计算机辅助设计教程曲线与曲面基础知识

王朔2018.9计算机辅助建筑设计第二讲：曲线及曲面基础计算机辅助设计课程简介计算机图形学的相关知识

图形绘制、图形变换、曲线/曲面、图形渲染……Rhino软件及Grasshopper参数化设计BIM及软件应用（Revit）课程主要内容：计算机图形学部分简介：计算机图形学的研究内容庞杂而繁多，凡是与计算机绘图相关的内容都是图形学研究的对象。

本讲义选取有助于建筑专业同学理解及掌握计算机辅助设计相关概念和应用的知识加以介绍。为什么讲述计算机图形学知识：类比：模型-视图-控制器（MVC模式）计算机图形学=表示+绘制+交互基本的计算机绘图知识：

1、各类绘图软件：AutoCAD,SketchUP,Rhino,3DSMax,Photoshops等。2、专用的绘图语言及开发包：OpenGL、DirectX3D等。3、基于PARASOLID、Acis几何引擎的商业CAD软件。3、各类开发语言提供的简单绘图功能。位图(光栅图像)图形(矢量图)基础知识：位图(光栅图像)

光栅图像(Image)与图形（Graphics,Shape,矢量图）对一个视域中的光强变化以有限的精度进行抽样，会产生连续强度表面的一种近似。在计算机存储器中可以用整数的阵列表示，其中每一个整数表示一个亮度。用这种方法编码和存储的图像称为位映射图像（bitmappedimage）。图片来源:《数字设计媒体》WilliamJ.Mitchell著王国泉霍新民译清华大学出版社CBitmapb;CDCd;b.LoadBitmap(IDB_BITMAP1);d.CreateCompatibleDC(pDC);d.SelectObject(&b);pDC->BitBlt(0,0,768,432,&d,1,1,SRCCOPY);unsignedk;for(inti=1;i<100;i=i+5)for(intj=1;j<100;j=j+5){k=pDC->GetPixel(i,j);chars[32];sprintf_s(s,"%d",k);pDC->TextOutW(i*15,j*5+500,CString(s));}1_3_BMP图形(Graphics,Shape)矢量图

图像可能会被看成是不同光强和色彩的点的集合，而对于设计师而言，他们一般会创建高度结构化形式的图，并把他们看成是诸如直线，圆弧、封闭多边形这样一些几何实体的集合。在工程制图中，会使用直尺和圆规一类的绘图工具精确的画出几何实体，并通过几何制图的方法精确的确定他们的关系。同样，计算机图形软件提供了特定的精确处理和准确表示几何实体的工具。图片来源:《数字设计媒体》WilliamJ.Mitchell著王国泉霍新民译清华大学出版社使用CDC类函数绘制基本的图形（不使用任何软件工具，直接写一个运行程序）1、绘制一个简单的矩形DrawRectangleDoc*pDoc=GetDocument();ASSERT_VALID(pDoc);if(!pDoc)Return;CPenmyPen;myPen.CreatePen(PS_SOLID,10,RGB(255,40,0));pDC->SelectObject(myPen);intw=500;inth=300;pDC->MoveTo(50,50);pDC->LineTo(50+w,50);pDC->LineTo(50+w,50+h);pDC->LineTo(50,50+h);pDC->LineTo(50,50);1-1DrawRectangle//TODO:adddrawcodefornativedatahereCPenmyPen;myPen.CreatePen(PS_SOLID,10,RGB(255,40,0));pDC->SelectObject(myPen);pDC->Ellipse(30,20,500,300);voidCMy1_2_MouseLineView::OnLButtonDown(UINTnFlags,CPointpoint){//TODO:Addyourmessagehandlercodehereand/orcalldefaultm_StartPoint=point;CView::OnLButtonDown(nFlags,point);}voidCMy1_2_MouseLineView::OnLButtonUp(UINTnFlags,CPointpoint){//TODO:Addyourmessagehandlercodehereand/orcalldefaultCPenmyPen;myPen.CreatePen(PS_SOLID,5,RGB(255,40,0));CClientDCdc(this);dc.SelectObject(myPen);dc.MoveTo(m_StartPoint);dc.LineTo(point);CView::OnLButtonUp(nFlags,point);}for(inti=0;i<628*2;i++){inty=100*sin(float(i)/100);pDC->SetPixel(i,y+120,0);//pDC->Ellipse(i-r,y-r+120,i+r,y+r+120);Sleep(10);}voidDrawCurve(doublep[3],CDC*pDC,intp_x,intp_y){doubler=150.0,h=3;doublex[628],y[628],z[628],xe[628],ye[628],ze[628],xs[628],ys[628],zs=200,a,b,c,u,v;intm=0;a=p[0];b=p[1];c=p[2];u=sqrt(a*a+b*b+c*c);v=sqrt(a*a+b*b);for(doublet=0;t<62.8;t=t+0.1){x[m]=r*cos(t);y[m]=r*sin(t);z[m]=h*t;m++;}xe[0]=-b/v*x[0]+a/v*y[0];ye[0]=-a*c/(u*v)*x[0]-b*c/(u*v)*y[0]+v/u*z[0];ze[0]=-a/u*x[0]-b/u*y[0]-c/u*z[0]+u;xs[0]=xe[0]*zs/ze[0]+p_x;ys[0]=ye[0]*zs/ze[0]+p_y;pDC->MoveTo(xs[0],ys[0]);//pDC->Ellipse(xs[0],ys[0],xs[0]+100,xs[0]+100);for(inti=1;i<628;i++){xe[i]=-b/v*x[i]+a/v*y[i];ye[i]=-a*c/(u*v)*x[i]-b*c/(u*v)*y[i]+v/u*z[i];ze[i]=-a/u*x[i]-b/u*y[i]-c/u*z[i]+u;xs[i]=xe[i]*zs/ze[i]+p_x;ys[i]=ye[i]*zs/ze[i]+p_y;pDC->LineTo(int(xs[i]),int(ys[i]));}}在工业设计中遇到的形状，一般可以分为两类：（1）定形形状（第一类形状），通常有平面、二次曲面或其他规则曲面所构成。

（2）自由形状（第二类形状），一般来说，包含了自由曲线和自由曲面，设计时通常由给定的一系列型值点来定义期形状，某些复杂的零件及汽车、飞机的外形曲面均属于这类形状。

一般来说用常规的三视图的方法，对第一类形状是适合的，但是将三维形状在二维平面上描述进行形状信息的传递，即使采用多面视图及其它的表达方法，对某些形状来说，也仍然是难于做好的。

第二类形状所包含的信息更多，用传统的工程图学的方法有一定的困难，在CAGD中则是用数学方法来定义、描述及传递形状信息[Hu1987]。[Hu1987]胡瑞安主编.计算机辅助几何设计[M].华中工学院出版社.1987PrototypeofthedesigntheClay&Sculpture

StudioDesign入口三及玻三璃幕三墙调三整方三案2入口三及玻三璃幕三墙调三整方三案2入口三细布三（方三案2）入口三室内三效果Mu三se三um三o三f三Co三nt三em三po三ra三ry三A三rt三&三P三la三nn三in三g三Ex三hi三bi三ti三on三A三rc三hi三te三ct三ur三e三by三C三oo三p三Hi三mm三el三b(三l)三au生成三式设三计(g三en三er三at三iv三e三co三mp三on三en三ts三)来源Pe三di三t_三Sp三li三ne三.d三wg内插三曲线拟合三曲线•三Ma三th三em三at三ic三al三r三ep三re三se三nt三at三io三n三of三p三hy三si三ca三lsp三li三ne三s•三C2三c三on三ti三nu三ou三s•三In三te三rp三ol三at三e三al三l三co三nt三ro三lpo三in三ts•三Ha三ve三G三lo三ba三l三co三nt三ro三l(n三o三lo三ca三l三co三nt三ro三l)Na三tu三ra三l三Sp三li三ne三s样条三函数三是美三国数三学家三于19三46年提三出的三，但三当时三并未三引起三人们三的重三视。三直到60年代三，人三们才三开始三认识三到样三条函三数在三数据三拟合三、函三数逼三近、三数值三微分三与积三分等三重要三作用三，并三广泛三的用三于汽三车、三航空三、造三船等三行业三的几三何外三形设三计[]。最初三，样三条曲三线都三是借三助于三物理三样条三得到三的，三放样三员把三富有三弹性三的细三木条(或有三机玻三璃条)，用三压铁三固定三在曲三线应三该通三过的三给定三型值三点处三，样三条做三自然三弯曲三所绘三制出三来的三曲线三就是三样条三曲线三。样三条曲三线不三仅通三过各三有序三型值三点，三并且三在各三型值三点处三的一三阶和三二阶三导数三连续三，也三即该三曲线三具有三连续三的、三曲率三变化三均匀三的特三点。Sp三li三ne三s•三Po三pu三la三ri三ze三d三in三l三at三e三19三60三s三in三U三S三Au三to三i三nd三us三tr三y三(G三M)–三R.三R三ie三se三nf三el三d三(1三97三2)–三W.三G三or三do三n•三Or三ig三in三:三th三e三th三in三w三oo三d三orme三ta三l三st三ri三ps三u三se三d三inbu三il三di三ng三/s三hi三p三co三ns三tr三uc三ti三on•三Go三al三:三de三fi三ne三a三c三ur三ve三a三s三a三se三t三of三p三ie三ce三wi三sesi三mp三le三p三ol三yn三om三ia三l三fu三nc三ti三on三s三co三nn三ec三te三dto三ge三th三erSp三li三ne三s样条Pi三er三re三B三ez三ie三rfo三r三hi三s三fu三nd三am三en三ta三l三co三nt三ri三bu三ti三onRo三bi三n三Fo三rr三es三tfo三r三hi三s三in三si三gh三tBi三ll三G三or三do三nfo三r三hi三s三ma三th三em三at三ic三al三c三on三tr三ib三ut三io三nsCa三rl三d三e三Bo三or三a三nd三M三au三ri三ce三C三oxfo三r三th三e三Co三x-三de三B三oo三r三al三go三ri三th三mSt三ev三e三Co三on三sfo三r三hi三s三ma三th三em三at三ic三al三g三en三iu三sRi三ch三R三ie三se三nf三el三dfo三r三B-三sp三li三ne三sEl三ai三ne三C三oh三en三,三To三m三Ly三ch三e三an三d三Ri三ch三R三ie三se三nf三el三d三fo三r三th三e三Os三lo三A三lg三or三it三hm三sLe三wi三e三Kn三ap三pfo三r三ra三ti三on三al三B三-s三pl三in三esKe三n三Ve三rs三pr三iefo三r三NU三RB三SDr三.三Pi三er三re三B三´e三zi三er三.三B´三ez三ie三r三wa三s三an三e三ng三in三ee三r三wi三th三t三he三R三en三au三lt三c三ar三c三om三pa三ny三a三nd三s三et三o三ut三i三n三th三e三ea三rl三y三19三60三’s三t三o三de三ve三lo三p三a三cu三rv三e三fo三rm三ul三at三io三n三wh三ic三h三wo三ul三d三le三nd三i三ts三el三f三to三s三ha三pe三d三es三ig三n.贝塞三尔曲三线于19三62年，三由法三国工三程师三皮埃三尔·贝塞三尔（Pi三er三re三B三éz三ie三r）所三广泛三发表三，他三运用三贝塞三尔曲三线来三为汽三车的三主体三进行三设计三。贝三塞尔三曲线三最初三由Pa三ul三d三e三Ca三st三el三ja三u(保尔·德·卡斯三特里三奥)于19三59年运三用de三C三as三te三lj三au算法三开发三，以三稳定三数值三的方三法求三出贝三塞尔三曲线三。Be三zi三er曲线三和曲三面Be三zi三er曲线定义给出三型值三点P0，P1，…，Pn，它三们所三确定三的n次Be三zi三er曲线三是：涉及三到的0!及00，按三约定三均为1。当n=三1时是Be三rn三st三ei三n多项三式，调和三函数在n=三2时在n=三3时①②③④Be三zi三er曲线三几何三作图三方法两个三控制三点(L三in三ea三r三Be三zi三er三S三pl三in三e)只有三两个三控制三点P、Q的Be三zi三er曲线三是什三么样三子的三？不三难想三像是三线段PQ，如三下图三：所以三由控三制点P、Q产生三的Be三zi三er曲线三的方三程是三：C(三u)三=三(三1-三u)三P三+三uQ0<三=三u三<=三1曲线三上参三数为u的点三是通三过P和Q的线三性组三合得三到的三。Be三zi三er二次三曲线(Q三ua三dr三at三ic三B三ez三ie三r三Sp三li三ne三)如果三想得三到一三条弯三曲的三曲线三，两三个控三制点三是不三够的三，加三上一三个控三制点R，那三么由三控制三点P、Q和R生成三的Be三zi三er曲线三又是三什么三样子三的了三？假设三生成三的曲三线为C(三u)，其三中0<三=u三<=三1，对三应于三某个三特定三的u，C(三u)如何三计算三出来三了？我们三先在PQ上求三一点A(三u)A(三u)三=三(三1-三u)三P三+三uQ在QR上求三一点B(三u)B(三u)三=三(三1-三u)三Q三+三uR再在三生成三的线三段上三求C(三u)C(三u)三=三(三1-三u)三A(三u)三+三u三B(三u)对应三于下三图，三用这三种迭三代的三方法三求出三的点C(三u)就是Be三zi三er曲线三上参三数为u的点三！将A(三u)和B(三u)的公三式代三入C(三u)得到三：C(三u)三=三(三1-三u)三A(三u)三+u三B(三u)=三(1三-u三)三[(三1-三u)三P三+三uQ三]三+三u三[(三1-三u)三Q三+三uR三]=三(1三-u三)^三2三P三+2三u(三1-三u)三Q三+三u三^2三R三(三0<三=u三<=三1三)上面三的公三式给三出了三从三三个控三制点P、Q和R，求三取参三数u对于三的曲三线上三点的三方法三，如三果u=三0，则C(三0)三=P；如三果u=三1，则C(三1)三=R，说三明曲三线通三过P和R，与三上图三的观三察是三一致三的；如果三有四三个控三制点P、Q、R和S，给三定一三个参三数值u，0<三=u三<=三1，如三何求u对应三的Be三zi三er曲线三上的三点？三还是三用上三述迭三代的三方法三，最三后得三到的三方程三是：C(三u)三=三(三1-三u)三^3三P三+三3三u(三1-三u)三^2三Q三+三3三u^三2(三1-三u)三R三+三u三^3三S绘制三出来三的曲三线如三下图三所示三：Be三zi三er曲线(C三ub三ic三B三ez三ie三r三Sp三li三ne三)de三C三as三te三lj三au算法三描述Be三zi三er曲面若在三空间三给定(m+1三)(n十1)个控三制点三，Vij，i=0，1，…，m，j=0，1，…，n，令上式三曲面三为m×n次的Be三zi三er曲面当m=n=1，公三式成三为：设v00，v01，v10，v11四点三依次三是(0，0，0)，(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，则三可得P1,三1(u，w)的坐三标形三式的三参数三方程三为：消去三参数三，就三得马鞍三面方程三：当m=n=3，曲三面成三为：Be三zi三er曲线三的次三数（de三gr三ee）是三有控三制点三的个三数决三定的三（n+三1个控三制点三），三如果三增加三曲线三的变三化就三需要三在这三个曲三线的三附近三增加三控制三点，三这会三增加三曲线三的次三数。也可三以把三不同三的Be三zi三er曲线三连接三起来三，只三要第三一条三曲线三的尾三端与三第二三条曲三线的三首端三连接三起来三并具三有相三同的三切线三方向三，至三少可三以获三得G1的连三续性三。B-三Sp三li三ne需要三一系三列的三控制三点，三一系三列的三节点三和一三系列三的系三数，三每个三系数三对应三一个三控制三点，三从而三构造三一系三列的三曲线三段连三接在三一起三，满三足某三个连三续条三件。He三rm三it三e曲线He三rm三it三e曲线He三rm三it三e曲线三为给三定两三端点三及两三端点三切向三量所三得的三三次三曲线三。已知三曲线三的两三个端三点坐三标P0、P1，和三端点三处的三切线R0、R1，确三定的三一条三曲线三。令：则：给定三边界三条件三：结论三：只三要给三定Gh，就三可以三在[0三,1三]范围三内求三出Q(三t)，即三可绘三制出He三rm三it三e曲线三，对三于不三同的三初始三条件三，Gh是不三同的三，而T、Mh均是三相同三的。He三rm三it三e.三gh曲线三与曲三面基三础知三识\B三_S三pl三in三e_三Gr三as三sh三op三pe三r\三Be三zi三er三01三_3三P.三gh曲线三与曲三面基三础知三识\B三_S三pl三in三e_三Gr三as三sh三op三pe三r\三Be三zi三er三01三_4三P.三ghB样条三曲线B样条三曲线三（构三造具三有局三部性三的调三和函三数）给定n+三1个控三制点P0，P1，…，Pn，它三们所三确定三的p阶B样条三曲线三是：其中Ni，p(u)递归三定义三如下三：这里u0，u1，…，un+p，是三一个非递三减的序三列，三称为三节点三，(u0，u1，…，un+p)称为节点三向量。定三义中三可能三出现三，三这时三约定三为0。贝塞三尔基三函数三用作三权重三。B-样条三基函三数也三一样三，但三更复三杂。三但是三它有三两条三贝塞三尔基三函数三所没三有的三特性三，即(1三)定义三域被三节点三细分三（su三bd三iv三id三ed）；(2三)基函三数不三是在三整个三区间三非零三。实三际上三，每三个B样条三基函三数在三附近三一个三子区三间非三零，三因此三，B-样条三基函三数具三有局部三支撑三性。1）设U是m+三1个三非递三减数三的集三合，u0<=三u1<=三u2<=三u3<=三…<三=三um,三u0称为三节点三（kn三ot三s），三集合U称为三节点三向量三（Kn三ot三s三ve三ct三or），三半开三区间[ui,三ui+三1)称为三第i个节三点区三间。2）节三点可三以被三认为三是分三隔点三，区三间[u0,三um]被细三分为三节点三区间三，所三有的B样条三基函三数被三定义三在[u0,三um]上。3）为三了定三义B-三Sp三li三ne基函三数，三还需三要一三个参三数，三基函三数的三次数三（de三gr三ee），三第i个P次的B-三Sp三li三ne基函三数记三为Ni,三p(u三)。Co三x-三de三B三oo三r递归三公式Co三x-三de三B三oo三r递归三公式U=三{三0,三1三,三2,三3三}1)三0次基三函数三是N0,三0(u)三=三1在[0三,1三)，在三其它三区间三是0；N1,三0(u)三=三1在[1三,2三)上，三在其三它区三间是0；N2,三0(u)三=三1在[2三,3三)上，三其它三区间三是0。为了三计算Ni,1(u)，需三要Ni,0(u)和Ni+1三,0(u)。因三此，三我们三可以三计算N0,三1(u),N1,三1(u),N2,三1(u),N3,三1(u)等等三。所三有这三些Ni,1(u)写在三第三三列。三一旦三所有Ni,1(u)计算三完毕三，我三们可三以计三算Ni,2(u)并将三其放三在第三四列三。继三续这三个过三程直三到所三有需三要的Ni,p(u)的计三算完三毕。例：现在三计算N0,三1(u)和N1,三1(u)。要三计算N0,三1(u)，因三为i=三0和p=三1，从三定义三出发三有因为u0=三0,u1=三1和u2=三2,上式三变为因为N0,三0(u)在[0三,1三)上非三零且N1,三0(u)在[1三,2三)上非三零，三如果u在[0三,1三),只有N0,三0(u)对N0,三1(u)有贡三献。三因此三，如三果u在[0三,1三)上,N0,三1(u)是u，N0,三0(u)三=u。而三如果u在[1三,2三)上,N0,三1(u)是(2三-u)，N1,三0(u)三=三(2三-u)。相三似的三计算三得到N1,三1(u)三=三(u–三1)三N1,三0(u三)+三(3三-u三)N2,三0(u三)，如三果u在[1三,2三)上,而N1,三1(u)三=三u-三1，三如果u在[2三,3三)上，N1,三1(u)三=三3三–u。下三图中三，黑三色和三红色三线分三别是N0,三1(u)和N1,三1(u)。注三意N0,三1(u)在[0三,1三)和[1三,2三)上是三非零三的，N1,三1(u)在[1三,2三)和[2三,3三)上是三非零三的。一旦三获得N0,三1(u)和N1,三1(u)，可三以计三算N0,三2(u)。由三定义三得到三下式:代入三节点三值得三到注意N0,三1(u)在[0三,1三)和[1三,2三)上非三零而N1,三1(u)在[1三,2三)和[2三,3三)上非三零。三因此三，我三们有三三种三情况三要考三虑：1.三u在[0三,1三)上：2.u在[1三,2三)上3.u在[2三,3三)上2.三u在[1三,2三)上:这种三情况三，N0,三1(u)和N1,三1(u)都对N0,三2(u)有贡三献。三因此N0,三1(u)三=三2三-u且N1,三1(u)三=u-三1在[1三,2三)上,得到1.三u在[0三,1三)上:这种三情况三，只三有N0,三1(u)对N0,三2(u)的值三有贡三献。三因此三，N0,三1(u)是u,得到3.u在[2三,3三)上:这种三情况三，只三有N1,三1(u)对N0,三2(u)有贡三献。三因此N1,三1(u)三=三3三-u在[2三,3三)上，三得到,曲线三与曲三面基三础知三识\B三_S三pl三in三e_三Gr三as三sh三op三pe三r\三B三_S三pl三in三e0三1.三ghfo三r三(i三nt三j三=三0三;j三<三N三;j三++三){if三(_三u三>=三u三i三&三_u三<三=三ui三1)三{_r三es三ul三t三=三1;}el三se三{_r三es三ul三t三=三0;}re三su三lt三Li三st三.A三dd三(_三re三su三lt三);_u三=三_三u三+三st三ep三;}A三=三re三su三lt三Li三st三;fo三r三(i三nt三j三=三0三;j三<三N三;j三++三){_r三es三ul三t三=三(_三u三-三ui三)三/三(u三i2三-三u三i)三*三_三N0三1[三j]三+三(三ui三3三-三_u三)三/三(u三i3三-三u三i1三)三*三_N三11三[j三];re三su三lt三Li三st三.A三dd三(_三re三su三lt三);_u三=三_三u三+三st三ep三;}A三=三re三su三lt三Li三st三;带重三复度三的节三点如果ui是重三复度k的节三点(即ui=ui+1=三..三.三=ui+三k-1),那么三节点三区间[ui,ui+1),三[ui+1,ui+2),三.三..三,三[ui+三k-2,ui+三k-1)不存三在，三结果三是，Ni,0(u),Ni+1三,0(u),三.三..三,Ni+三k-1三,0(u)都是三零函三数。u0

u1

u2

u3

u4

u5

u6

u7

u8

u9

0000.30.50.50.6111计算Ni,0(u)。三注意三因为m=三9且p=三0三(三0次基三函数),我们三有n=m三-三p-三1三=三8。如三下表三所示三，只三有四三个0次非三零基三函数三：N2,三0(u),N3,三0(u),N5,三0(u)和N6,三0(u).

基函数

范围

方程

备注

N0,0(u)所有

u

0因为

[u0,u1)=[0,0)不存在N1,0(u)所有

u

0因为

[u1,u2)=[0,0)不存在N2,0(u)[0,0.3)1

N3,0(u)[0.3,0.5)1

N4,0(u)所有

u

0因为

[u4,u5)=[0.5,0.5)不存在N5,0(u)[0.5,0.6)1

N6,0(u)[0.6,1)1

N7,0(u)所有

u

0因为

[u7,u8)=[1,1)不存在N8,0(u)所有

u

0因为

[u8,u9)=[1,1)不存在继续三计算1次基三函数三。因三为p为1,n=m三-三p-三1三=三7.下表三显示三了结三果：基

函

数

范

围

方

程

N0,1(u)所有

u

0N1,1(u)[0,0.3)1-(10/3)u

N2,1(u)[0,0.3)(10/3)u

[0.3,0.5)2.5(1-2u)N3,1(u)[0.3,0.5)5u-1.5N4,1(u)[0.5,0.6)6-10u

N5,1(u)[0.5,0.6)10u-5[0.6,1)2.5(1-u)N6,1(u)[0.6,1)2.5u-1.5N7,1(u)所有

u

0计算三所有三的Ni,2(u)。因三为p=三2,我们三有n=m三-三p-三1三=三6。下三表包三含了三所有三的Ni,2(u):

基

函

数

范

围

方

程

N0,2(u)[0,0.3)(1-(10/3)u)2N1,2(u)[0,0.3)(20/3)(u-(8/3)u2)[0.3,0.5)2.5(1-2u)2

N2,2(u)[0,0.3)(20/3)u2

[0.3,0.5)-3.75+25u-35u2

N3,2(u)[0.3,0.5)(5u-1.5)2

[0.5,0.6)(6-10u)2

N4,2(u)[0.5,0.6)20(-2+7u-6u2)[0.6,1)5(1-u)2

N5,2(u)[0.5,0.6)12.5(2u-1)2

[0.6,1)2.5(-4+11.5u-7.5u2)N6,2(u)[0.6,1)2.5(9-30u+25u2)在节三点0.三5(三2)处，三因为三它的三重复三度是2且这三些基三函数三的次三数是2,基函三数N3,三2(u)在0.三5(三2)处是C0连续三的。三这就三是为三什么N3,三2(u)在0.三5(三2)处有三个尖三锐的三角。三对不三在两三个端三点处三的节三点，三例如0.三3,保持三了C1连续三性因三为它三们都三是简三单节三点。曲线三与曲三面基三础知三识\B三_S三pl三in三e_三Gr三as三sh三op三pe三r\三b三-S三pl三in三e_三Ba三se三Fu三nc三ti三on三02三.g三h1.三Ni,三p(u)是一三个在u上的p次多三项式2.非负三性--对所三有的i,p和u,Ni,三p(u)是非三负的3.局部三支撑三（Lo三ca三l三Su三pp三or三t）--Ni,三p(u)是在[ui,ui+三p+1)上的三非零三多项三式三。4.在任三一区三间[ui,ui+1),最多三有p+1个p次的三基函三数非三零，三即:Ni-三p,三p(u),Ni-三p+1三,p(u),Ni-三p+2三,p(u),三.三..三,和Ni,三p(u)5.单位三分解三（Pa三rt三it三io三n三of三U三ni三ty）--所有三非零三的p次基三函数三在区三间[ui,ui+1)上的三和（su三m）是1。6.如果三节点三数是m+1三,基函三数的三次数三是p,而p次基三函数三的数三目是n+1三,，那三么m=n+p+三1。7.基函三数Ni,三p(u)是p次多三项式三的复三合曲三线，三连接三点在[ui,ui+三p+1)上的三节点三处。8.在一三个有三重复三度k的节三点处三，基三函数Ni,三p(u)是Cp-三k连续三的。三增三加重三复度三减小三连续三性的三层次三（le三ve三l），三增加三次数三增加三连续三性。三上述2次基三函数N0,三2(u)在节三点2和3处是C1连续三的，三因为三它们三是简三单节三点。NU三RB三S(三Non三-Uni三fo三rmRat三io三na三lB-Spl三in三es):三D三ef三in三it三io三nNU三RB三S曲线三可以三由任三意数三量的三控制三点来三定义三（就三是说三，任三何大三于3的数三），三这样三反过三来就三意味三着这三整个三曲线三是由三很多三相连三的片三段所三组成三的。三下面三的图三释展三示了三一个三有10个控三制点三的D3曲线三。所三有独三立的三片段三都给三予了三一个三不同三的颜三色。三你可三以看三到，三每一三个片三段都三有一三个非三常简三单的三形状三；一三个你三可以三看作三近似三于一三条传三统的4点贝三塞尔三曲线三的形三状。片段三与片三段之三间的三小圆三圈代三表着三这个三曲线三的节三点向三量。三这条D3曲线三拥有10个控三制点三和12个节三点（0~三11）。三这并三非一三个巧三合，三节点三的数三量直三接取三决于三点的三数量三和度三数：K三=三P三+三(D三-三1三)非均三匀有三理B样条三曲线(N三UR三BS三)，是三一种三用途三广泛三的样三条曲三线，三它不三仅能三够用三于描三述自三由曲三线和三曲面三，而三且还三提供三了包三括能三精确三表达圆锥三曲线曲面三在内三各种三几何三体的三统一三表达三式。三自19三83年，SD三RC公司三成功三地将NU三RB三S模型三应用三在它三的实三体造三型软三件中三，NU三RB三S已经三成为三计算三机辅三助设三计及三计算三机辅三助制三造的三几何三造型三基础三，得三到了三广泛三应用三。NU三RB三S三ar三e三si三mp三ly三a三no三th三er三f三ac三e三of三B三-s三pl三in三e三cu三rv三es三.三Co三ns三id三er三c三on三tr三ol三p三oi三nt三sPwi=三(wixi,wiyi,wizi,wi).三T三hi三s三po三in三t三ha三s三fo三ur三c三om三po三ne三nt三s三an三d三ca三n三be三c三on三si三de三re三d三as三a三p三oi三nt三i三n三th三e三fo三ur三-d三im三en三si三on三al三s三pa三ce三,三an三d,三c三on三se三qu三en三tl三y,C(u)三be三lo三w三be三co三me三s三a三B-三sp三li三ne三c三ur三ve三i三n三th三e三fo三ur三-d三im三en三si三on三al三s三pa三ce三:曲线三的连三续性三（Co三nt三in三ui三ty）样条三曲线三是由三多项三式曲三线段三连接三而成三的曲三线，三在具三体的三应用三中，三要求三连接三线段三的连三接处三满足三特定三的连三续性三条件三，来三保证三曲线三整体三的光顺。组合三参数三曲线三在连三接处三具有三直到n阶的三连续三导矢三，这三类光三顺性三称之三为Cn或n阶参三数连三续性三（pa三ra三me三tr三ic三c三on三ti三nu三it三y）；几何三连续三性（ge三om三et三ri三c三co三nt三in三ui三ty）是三指组三合曲三线在三连接三处满三足不三同于Cn的某三一组三约束三条件三称之三为具三有n阶的三几何三连续三性，三简称三为Gn。曲线三的连三续性三（Co三nt三in三ui三ty）（1）0阶连三续两个三相邻三线段S1(t1)和S2(t2)在连三接处三的位三置连三续，三即S1(1三)=三S2(0三)。记三为C0连续三。（2）1阶连三续相邻三的两三个曲三线段S1(t1)和S2(t2)不仅三满足C0连续三，而三且在三连接三处的三一阶三导数三成正三比，三即S1'(三1)三=k三S2'(三0)三(三k为任三意实三数)（曲三线的三切矢三方向三相同三，大三小可三能不三同）三。当k=三1时，三即S1'(三1)的末三端切三矢和S2'(三0)的首三端切三矢方三向相三同，三长度三相等三，记三为C1连续三；当k≠1时，S1'(三1)的末三端切三矢和S2'(三0)的首三端切三矢方三向相三同，三长度三不同三，记三为G1连续三。（3）2阶连三续两个三相邻三的曲三线段三满足三条件S2''三(0三