=0,解得力=a或N=2a,此时Q,2Q都大于1,

因此a,2a是/(/)的零点，所以对任意的a>0,f(6)至少存在一个零点，_B正确;