计算机图形学-第三章-变换及裁剪

计算机图形学-第三章-变换及裁剪2内容二维变换三维变换裁剪3内容二维变换齐次坐标表示基本变换其它变换三维变换裁剪4二维变换通过二维变换和裁剪，将定义在二维世界坐标系中的物体变换到以像素为单位的屏幕坐标系中，实现二维物体的光栅显示矢量图形、卡通动画二维图形中常见的变换齐次坐标表示：基本变换：平移、旋转、放缩其它变换：剪切、对称、复合5

所谓齐次坐标表示法就是由n+1维向量表示一个n维向量。如n维向量(P1,P2,…,Pn)表示为（hP1,hP2,hPn,h），其中h称为哑坐标。

齐次坐标61、h可以取不同的值，所以同一点的齐次坐标不是唯一的。如普通坐标系下的点（2,3）变换为齐次坐标可以是(1,1.5,0.5)(4,6,2)(6,9,3)等等。2、普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多”由普通坐标h→齐次坐标,由齐次坐标÷h→普通坐标齐次坐标与普通坐标之间是一一对应关系x=X/y=Y/3、当h=1时产生的齐次坐标称为“规格化坐标”，因为前n个坐标就是普通坐标系下的n维坐标。齐次坐标7齐次坐标(x,y)点对应的齐次坐标为

(x,y)点对应的齐次坐标为三维空间的一条直线81.将各种变换用阶数统一的矩阵来表示。提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间上的一个点从一个坐标系变换到另一坐标系的有效方法。2.便于表示无穷远点。例如：（xh,yh,h)，令h等于03.齐次坐标变换矩阵形式把直线变换成直线段，平面变换成平面，多边形变换成多边形，多面体变换成多面体。(图形拓扑关系保持不变）4.变换具有统一表示形式的优点便于变换合成,便于硬件实现齐次坐标表示点的优势防止浮点数溢出矩阵变换的统一表示齐次坐标的作用9二维平移二维点P(x,y)移动(tx,ty)后，得到点P'(x',y')XO(x,y)(x',y')Y采用齐次坐标:(x,y)(x,y,1)10二维旋转将点P(x,y)绕坐标原点按逆时针旋转角

XY(x,y)(x',y')11对于进行放缩的变换公式其中sx和sy分别为x和y分量的放缩比例二维放缩XO(x,y)(x',y')Y12剪切变换(Shear)沿X-轴方向的剪切变换XY(x,y)(x',y')变换过程中,y坐标保持不变,而x坐标值发生线性变化;平行于X轴的线段变换后仍平行于X轴，平行于Y轴的线段变换后错切成与Y轴成固定角的直线13对称变换XOY(x,y)(-x,y)(-x,-y)(x,-y)关于X轴的对称变换关于Y轴的对称变换关于坐标原点的对称变换14对称变换XOYy=x(y,x)(x,y)XOy=-x(x,y)(-y,-x)Y关于直线y=x的对称变换关于直线y=-x的对称变换15复合二维变换平移、旋转和放缩矩阵通常记为T、R和S二维变换具有结合性：(AB)C=A(BC)二维变换不具有交换性先旋转，再(非等比例)放缩先(非等比例)放缩，再旋转16复合二维变换二维变换不具有交换性先平移，再旋转先旋转，再平移17复合二维变换上述变换的组合可以得到特殊的二维变换刚体变换可以分解为：平移和旋转的组合物体的形状没有变化，位置和方位有变化仿射变换可以分解为：平移、旋转和放缩的组合保持点的共线性、长度的比例＝>平行线刚体变换仿射变换18例1：复合平移求点P(x,y)经第一次平移变换（Tx1,Ty1），第二次平移变换（Tx2,Ty2）后的坐标P*（x*,y*）解：设点P(x,y,1)经第一次平移变换后的坐标为P(x

y1)，则经第二次平移变换后的坐标为P*(x*y*1)∴变换矩阵为Tt=Tt1•Tt219例2：多种复合组合例:对一线段先放大2倍(即Sx=Sy=2)，再平移Tx=10,Ty=0。

解:设点(x,y)为线段上的任意一点,点(x´,y´)为点(x,y)放大后的坐标,点(x´´,y´´)为点(x´,y´)平移后的坐标,则:

[x´y´1]=[xy1]S2(2,2)

[x´´y´´1]=[x´y´1]T2(10,0) [x´´y´´1]=[x´y´1]T2(10,0)=[xy1]S2(2,2)T2(10,0)

令：M=S2(2,2)T2(10,0)，则M即为组合变换

yx(x,y)yx(x´,y´)yx(x´´,y´´)Tx20例3：旋转变换解：1、把旋转中心F(xf,yf)平移至坐标原点，即坐标系平移（-xf,-yf），则2、进行旋转变换

3、将坐标系平移回原来的原点4、因此变换矩阵：例：对参考点F(xf,yf)做旋转变换。21内容二维变换三维变换场景坐标系和造型变换视点坐标系和取景变换投影坐标系和投影变换屏幕坐标系和设备变换裁剪22三维变换的基本概念三维变换可以看作照相过程模拟，即如何将场景中的三维几何物体变换到二维屏幕上23三维变换中的各种坐标系24坐标系25例如，对显示器而言，分辨率就是其设备的坐标系的界限范围。263规格化设备坐标系

用于用户的图形是定义在用户坐标系里，而图形的输出定义在设备坐标系里，它依赖于基体的图形设备。由于不同的图形设备有不同的设备坐标系，且不同设备间坐标范围也不尽相同，例如：分辨率为1024*768的显示器其屏幕坐标的范围：x方向为0~1023，y方向为0~767，分辨率为640*480的显示器，其屏幕坐标范围为：x方向0~639，y方向0~479274、视点坐标系视点坐标系定义于世界坐标系中；其过程类似于拍照片：照相机镜头的朝向N：视线方向照相机的位置CUP方向28视点坐标系的交互建立坐标原点C=(Cx,Cy,Cz)：相机的位置单位向量N=(Nx,Ny,Nz)：镜头的朝向与N不平行的向量UP：

得到两个向量U=(Ux,Uy,Uz)和V=(Vx,Vy,Vz)，然后单位化。29视点坐标系的交互建立四个矢量C、U、V、N组成了视点坐标系由世界坐标系到视点坐标系的取景变换：

(x,y,z,1)为世界坐标系中的点 (u,v,n,1)为视点坐标系中的点30三维变换的基本概念场景造型：场景坐标系：世界坐标系、局部坐标系变换：造型变换放置虚拟照相机坐标系：视点坐标系(虚拟照相机的位置、朝向以及向上的方向)变换：取景变换(在视域四棱锥进行裁剪和背面剔除)31三维变换的基本概念投影(照相、摄影)：坐标系：投影坐标系和窗口坐标系变换：投影变换二维显示坐标系：窗口坐标系、规格化设备坐标系与屏幕的物理坐标系变换：设备变换、视窗变换32三维变换流程图局部坐标系世界坐标系视点坐标系图像坐标系规格化设备坐标系屏幕坐标系造型变换取景变换投影变换设备变换视窗变换33场景坐标系和模型变换几何场景建立于世界坐标系中场景中的具体物体与局部坐标系相联系局部坐标系可以简化物体的定义物体=｛标准体素，变换｝造型变换：物体从局部坐标系到世界坐标系的变换三维线性和非线性变换34三维模型变换：平移三维平移T：三维点P(x,y,z)移动(tx,ty,tz)后，得到点P'(x',y',z')35三维模型变换：放缩三维放缩S：三维点P(x,y,z)放缩(sx,sy,sz)后，得到点P'(x',y',z')36三维造型变换：旋转绕x轴逆时针旋转角的旋转变换Rx

绕y轴逆时针旋转角的旋转变换Ry绕z轴逆时针旋转角的旋转变换Rz37三维造型变换非线性三维模型变换：变换矩阵是空间位置(x,y,z)或者旋转角度(x,y,z)的函数。

38二、窗口与视口3940投影坐标系和投影变换投影变换：三维二维投影变换是在视点坐标系CUVN中进行的透视投影：符合人类的视觉特点，产生的投影效果更为真实平行投影：物体的相对度量保持不变(例如两个等长线段的投影结果仍然是等长的)，适用于建筑和机械设计41透视投影和平行投影42透视投影43透视投影投影点：通常取视点坐标系中(0,0,0)点投影平面：取作与视线方向(N方向)垂直的平面n=d。假设在视点坐标系中的点为(u,v,n)，那么在投影面上的对应点坐标(up,vp)为

44透视投影齐次坐标表示记投影后的齐次坐标为(U,V,N,W)，则透视投影齐次坐标表示为：45关于透视投影一点透视投影两点透视投影三点透视投影46内容二维变换三维变换裁剪二维线裁剪二维多边形裁剪文本裁剪三维裁剪关于三维变换与裁剪47三维变换流程图局部坐标系世界坐标系视点坐标系图像坐标系规格化设备坐标系屏幕坐标系造型变换取景变换投影变换设备变换视窗变换二维裁剪？三维裁剪？48裁剪(Clipping)裁剪是确定场景或画面中位于给定区域(2D或3D裁剪窗口)之内的部分裁剪还可用于图形反走样、隐藏线、隐藏面、阴影、纹理等算法中裁剪推广应用：多面体对多面体的裁剪，实体造型系统中执行布尔运算在窗口系统中复制、移动或删除画面中某一部分(Cut-Copy-Paste)49裁剪裁剪算法分类：裁剪窗口的维数：二维、三维裁剪窗口：规则(矩形、六面体)和不规则的(任意多边形和多面体)对象维数：点、线、多边形、多面体实现方式：软件和硬件实现50二维线裁剪图形裁剪就是决定画面中哪些点、线段或部分线段位于裁剪窗口之内。位于窗口内的点、线段或部分线段被保留用于显示，而其它的则被抛弃。在一个典型的场景之中，需要对大量的点、线段进行裁剪，因此裁剪算法的效率十分重要(如何快速拒绝和接受)51二维线裁剪实例52二维线裁剪主要方法Sutherland-Cohen裁剪(科恩

)：编码中点分割裁剪：除以2，移位运算参数化裁剪与梁友栋-Barsky裁剪：高效率的裁剪Nicholl-Lee-Nicholl裁剪(NLN)：更为精细的判断……53二维多边形裁剪简单的处理方法：对多边形的每条线段采用线裁剪算法适用于线框图显示不适用于多边形的着色显示正确的处理方法：裁剪后的多边形仍为封闭的多边形可能会并入一部分窗口作为多边形边界也可能是多个不相连的多边形54多边形裁剪后的输出应该是定义裁剪后的多边形边界的顶点序列如何保证裁剪后区域的封闭性如何确定裁剪后区域的边界二维多边形裁剪实例矩形窗口多边形裁剪实例55文本裁剪矢量文本裁剪：采用前面的多边形裁剪算法实现文本的裁剪点阵文本裁剪：如果点阵是由软件生成的，点阵式文本的裁剪可以归结为点的裁剪问题；如果点阵式文本是由硬件生成的，裁剪就会变得比较复杂，一个简单的处理方法是：如果字符完全位于裁剪窗口内才会显示56文本裁剪文本裁剪57三维裁剪三维裁剪裁剪对象：线裁剪、面裁剪裁剪窗口：规范的立方体、视域四棱锥Sutherland-Cohen、梁友栋-Basky裁剪等算法都可以推广到三维情形58关于三维变换与裁剪何时裁剪?投影之前裁剪——三维裁剪优点：只对可见的物体进行投影，提高消隐效率缺点：三维裁剪相对复杂投影之后裁剪——二维裁剪优点：二维裁剪相对容易缺点：需要对所有的物体进行投影变换59三维裁剪实