2022年上海华东师范大学第四附属中学高二数学理联考试题含解析

2022年上海华东师范大学第四附属中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.从数字1,2,3,4,5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这两个数的和为偶数的概率是（

）A、

B、

C、

D、 参考答案：B略2.容量为100的样本，其数据分布在[2,18]，将样本数据分为4组：[2,6)，[6,10)，[10,14)，[14,18]，得到频率分布直方图如图所示.则下列说法不正确的是(

)A.样本数据分布在[6,10)的频率为0.32B.样本数据分布在[10,14)的频数为40C.样本数据分布在[2,10)的频数为40D.估计总体数据大约有10%分布在[10,14)参考答案：D3.下列函数中，最小值是2的是（

）A、

B、

C、

D、参考答案：C4.若关于x的不等式x3﹣3x2﹣9x+2≥m对任意x∈[﹣2，2]恒成立，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，7] B．（﹣∞，﹣20] C．（﹣∞，0] D．[﹣12，7]参考答案：B【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；3R：函数恒成立问题．【分析】设y=x3﹣3x2﹣9x+2，则y′=3x2﹣6x﹣9，令y′=3x2﹣6x﹣9=0，得x1=﹣1，x2=3（舍），由f（﹣2）=0，f（﹣1）=7，f（2）=﹣20，知y=x3﹣3x2﹣9x+2在x∈[﹣2，2]上的最大值为7，最小值为﹣20，由此能求出关于x的不等式x3﹣3x2﹣9x+2≥m对任意x∈[﹣2，2]恒成立的m的取值范围．【解答】解：设y=x3﹣3x2﹣9x+2，则y′=3x2﹣6x﹣9，令y′=3x2﹣6x﹣9=0，得x1=﹣1，x2=3，∵3?[﹣2，2]，∴x2=3（舍），列表讨论：x（﹣2，﹣1）﹣1（﹣1，2）f′（x）+0﹣f（x）↑极大值↓∵f（﹣2）=﹣8﹣12+18+2=0，f（﹣1）=﹣1﹣3+9+2=7，f（2）=8﹣12﹣18+2=﹣20，∴y=x3﹣3x2﹣9x+2在x∈[﹣2，2]上的最大值为7，最小值为﹣20，∵关于x的不等式x3﹣3x2﹣9x+2≥m对任意x∈[﹣2，2]恒成立，∴m≤﹣20，故选B．5.在△ABC中，若则(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B略6.若函数在区间(－1,2)上是单调函数，则实数a的取值范围为（

）A．或

B．或C．

D．参考答案：C7.已知点，，则直线AB的倾斜角为（

）A.60° B.30° C.120° D.150°参考答案：C【分析】先根据斜率公式求斜率，再求倾斜角【详解】因为直线的斜率为，所以倾斜角为，选C.【点睛】本题考查斜率以及倾斜角概念,考查基本求解能力,属基础题.8.已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则实数a的取值范围是（

） A．(-1,2)

B．(-∞,-3)∪(6,+∞)

C．(-3,6) D．(-∞,-1)∪(2,+∞)

参考答案：B9.若log6a=log7b，则a、b、1的大小关系可能是（）A．a＞b＞1 B．b＞1＞a C．a＞1＞b D．1＞a＞b参考答案：D【考点】4H：对数的运算性质．【分析】利用换底公式、对数函数的单调性即可得出．【解答】解：log6a=log7b，∴，∴1＜a＜b，或0＜b＜a＜1．故选：D．10.若函数在上是增函数，当取最大值时，的值等于（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】根据辅助角公式化简成正弦型函数，再由单调性得解.【详解】，由于在上是增函数，所以，α最大值为，则.故选B.【点睛】本题考查三角函数的辅助角公式和正弦型函数的单调性，属于基础题.

8.统计某校n名学生的某次数学同步练习成绩（满分150分），根据成绩分数依次分成六组：，得到频率分布直方图如图所示，若不低于140分的人数为110.①m=0.031；②n=800；③100分的人数为60；④分数在区间[120,140)的人数占大半．则说法正确的是（

）A.①② B.①③ C.②③ D.②④【答案】B【解析】【分析】根据频率分布直方图的性质和频率分布直方图中样本估计总体，准确运算，即可求解.【详解】由题意，根据频率分布直方图的性质得，解得.故①正确；因为不低于140分的频率为，所以，故②错误；由100分以下的频率为，所以100分以下的人数为，故③正确；分数在区间的人数占，占小半.故④错误.所以说法正确的是①③.故选B.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答熟记频率分布直方图的性质，以及在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所有小长方形的面积的和等于1，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，，，则的最小值是

．参考答案：4因为，根据基本不等式：，则，令，不等式转化为：，解得：，即的最小值为4．

12.如图是某中学高二年级举办的演讲比赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的中位数为

.

参考答案：去掉一个最高分93分和一个最低分79分后，余下的五个分数依次是：84，84，85，86，87，中位数是85.13.

某地区为了解70岁～80岁的老人的日平均睡眠时间(单位：h)，随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：序号i分组

(睡眠时间)组中值(Gi)频数(人数)频率(Fi)

14,5)4.560.1225,6)5.5100.2036,7)6.5200.4047,8)7.5100.2058,98.540.08在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S的值为________．参考答案：6.4214.已知，，且，则的最小值是

．参考答案：4根据题意得到，即故答案为：4.

15.关于函数，有下列命题：①其图象关于y轴对称；②当x>0时，f(x)是增函数；当x<0时，f(x)是减函数；③f(x)的最小值是lg2；④f(x)在区间（－1，0）、（2,+∞）上是增函数；⑤f(x)无最大值，也无最小值．其中所有正确结论的序号是

．参考答案：

①③④

16.以下关于圆锥曲线的命题中①设A、B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线；②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若则动点P的轨迹为椭圆；③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线有相同的焦点.其中真命题的序号为

（写出所有真命题的序号）参考答案：③④略17.设函数，若，，则的值为

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列的前项和为，（）．（1）证明数列是等比数列，求出数列的通项公式；(2）设，求数列的前项和；参考答案：解：（Ⅰ）因为，所以，则，所以，

………………2分，所以数列是等比数列，

………………3分

，，所以．

………………5分（Ⅱ），

…………6分，………………7分令，①，②①－②得，，，

…………9分所以．

…………10分（Ⅲ）设存在，且，使得成等差数列，则，即，

…………12分即，，因为为偶数，为奇数，所以不成立，故不存在满足条件的三项．

………………14分略19.（12分）学校有个社团小组由高一，高二，高三的共10名学生组成，若从中任选1人，选出的是高一学生的概率是，若从中任选2人，至少有1个人是高二的学生的概率是，求：（1）从中任选2人，这2人都是高一学生的概率；（2）这个社团中高二学生的人数。参考答案：解：由题意知高一学生的人数为人

…2分（1）

记“任选2人都是高一学生为事件A”

…………………6分（2）

设高二学生的人数为x,记“任选2人,至少有一人为高二学生”为事件B，则

…8分

…………10分

…11分

………12分略20.2018年4月全国青少年足球超级联赛火爆开启，这是体育与教育的强强联手，这是培养足球运动员的黄金摇篮，也是全国青少年足球的盛宴．组委会在某场联赛结束后，随机抽取了300名观众进行对足球“喜爱度”的调查评分，将得到的分数分成6段：[64，70），[70，76），[76，82），[82，88），[88，94），[94，100]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）求a的值并估计这300名观众评分的中位数；（2）若评分在“88分及以上”确定为“足球迷”，现从“足球迷”中按区间[88，94）与[94，100]两部分按分层抽样抽取5人，然后再从中任意选取两人作进一步的访谈，求这两人中至少有1人的评分在区间[94，100]的概率．参考答案：（1）；（2）.【分析】（1）根据所有小矩形的面积和为1，列方程求解可得，利用直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数；（2）列举出从5人中选取2人作进一步的访谈的所有事件共有10个，以及这两人中至少有1人的评分在区间的基本事件有7个，利用古典概型概率公式可得结果.【详解】（1）因为(a+0.025+0.035+0.050+0.030+0.020)×6＝1，所以．设y为观众评分的中位数，由前三组的概率和为0.40，前四组的概率和为0.70，知82＜y＜88，所以0.4+(y-82)×0.05＝0.5，则y＝84．（2）以样本的频率作为概率，评分在“88分及以上”确定为“足球迷”，现从“足球迷”中按分层抽样抽取5人，则从评分在区间[88，94)的“足球迷”中抽取3人，记为A，B，C，从评分在区间[94，100]的“足球迷”中抽取2人，记为a，b．从5人中选取2人作进一步的访谈的所有事件为AB，AC，BC，Aa，Ba，Ca，Ab，Bb，Cb，ab，共10个基本事件，这两人中至少有1人的评分在区间[94，100]的基本事件有Aa，Ba，Ca，Ab，Bb，Cb，ab，共7个基本事件，则选取的2人中至少有1人的评分在区间[94，100]上的概率．【点睛】本题主要考查直方图与古典概型概率公式的应用，属于中档题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求，在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，….，再，…..依次….…这样才能避免多写、漏写现象的发生.21.已知函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求的值；

（2）求