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文档简介

2022年上海华东师范大学第四附属中学高二数学理联考试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.从数字1,2,3,4,5这5个数中,随机抽取2个不同的数,则这两个数的和为偶数的概率是(

)A、

B、

C、

D、 参考答案:B略2.容量为100的样本,其数据分布在[2,18],将样本数据分为4组:[2,6),[6,10),[10,14),[14,18],得到频率分布直方图如图所示.则下列说法不正确的是(

)A.样本数据分布在[6,10)的频率为0.32B.样本数据分布在[10,14)的频数为40C.样本数据分布在[2,10)的频数为40D.估计总体数据大约有10%分布在[10,14)参考答案:D3.下列函数中,最小值是2的是(

)A、

B、

C、

D、参考答案:C4.若关于x的不等式x3﹣3x2﹣9x+2≥m对任意x∈[﹣2,2]恒成立,则m的取值范围是()A.(﹣∞,7] B.(﹣∞,﹣20] C.(﹣∞,0] D.[﹣12,7]参考答案:B【考点】6E:利用导数求闭区间上函数的最值;3R:函数恒成立问题.【分析】设y=x3﹣3x2﹣9x+2,则y′=3x2﹣6x﹣9,令y′=3x2﹣6x﹣9=0,得x1=﹣1,x2=3(舍),由f(﹣2)=0,f(﹣1)=7,f(2)=﹣20,知y=x3﹣3x2﹣9x+2在x∈[﹣2,2]上的最大值为7,最小值为﹣20,由此能求出关于x的不等式x3﹣3x2﹣9x+2≥m对任意x∈[﹣2,2]恒成立的m的取值范围.【解答】解:设y=x3﹣3x2﹣9x+2,则y′=3x2﹣6x﹣9,令y′=3x2﹣6x﹣9=0,得x1=﹣1,x2=3,∵3?[﹣2,2],∴x2=3(舍),列表讨论:x(﹣2,﹣1)﹣1(﹣1,2)f′(x)+0﹣f(x)↑极大值↓∵f(﹣2)=﹣8﹣12+18+2=0,f(﹣1)=﹣1﹣3+9+2=7,f(2)=8﹣12﹣18+2=﹣20,∴y=x3﹣3x2﹣9x+2在x∈[﹣2,2]上的最大值为7,最小值为﹣20,∵关于x的不等式x3﹣3x2﹣9x+2≥m对任意x∈[﹣2,2]恒成立,∴m≤﹣20,故选B.5.在△ABC中,若则(

)A.

B.

C.

D.参考答案:B略6.若函数在区间(-1,2)上是单调函数,则实数a的取值范围为(

)A.或

B.或C.

D.参考答案:C7.已知点,,则直线AB的倾斜角为(

)A.60° B.30° C.120° D.150°参考答案:C【分析】先根据斜率公式求斜率,再求倾斜角【详解】因为直线的斜率为,所以倾斜角为,选C.【点睛】本题考查斜率以及倾斜角概念,考查基本求解能力,属基础题.8.已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则实数a的取值范围是(

) A.(-1,2)

B.(-∞,-3)∪(6,+∞)

C.(-3,6) D.(-∞,-1)∪(2,+∞)

参考答案:B9.若log6a=log7b,则a、b、1的大小关系可能是()A.a>b>1 B.b>1>a C.a>1>b D.1>a>b参考答案:D【考点】4H:对数的运算性质.【分析】利用换底公式、对数函数的单调性即可得出.【解答】解:log6a=log7b,∴,∴1<a<b,或0<b<a<1.故选:D.10.若函数在上是增函数,当取最大值时,的值等于(

)A. B. C. D.参考答案:B【分析】根据辅助角公式化简成正弦型函数,再由单调性得解.【详解】,由于在上是增函数,所以,α最大值为,则.故选B.【点睛】本题考查三角函数的辅助角公式和正弦型函数的单调性,属于基础题.

8.统计某校n名学生的某次数学同步练习成绩(满分150分),根据成绩分数依次分成六组:,得到频率分布直方图如图所示,若不低于140分的人数为110.①m=0.031;②n=800;③100分的人数为60;④分数在区间[120,140)的人数占大半.则说法正确的是(

)A.①② B.①③ C.②③ D.②④【答案】B【解析】【分析】根据频率分布直方图的性质和频率分布直方图中样本估计总体,准确运算,即可求解.【详解】由题意,根据频率分布直方图的性质得,解得.故①正确;因为不低于140分的频率为,所以,故②错误;由100分以下的频率为,所以100分以下的人数为,故③正确;分数在区间的人数占,占小半.故④错误.所以说法正确的是①③.故选B.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用,其中解答熟记频率分布直方图的性质,以及在频率分布直方图中,各小长方形的面积表示相应各组的频率,所有小长方形的面积的和等于1,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知,,,则的最小值是

.参考答案:4因为,根据基本不等式:,则,令,不等式转化为:,解得:,即的最小值为4.

12.如图是某中学高二年级举办的演讲比赛上,七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的中位数为

.

参考答案:去掉一个最高分93分和一个最低分79分后,余下的五个分数依次是:84,84,85,86,87,中位数是85.13.

某地区为了解70岁~80岁的老人的日平均睡眠时间(单位:h),随机选择了50位老人进行调查,下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表:序号i分组

(睡眠时间)组中值(Gi)频数(人数)频率(Fi)

14,5)4.560.1225,6)5.5100.2036,7)6.5200.4047,8)7.5100.2058,98.540.08在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图,则输出的S的值为________.参考答案:6.4214.已知,,且,则的最小值是

.参考答案:4根据题意得到,即故答案为:4.

15.关于函数,有下列命题:①其图象关于y轴对称;②当x>0时,f(x)是增函数;当x<0时,f(x)是减函数;③f(x)的最小值是lg2;④f(x)在区间(-1,0)、(2,+∞)上是增函数;⑤f(x)无最大值,也无最小值.其中所有正确结论的序号是

.参考答案:

①③④

16.以下关于圆锥曲线的命题中①设A、B为两个定点,k为非零常数,,则动点P的轨迹为双曲线;②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB,O为坐标原点,若则动点P的轨迹为椭圆;③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;④双曲线有相同的焦点.其中真命题的序号为

(写出所有真命题的序号)参考答案:③④略17.设函数,若,,则的值为

参考答案:三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.已知数列的前项和为,().(1)证明数列是等比数列,求出数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和;参考答案:解:(Ⅰ)因为,所以,则,所以,

………………2分,所以数列是等比数列,

………………3分

,,所以.

………………5分(Ⅱ),

…………6分,………………7分令,①,②①-②得,,,

…………9分所以.

…………10分(Ⅲ)设存在,且,使得成等差数列,则,即,

…………12分即,,因为为偶数,为奇数,所以不成立,故不存在满足条件的三项.

………………14分略19.(12分)学校有个社团小组由高一,高二,高三的共10名学生组成,若从中任选1人,选出的是高一学生的概率是,若从中任选2人,至少有1个人是高二的学生的概率是,求:(1)从中任选2人,这2人都是高一学生的概率;(2)这个社团中高二学生的人数。参考答案:解:由题意知高一学生的人数为人

…2分(1)

记“任选2人都是高一学生为事件A”

…………………6分(2)

设高二学生的人数为x,记“任选2人,至少有一人为高二学生”为事件B,则

…8分

…………10分

…11分

………12分略20.2018年4月全国青少年足球超级联赛火爆开启,这是体育与教育的强强联手,这是培养足球运动员的黄金摇篮,也是全国青少年足球的盛宴.组委会在某场联赛结束后,随机抽取了300名观众进行对足球“喜爱度”的调查评分,将得到的分数分成6段:[64,70),[70,76),[76,82),[82,88),[88,94),[94,100]后得到如图所示的频率分布直方图.(1)求a的值并估计这300名观众评分的中位数;(2)若评分在“88分及以上”确定为“足球迷”,现从“足球迷”中按区间[88,94)与[94,100]两部分按分层抽样抽取5人,然后再从中任意选取两人作进一步的访谈,求这两人中至少有1人的评分在区间[94,100]的概率.参考答案:(1);(2).【分析】(1)根据所有小矩形的面积和为1,列方程求解可得,利用直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数;(2)列举出从5人中选取2人作进一步的访谈的所有事件共有10个,以及这两人中至少有1人的评分在区间的基本事件有7个,利用古典概型概率公式可得结果.【详解】(1)因为(a+0.025+0.035+0.050+0.030+0.020)×6=1,所以.设y为观众评分的中位数,由前三组的概率和为0.40,前四组的概率和为0.70,知82<y<88,所以0.4+(y-82)×0.05=0.5,则y=84.(2)以样本的频率作为概率,评分在“88分及以上”确定为“足球迷”,现从“足球迷”中按分层抽样抽取5人,则从评分在区间[88,94)的“足球迷”中抽取3人,记为A,B,C,从评分在区间[94,100]的“足球迷”中抽取2人,记为a,b.从5人中选取2人作进一步的访谈的所有事件为AB,AC,BC,Aa,Ba,Ca,Ab,Bb,Cb,ab,共10个基本事件,这两人中至少有1人的评分在区间[94,100]的基本事件有Aa,Ba,Ca,Ab,Bb,Cb,ab,共7个基本事件,则选取的2人中至少有1人的评分在区间[94,100]上的概率.【点睛】本题主要考查直方图与古典概型概率公式的应用,属于中档题,利用古典概型概率公式求概率时,找准基本事件个数是解题的关键,基本亊件的探求方法有(1)枚举法:适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的;(2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求,在找基本事件个数时,一定要按顺序逐个写出:先,….,再,…..依次….…这样才能避免多写、漏写现象的发生.21.已知函数,曲线在点处的切线方程为.(1)求的值;

(2)求

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