四川省达州市土溪中学高三数学理上学期期末试卷含解析

四川省达州市土溪中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，则的大致图象是（

）参考答案：B2.“x=0”是“sinx=﹣x”的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：x=0时：sinx=sin0=0，是充分条件，而由sinx=﹣x，即函数y=sinx和y=﹣x，在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=﹣x的草图，由图得交点（0，0）推出x=0，是必要条件，故选：C．【点评】本题考查了充分必要条件，考查函数的交点问题，是一道基础题．3.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1cm，粗实线为某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为

A.2cm3

B.4cm3

C.6cm3

D.8cm3参考答案：【知识点】由三视图求面积、体积．G2

【答案解析】B解析：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，

其底面面积高h=2，故体积V=Sh=×6×2=4cm3，故选：B【思路点拨】由三视图可知，两个这样的几何体以俯视图为底面的四棱锥，求出底面面积和高，代入棱锥体积公式，可得答案．4.如图是某次诗歌比赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数茎叶图（其中a、b为数字0---9中的一个），分别去掉一个最高分和一个最低分，记甲、乙两名选手得分的平均数分别为，得分的方差分别为，则下列结论正确的是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略5.已知△的三边所对的角分别为,且,则的值为A.

B.

C.

D.参考答案：C6.在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a,b,c，且

A．

B．—

C．

D．—

参考答案：B7.已知集合，则（

）A． B． C． D．参考答案：C8.已知向量（

）

A．—3

B．—2

C．1

D．－1参考答案：A9.定义域为R的奇函数f（x）满足f（4﹣x）+f（x）=0，当﹣2＜x＜0时，f（x）=2x，则f（log220）=（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】函数奇偶性的性质．【分析】求出函数的周期，化简所求的表达式，代入已知条件求解即可．【解答】解：定义域为R的奇函数f（x）满足f（4﹣x）+f（x）=0，可得f（x）=﹣f（4﹣x）=f（x﹣4），所以函数的周期为：4．当﹣2＜x＜0时，f（x）=2x，则f（log220）=f（log220﹣4）=f（log2）=﹣f（﹣log2）=﹣=﹣．故选：B．10.的单调减区间为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.

函数的图像恒过定点A，若点A在直线上，其中则的最小值为

．参考答案：12.函数在区间上存在一个零点，则实数的取值范围是

参考答案：当时，函数在上没有零点，所以，所以根据根的存在定理可得，即，所以，解得，所以实数的取值范围是。13.已知数列的通项公式为，其前

n项和为，则在数列中，有理数项的项数为________．参考答案：略14.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：广告费x（万元）2345利润y（万元）264956根据表格已得回归方程为=9.4x+9.1，表中有一数据模糊不清，请推算该数据的值为．参考答案：37【考点】线性回归方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】设数据的值为a，利用回归直线方程恒过样本中心点，求出a．【解答】解：设数据的值为a，依题意知，=3.5，=（131+a），∵利用回归直线方程恒过样本中心点，∴（131+a）=3.5×9.4+9.1，∴a=37，故答案为：37．【点评】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．15.（坐标系与参数方程）直线与圆相交的弦长为.参考答案：.

直线与圆的普通方程为，圆心到直线的距离为，所以弦长为.16.对于任意的恒成立，则实数的取值范围是______.参考答案：略17.若对于任意的x＞0，不等式≤a恒成立，则实数a的取值范围为．参考答案：[，+∞）【考点】函数恒成立问题．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】由x＞0，=，运用基本不等式可得最大值，由恒成立思想可得a的范围．【解答】解：由x＞0，=≤=，当且仅当x=2时，取得最大值．所以要使不等式≤a恒成立，则a≥，即实数a的取值范围为[，+∞）．故答案为：[，+∞）．【点评】本题考查函数的恒成立问题的解法，注意运用基本不等式求得最值，考查运算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（2016?邵阳二模）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为e=，右焦点到右顶点的距离为﹣（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F1，F2为椭圆的左，右焦点，过F2作直线交椭圆C于P，Q两点，求△PQF1的内切圆半径r的最大值．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意设椭圆方程，由e==，a﹣c=﹣，即可求得a和c的值，由b2=a2﹣c2=1，即可求得b的值，求得椭圆方程；（2）由当直线PQ斜率存在时，设直线方程为：x=ky+，代入椭圆方程，由韦达定理可知y1+y2，y1?y2，根据三角形的面积公式可知S=丨F1+F2丨?丨y1﹣y2丨=（丨PF1丨+丨F1Q丨+丨PQ丨）?r，求得r的表达式，根据基本不等式的关系，即可求得△PQF1的内切圆半径r的最大值．【解答】解：（1）由题意可知：设椭圆方程为：，（a＞b＞0），则e==，a﹣c=﹣，解得：a=，c=，由b2=a2﹣c2=1，∴椭圆的方程为：；（2）由（1）可知：F1（﹣，0），F2（，1），设P（x1，y1），Q（x2，y2），当PQ斜率不存在时，可得：r=，当PQ斜率存在时，设直线方程为：x=ky+，将直线方程代入椭圆方程，整理得：（k2+3）y2+2ky﹣0=0，由韦达定理可知：y1+y2=﹣，y1?y2=﹣，△PQF1面积S=丨F1+F2丨?丨y1﹣y2丨==，由S=（丨PF1丨+丨F1Q丨+丨PQ丨）?r=2a?r=2r，∴=2r，∴r==≤，当且仅当=时，即k=±1时，等号成立，∴内切圆半径的最大值为．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积公式及基本不等式的关系的综合应用，考查计算能力，属于中档题．21．（12分）（2016?邵阳二模）已知函数f（x）=lnx+x2﹣2ax+1（a为常数）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若存在x0∈（0，1]，使得对任意的a∈（﹣2，0]，不等式2mea（a+1）+f（x0）＞a2+2a+4（其中e为自然对数的底数）都成立，求实数m的取值范围．【答案】【解析】【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数单调性的判断与证明；其他不等式的解法．【分析】（1）求出函数的导函数，对二次函数中参数a进行分类讨论，判断函数的单调区间；（2）根据（1），得出f（x0）的最大值，问题可转化为对任意的a∈（﹣2，0]，不等式2mea（a+1）﹣a2+﹣4a﹣2＞0都成立，构造函数h（a）=2mea（a+1）﹣a2+﹣4a﹣2，根据题意得出m的范围，由h（0）＞0得m＞1，且h（﹣2）≥0得m≤e2，利用导函数，对m进行区间内讨论，求出m的范围．【解答】解：（I）f（x）=lnx+x2﹣2ax+1，f'（x）=+2x﹣2a=，令g（x）=2x2﹣2ax+1，（i）当a≤0时，因为x＞0，所以g（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（ii）当0＜a时，因为△≤0，所以g（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（iii）当a＞时，x在（，）时，g（x）＜0，函数f（x）单调递减；在区间（0，）和（，+∞）时，g（x）＞0，函数f（x）单调递增；（II）由（I）知当a∈（﹣2，0]，时，函数f（x）在区间（0，1]上单调递增，所以当x∈（0，1]时，函数f（x）的最大值是f（1）=2﹣2a，对任意的a∈（﹣2，0]，都存在x0∈（0，1]，使得不等式a∈（﹣2，0]，2mea（a+1）+f（x0）＞a2+2a+4成立，等价于对任意的a∈（﹣2，0]，不等式2mea（a+1）﹣a2+﹣4a﹣2＞0都成立，记h（a）=2mea（a+1）﹣a2+﹣4a﹣2，由h（0）＞0得m＞1，且h（﹣2）≥0得m≤e2，h'（a）=2（a+2）（mea﹣1）=0，∴a=﹣2或a=﹣lnm，∵a∈（﹣2，0]，∴2（a+2）＞0，①当1＜m＜e2时，﹣lnm∈（﹣2，0），且a∈（﹣2，﹣lnm）时，h'（a）＜0，a∈（﹣lnm，0）时，h'（a）＞0，所以h（a）最小值为h（﹣lnm）=lnm﹣（2﹣lnm）＞0，所以a∈（﹣2，﹣lnm）时，h（a）＞0恒成立；②当m=e2时，h'（a）=2（a+2）（ea+2﹣1），因为a∈（﹣2，0]，所以h'（a）＞0，此时单调递增，且h（﹣2）=0，所以a∈（﹣2，0]，时，h（a）＞0恒成立；综上，m的取值范围是（1，e2]．【点评】考查了导函数的应用和利用构造函数的方法，对存在问题进行转化，根据导函数解决实际问题．19.（2017?乐山二模）已知数列{an}满足a1=3，．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=log2，数列{bn}的前n项和为Sn，求使Sn＜﹣4的最小自然数n．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由数列{}是以2为首项，1为公差的等差数列，=2+n﹣1=n+1，即可求得数列{an}的通项公式；（2）由（1）可知bn=log2=log2=log2（n+1）﹣log2（n+2），求得Sn=b1+b2+…+bn=1﹣log2（n+2），由Sn＜﹣4，利用对数的运算性质，即可求得最小自然数n的值．【解答】解：（1）由，则数列{}是以2为首项，1为公差的等差数列，∴=2+n﹣1=n+1，∴an=n2+2n，数列{an}的通项公式an=n2+2n；（2）bn=log2=log2=log2=log2（n+1）﹣log2（n+2），数列{bn}的前n项和为Sn，Sn=b1+b2+…+bn=log22﹣log23+log23﹣log24+…+log2（n+1）﹣log2（n+2），=1﹣log2（n+2），由Sn＜﹣4，1﹣log2（n+2）＜﹣4，log2（n+2）＞5=log232，∴n+2＞32，解得：n＞30，满足Sn＜﹣4的最小自然数n为31．【点评】本题考查等差数列的性质，等差数列通项公式，对数的运算性质，考查计算能力，属于中档题．20.（12分）

如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点，作交PB于点F。

(I)证明平面；

(II)证明平面EFD；

(III)求二面角的大小。

参考答案：解析：方法一：(I)

证明：连结AC，AC交BD于O。连结EO。

底面ABCD是正方形，点O是AC的中点在中，EO是中位线，。而平面EDB且平面EDB，所以，平面EDB。

。。。。。。。。。。。。。。3分(II)证明：底在ABCD且底面ABCD，

①同样由底面ABCD，得

底面ABCD是正方形，有平面PDC而平面PDC，

②

。。。。。。。。。。。。。。6分由①和②推得平面PBC而平面PBC，又且，所以平面EFD

。。。。。。。。。。。。。。。。8分(III)解：由(II)知，，故是二面角的平面角由(II)知，设正方形ABCD的边长为，则在中，

。。。。。。。。。。。。10分在中，所以，二面角的大小为方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点。设

(I)证明：连结AC，AC交BD于G。连结EG。依题意得

底面ABCD是正方形，是此正方形的中心，故点G的坐标为且

。这表明。而平面EDB且平面EDB，平面EDB。(II)证明：依题意得。又故由已知，且所以平面EFD。(III)解：设点F的坐标为则从而

所以由条件知，即

解得。

点F的坐标为

且即，故是二面角的平面角。且

所以，二面角的大小为21.已知函数，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是5x﹣4y+1=0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）设g（x）=2ln（x+1）﹣mf（x），若当x∈[0，+∞）时，恒有g（x）≤0，求m的取值范围．参考答案：考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求导函数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是5x﹣4y+1=0，建立方程组，即可求a，b的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，，求导函数，构建新函数h（x）=﹣mx2+（2﹣2m）x+2﹣2m，分类讨论，确定g（x）在[0，+∞）上的单调性，即可得到结论．解答： 解：（Ⅰ）求导函数，可得．∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是5x﹣4y+1=0．∴，∴，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，∴，则，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令h（x）=﹣mx2+（2﹣2m）x+2﹣2m，当m=0时，h（x）=2x+2，在x∈[0，+∞）时，h（x）＞0，∴g′（x）＞0，即g（x）在[0，+∞）上是增函数，则g（x）≥g（0）=0，不满足题设．当m＜0时，∵且h（0）=2﹣2m＞0∴x∈[0，+∞）时，h（x）＞0，g′（x）＞0，即g（x）在[0，+∞）上是增函数，则g（x）≥g（0）=0，不满足题设．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当0＜m＜1时，则△=（2﹣2m）2+4m（2=2m）=4（1﹣m2）