结构的动力计算

第11章结构的动力计算

§11－1

动力计算的特点和动力自由度

一．动荷载及其分类

动荷载是指其大小、方向和作用位置随时间变化的荷载．由于荷载随时间变化较快，所产生的惯性力不容忽视。因此，考虑惯性力的影响是结构动力学的最主要特征。

静荷载只与作用位置有关，而动荷载是坐标和时间的函数。

动荷载按其随时间的变化规律进行分类：二．结构动力计算的内容和特点1.动力计算的主要内容结构响应问题输入（动荷载）结构（系统）输出（动力反应）2．结构动力计算的目的

研究结构在动荷载作用下的反应规律，找出动荷载作用下结构的最大动内力和最大动位移，为结构的动力可靠性设计提供依据。

3．动力反应的特点在动荷载作用下，结构的动力反应（动内力、动位移等）都随时间变化，它除与动荷载的变化规律有关外，还与结构的固有特性（自振频率、振型和阻尼）有关。不同的结构，如果它们具有相同的阻尼、频率和振型，则在相同的荷载下具有相同的反应。可见，结构的固有特性能确定动荷载下的反应，故称之为结构的固有动力特性。强迫振动

结构在动荷载作用下产生得振动。研究强迫振动，可得到结构的动力反应。

三．自由振动和强迫振动自由振动

结构在没有动荷载作用时，由初速度、初位移所引起的振动。研究结构的自由振动，可得到结构的自振频率、振型和阻尼参数等固有特性。

确定体系运动过程中任一时刻全部质量的位置所需的独立几何参数数目，称为体系的自由度。根据自由度的数目，结构可分为单自由度体系，多自由度体系和无限自由度体系。四．动力分析中的自由度1．自由度的定义

将连续分布的结构质量按一定的力学原则集中到若干几何点上，使结构只在这些点上有质量。从而把一个无限自由度问题简化为有限自由度问题。2.实际结构自由度的简化方法

为分析计算方便，往往将具有无限自由度体系的实际结构简化为有限自由度。常用的简化方法为：（1)集中质量法计轴向变形:W=2不计轴向变形:W=1考虑轴向刚性条件，一般情况下不考虑轴向变形

不计轴向变形：

W=1W=2W=3W=1θ结论：①结构自由度数目与质点的个数无关②结构自由度数目与超静定次数无关（2）广义坐标法

假定梁的挠度曲线为式中－满足位移边界条件的形状函数－广义坐标

广义坐标的个数为体系的自由度数（3）有限单元法

综合了集中质量法和广义坐标法的特点。将实际结构离散为有限个单元的集合，以结点位移作为广义坐标，将无限自由度问题化为有限自由度问题。结点位移的数目等于体系的自由度数。本章主要讨论集中质量法。

§11-2

单自由度体系的运动方程

实际上，工程中很多问题可化成单自由度体系进行动力分析或进行初步估算。要掌握其动力反应的规律，必须首先建立其运动方程。下面介绍建立在达朗贝尔原理基础上的“动力平衡法”。

所谓动力平衡法，就是把由于结构振动引起的惯性力也作为一种静力，然后根据静力平衡条件建立运动方程。一.按平衡条件建立运动方程－刚度法

－惯性力－弹性力对隔离体列平衡方程：k－刚度系数

刚度法步骤：（1）在质点上沿位移正向加惯性力;（2）取质点为隔离体并作受力图;（3）根据达朗伯原理对质量m列瞬时动力平衡方程，此即体系的运动方程。二.按位移法协调建立方程－柔度法

1

δ对质量m列位移皇方程：δ－柔置度系勉数柔度保法步姿骤：（1）在质执量上沿析位移正仗方向加揉惯性力杆；（2）求动垮荷载和南惯性力秩引起的句位移；（3）令朗该位宋移与夕质量m的位誓移相嫌等，飞即把得到粮体系像的位升移方承程（掩运动硬方程独）。三.建立运闭动方程稿例题例1试建肝立图扰示刚量架（a）的运动姻方程解：捧（1）刚张度法（a）（b）由于役横梁债刚度新无限腰大，底刚架恋只产租生水钢平位嘱移。哲设横裕梁在疲某一牲时刻t的水平纪位移为y(t茂),向右旅为正勒。在渗柱顶武设置记附加桶链杆鬼（图b），以y(藏t)作为基距本未知医量，用康位移法惩列动平浙衡方程英：令作图（图c），求靠得(c价)(d)考虑动王荷载F(永t)和惯哲性力作MP图，求闭得（2）柔服度法设横唱梁在异任一短时刻猪的位快移蛮是由之动荷斧载艺和惯太性力销共雀同作流用产姓生的趣（图e），所以蕉，运货动方篇程为：因此陵，横姐梁的眠位移扑为：作宿图（图f）(e)(f瓜)求得所以，律运动方巴程为可见，贞用两种荣方法求挺解后运证动方程湖相同。一般三来说另，对厅于刚隔架采民用刚面度法抖简单习，对扑于梁犁采用坐柔度往法简备单。例2．试建竟立图勿（a）所示韵刚架的染运动方贱程（不梯计轴向抢变形）。(a败)(b)解：用柔走度法弱求解图示妄结构擦质量m只产生廉水平位泳移。设质妖量m在任一时刻t的水欲平位淹移为叶，它是形由动管荷载(c)质量m的位眨移为和惯性睛力作用产止生的，共同向右为剩正。作酸图，求得所以馅，运恰动方蠢程成欺为例3．试建立递图（a）所示厦刚架的料运动方旨程须（不样计轴向肆变形）。解：仍用柔蓄度法求送解(a若)（b）分析赚同例2，质吊量m的位丢移为作殿图、饶图求得(c承)(d)所以，嘴运动方盾程为由此可圆见，动牌力平衡明法建立减单自由设度体系拉的运动斥方程通富常是以苍质量的绿静平衡蓝位置作要为计算间动位移蔑的起点河，采用非刚度法商还是柔铸度法要弱视具体色问题，干是求刚拌度系数普方便，孝还是求滚柔度系挪数方便甘来定。查对同一婚体系，爹两种方用程都是拳一样的原，对于脂单自由烘度体系：。§1施1-急3单自由胶度体系萄的自由杰振动很（萄不计阻老尼）自由振握动－由绝初位移么或初速亲度引起趟的，在客运动中久无动荷稍载作用馋的振动却。分析渐自由耻振动寺的目道的－康确定拳结构独的动须力特鸟性，造自振讯频率枝，自招振周鸭期。一.自由桂振动闭运动子方程单自由用度体系陪的自由弱振动及顽相应的顷弹簧－幅质量模浮型如图皂示。以梯静平衡祸位置为酒坐标原辣点，在t时刻，到质量m的位移御为y(t蔽)。取质擦量m为隔救离体赢，作向用在或隔离俱体上肃的力捏：弹性揭力蜜－ky甘(t笔)与位移受方向相留反；惯性力船－与加速限度方向莫相反夸。动平衡溉方程：刚度法堂建立平文衡方程狮：（11－1）柔度法肆建立位秆移方程疏：质量m在t时刻菌的位零移y(t尺)是由胁此时杰作用栽在质苹量上义的惯思性力告产生曲的，派位移每方程屠为：整理稿，(a街)单自洽由度迁体系终：(b蔽)式（11－1）或趁（a）称扣为无斜阻尼缸单自文由度披体系侮自由含振动越运动喝方程凉（微央分方疾程）二.自由基振动伟运动然方程锈的解无阻堂尼单查自由抖度体投系自胳由振玩动微故分方仅程写宋为：（13－2）式中其通解光为当初露始条纵件此方抖程为炼二阶征齐次闻线性顽常微需分方软程式（11－3）还文可写通成（13－4）式中：（13－5）不计微阻尼院时，着单自刘由度掉体系么的自闻由振捕动是瓜由初顶位移类和初涉速度订引起裤的简芒谐振名动。方程筑的解乎：（13－3）三.结构的晚自振周您期和自庄振频率由式鲜（11－4）y(聪t)是周鞭期函私数－自振龙周期（泻固有周棍期）－自振漫频率（固有频率）1.结构壮自振迷周期壤和自天振频骡率畏的锹各种足等励价计别算公躬式理解配这些泽公式事各符检号的蜻含义酷，由魔其中众一个妖公式料便可粉得到些其他链公式秧。2.结构拦自振偿频率ω（或自初振周期T）的酱性质自振频盼率只与贺结构的留质量和伐刚度有冤关，与采外部干变扰因素血无关，晒它是结酸构本身雄固有的耀特性；告改变结悠构的质移量或刚核度可改穿变其固贪有频率盐，不管地实际结企构如何眯，在同咬样的干蛙扰力下极，固有仔频率相素同的结司构的动宏力反应肤相同3.简谐自政由振动进的特性位移加速拜度惯性力位移植与惯会性力犹作同总频同长步振育动。4.算例例1求图毕示体槽系的圾自振赞频率萝和自凑振周痕期。解图示杂结构它体系婶虽有广两个她质量进，但滥它们绕沿同抬一直替线（钱水平抱方向盟）运柴动，服故仍冈为单滋自由络度体崭系。慕如图赛（b）示蚕，作认图柔度泻系数自振拢频率自振株周期例2．图示慨排架危的横古梁为军刚性镇杆，右质量方为m，柱炉质量挽不计,求其受自振默频率海。解不考虑压轴向变萌形，故剩为一单稀自由度辫体系。纳作射图，眨求出自振频息率刚度球系数单自由壁度体系渔的强迫枣振动（不层计阻糟尼）§11－4强迫菜振动——结构在巧动荷载牛作用下放的振动单自由凝度体系好在动荷我载下的腥振动及相牧应的猜振动贡模型菌如图店示:弹性力惯性狐力平衡看方程不同恶的动长荷载门作用扛，体劣系的削动力握反应繁不同煮。常见的锦几种动勉荷载作雾用下体鸭系的动宇力反应免：或（11－6）式中结构朴的自角振频贱率式（11－6)为单自崭由度体吵系强迫剂振动方邪程仅考崭虑简叨谐荷名载—荷载于幅值—荷载善的圆针频率1.运动炭方程度及其纯解二阶站线性们非齐睬次常剑微分叹方程通解：齐次丝式解：设特孝解：运动方奴程的通冬解为：由初梯始条食件确息定陡后缸，运来动方闸程的迫解特解为代入方俊程，求仿得（13－7）式（13-异7）中赏前两健项为贯初始宏条件续引起阀的自由欲振动;第三倘项为残荷载蜜（干袜扰力词）引起的自届由振动乡丰，称为伴生像自由厉振动。实际浅上，削由于桃阻尼扫的存畏在，厅自由差振动部分迎都很沃快衰亮减掉顷。自梢由振即动消扁失前的振动厨阶段称剪为过渡阶勺段。第四项朋为按荷胆载频率θ进行的有振动，薯此项不网随时间悼而改变谊。当前柴三项由宵于阻尼愈的作用市随时间等减小到蚂可忽略岔时，此选时的振律动仅剩敬余第四魄项，此低阶段为缺振动的平稳共阶段，称屠为纯受迫埋振动或稳态殊振动。2．稳态退振动分稼析（1）稳牛态振叹动解令－荷闯载幅蜘值作鼠为静咸荷载毒作用忆时结茂构产马生的随静位坊移最大动位移令（13－8）动力虚放大脚系数最大倍动位扁移（采振幅戚）（11－9）－最大亦动位优移跪与静沫位移授之比动力系氏数楚是频率石比勿的函数（2）动严位移京的讨沙论它反映敞了干扰发力对结构辞的动力慨作用。（a）若时，干扰力堵产生的夕动力作寒用不明拣显，因此可汽当作静亮荷载处肠理；极限仆情况俊，即向或患，则私。意天味着绢结构讲为刚瞒体或荷载判不随孙时间案变化瘦，因它此不拔存在振动问发题。当物时，差为谊增函数繁。（b）当谊时突，去，共学振为避开与共振，时可改变欧干扰力衣频率或改变证结构的想自振频括率解使劫或秧。（c）当书时启，驶为减函岂数且，鞠，刮体长系处穿于静残止状醉态。（3）降低舍振幅的垫措施－频赠率比白，应使腔频率圾比减崖小，俯增加平结构的留自振溜频率尼，增绕大刚析度，野减小怒质量拆；应使频群率比增碌大，减枣小结构的自显振频率斤，减小嫩刚度，增大创质量省。动位劫移幅座值（盛振幅赛）和玩动内睡力幅瘦值的化计算庸计放算步待骤（1）计弄算动乘力系捎数；（2）计哀算动叠荷载枪幅值页作为静荷山载作消用时忌引起究的静位纠移和浮静内伸力；（3）将静食位移和的静内力差分别乘以姥动力羞系数拉得炭动位兔移幅值和溜动内力哥幅值。例：爽求简训支梁蔬跨中勉最大两位移谢和最协大弯蜻矩.已知一简翠支梁忽，惯切性矩怖为I，弹期性模虎量为E。在卧跨度德中点蓝有电躁动机锈重量G，转速n。由垫于具戚有偏厕心，扔转动愚时产剪生离贿心力P，P的竖向弱分量为Psi既nθt。忽略验梁的质妈量，试捎求强迫像振动的寸动力放择大系数宴和跨中螺最大挠悟度和跨凡中最大藏弯矩解(1垒)计算倚动力字系数梁的饲自振窜频率模：荷载锡频率动力系驴数M图(2)动荷载喂幅值作贼为静荷讽载作用时转的位移网和内力(3)动位欢移振女幅和镰动弯盐矩幅腰值动位移振幅动弯除矩幅右值(4灭)最大本位移视和最范大弯访矩简支斥梁的丘最大株位移吊和最窑大弯顿矩均罢在梁担跨中乡丰点跨中血重量G产生的音静位移跨中的布最大位傅移跨中梳重量G产生届的静院弯矩跨中予的最抄大弯信矩§11－5阻尼：体系叶在振动始过程中枪使其能钥量耗散恩的犁各惯种因素蛋的统称木。产生次阻尼灭的原帅因：由结构许变形肺中材握料的货内摩六擦，标支撑湿及结源点等右构件债联结断处摩堵擦及纽奉周围俯介质建阻力习等。阻尼被力：在振刚动分析串中用于刺替代阻予尼作用疮的阻碍绒振动的蚂力。阻尼纱对振阿动的宋影响采用严阻尼感模型赖：粘碰滞阻致尼力――假定朗阻尼舰力的晋大小拘与体厌系振贵动时惩的速虎度成课正比慨，与傅速度想方向胀相反乌，用粗表派示。――阻尼损常数亡。具有阻拴尼的单新自由度拴体系的江振动模馅型如图赶（a）示。弹性鱼力阻尼力惯性润力质量m的动怕平衡芬方程洲为：（11－14）一.有阻尼障的自由季振动自由振迟动方程（13－15）令――阻尼比则（13－16）设脊解为特征垂方程（11－17）特征侦根1.三种晶运动槐形态(1)瓶.历(小阻尼能情况)有阻慈尼频攀率（11－19）方程亏（11－16）的哀解（11－20）由初四始条到件式中或方程喂的解写祥为（13－20）振幅小阻尼嘴情况下白的自由疫振动是称按指数视规律衰纠减的简敌谐运动椅。相位角（13－22）（13－21）方程（11－16）解不振动（3）（超阻缎尼情况尝）不振动（2）（临贤界阻砖尼情写况）――临界秘阻尼俊系数（11－23）（11－24）2.小阻尼擦时自由坦振动分愉析振动险方程频率周期(1勺)小阻娃尼的狸自由饲振动产是一挂个衰漫减振畅动；(2历)在梨时演，阻尼刺对自振控频率的茫影响可电忽略；钢筋混得凝土结蠢构：钢结构从：左右(3任)阻尼比细的确定振幅对泽数衰减部率还可座表示可为（11－25）阻尼远比（11－26）（11－27）利用级上式岩，通搭过实束验可龄确定后体系奶的阻批尼比罚。例：缝对图示效刚架作绒自由振闻动实验蔬。设刚奴架的质首量m均集中哑在横梁私处，横眨梁海。箱在刚架谨横梁处朋加一水许平力窃，测娃得侧移逐。然油后突然辩卸载，级刚架产叨生自由虹振动，银测得周遮期杏，及一抽个周期院后刚架钳的侧移缎为削。求系刚架的似阻尼比秀和阻尼药系数。解阻尼比阻尼阳系数二．有垦阻尼的竞强迫振考动式（11－14）有择阻尼棍强迫也振动塘方程器中，不同，苗结构的枪动力反蓄应不同堂。仅考虑肠简谐荷获载运动御方程啊及其梅解或（11－28）通解齐次解（1）（11－29）设携特解运动水方程货的全织解：式中坑由碍初始条坚件确定塘。由于南阻尼的袍作用，恶含有体的第馅一部分赔的振动腊将逐渐（11－30）（11－31）（11－32）（11－33）(2)稳态振翼动分析稳态剂振动辰方程哀可写易为振幅（11－35）衰减易消失誉；与艇动荷妥载频片率茎相芽同的羊第二励部分出振动谜不衰辅减，落称为饼稳态售振动寄（纯季受迫访振动膜）。（11－34）相位满角当捏时，动力系易数（11－36）阻尼对拣振幅的岭影响：①随蜻增大臣而减小激；②当孝时，③当毛时，牵共振跑，，；与频绍率比动力系许数和阻继尼有关。阻尼在撑共振区内影响根显著，蕉不能忽催略；在皱共振区兽外，为脉简化，弹偏安全统考虑可锐不计阻辜尼的影必响。④并不发洗生在寒处谅。通常情果况下，很小，（11－37）§1勉1-小6多自冠由度田体系哀的自缠由振蹲动工程榴中，汽很多边实际再结构燥可简购化为叫单自棒由度铸体系妖进行肉计算余，但党要进藏行更台加精冒确地聪分析殃，以柏及对脊于绝提大多擦数实聋际结违构必萄须作自为多黑自由血度体祝系进塘行计联算。多自归由度坏体系丈自由悔振动初分析塔的目广的是药确定丽体系专的动件力特稍性――自振频茧率和振引型。多自甲由度滚体系慢自由斩振动醒的求潜解方口法：模刚度裤法，蛇柔度夹法。一.刚度广法1.两个候自由叛度体悦系（1）自疾由振稍动微像分方梨程惯性力盯，（11慨-4呜1）弹性力（2）频箱率方壁程和阴自振歌频率设方程抽的特解泉：即两质返量作简胳谐振动代入泛方程迟（11雅-4罚1），得贯位移幅佳值方程两质读量的滔动平冠衡方拦程（11-买42）频率方撑程解频腿率方弹程得截两之个根捎：咽，超规定－第一押频率或辟基本频垮率，肾－妈第二频林率（11-懒43）（3）主迹振型将撕代欧入式验（11-糕42），俱得质点着的振券动方董程为（11淋-4签4）体系按角振动有仰如下特灶点：①两质肯量同作频同弓步②任意时典刻，两判质量的征位移比断值，速肉度比值闪保持不谈变且相江等这说淋明体底系的标变形饼形式群不变豆，此庙振动钳形式步称为主振型，简称振型。为与乳相对惧应的揪振型菌，称茄为第到一振奇型或基层本振熄型。定义：体系上帐所有质非量按相功同频率顿作自由婚振动时茂的振动贴形状称繁体系的躁主振型精。③按第一贞振型自荷由振动迈的条件④振型良与频隐率一羞样是装体系聚本身搬固有明的属讽性，列与外哗界因凤素无效关。同理，施将破代入代式（11-榴42），得候到（11误-4咐5）即第二居振型图示轰两个眨振型第一饰主振弱型第二主斯振型2．n个自黑由度饮体系自由青振动揭微分搬方程程组：其矩阵澡表达式伍：（11-母47）（11源-4肚6）频率亚方程（11-违48）解频率炼方程，矩得女的n个根翻：且钻，氧，从迅小到借大得档排列票，依教次称疾为第娇一频束率（滔或基出本频例率）遮、第蹄二频静率其。将自泽振频悉率代肺入得出稻对悠应的主敞振型向踏量谋。这n个主振甘型线性攻无关。惯性脚力眨，宏作用佛下产振生的精静位移。二.柔度肿法1.两个自蒙由度体县系（1）自由妖振动微雅分方程质量凭在众任意笋时刻圾的位忍移棋为此窜时（