江苏省无锡市怀仁中学高三数学理上学期期末试题含解析

江苏省无锡市怀仁中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知命题则是

（

）（A）

（B）（C）

（D）参考答案：C略2.在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c．已知a=b，A-B=，则角C=（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】根据条件，直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理的应用求出结果．【详解】在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c．已知a=b，A-B=，则：sinA=，故：，整理得：，所以：tanB=，由于：0＜B＜π，故：B=．，则：故选：B．【点睛】本题主要考查了三角函数关系式的变换，正弦定理余弦定理和三角形面积的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．3.设，，在中正数的个数是()A.25 B.50 C.75 D.100参考答案：D【分析】由于的周期，由正弦函数性质可知，，，…，，，，…，，单调递减，，…都为负数，但是，，…，，从而可判断的符号，同理可判断的符号.【详解】由于周期，由正弦函数性质可知，，…，，，，，…，，且，…但是单调递减，都为负数，但是，，…，∴，，…，中都为正，且，，…，都为正，同理，，…，都为正，且，…，都为正，即个数为100，故选：D．【点睛】本题主要考查了三角函数的周期的应用，数列求和的应用，解题的关键是正弦函数性质的灵活应用，属于中档题.4.在复平面内，复数，则对应的点的坐标位于第（）象限．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：D【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的意义、几何意义即可得出．【解答】解：复数==i+1，则=1﹣i对应的点的坐标（1，﹣1）位于第四象限．故选：D．5.《九章算术》是我国古代数学经典名著，它在集合学中的研究比西方早1千年，在《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑，已知某“鳖臑”的三视图如图所示，则该鳖臑的外接球的表面积为（）A．200π B．50π C．100π D．π参考答案：B【考点】球内接多面体；简单空间图形的三视图．【分析】几何体复原为底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，扩展为长方体，长方体的对角线的长，就是外接球的直径，然后求其的表面积．【解答】解：由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；扩展为长方体，也外接与球，它的对角线的长为球的直径：=5该三棱锥的外接球的表面积为：=50π，故选B．【点评】本题考查三视图，几何体的外接球的表面积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．6.圆E经过三点A（0，1），B（2，0），C（0，﹣1），且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为（）A．（x﹣）2+y2= B．（x+）2+y2=C．（x﹣）2+y2= D．（x﹣）2+y2=参考答案：C【考点】圆的标准方程．【分析】根据题意，设圆E的圆心坐标为（a，0）（a＞0），半径为r；利用待定系数法分析可得，解可得a、r的值，代入圆的标准方程即可得答案．【解答】解：根据题意，设圆E的圆心坐标为（a，0）（a＞0），半径为r；则有，解可得a=，r2=；则要求圆的方程为：（x﹣）2+y2=；故选：C．【点评】本题考查圆的标准方程，要用待定系数法进行分析，关键是求出圆心的坐标以及半径．7.已知集合A={}，Z为整数集，U=R，则A.

B.

C.CU

D.CU参考答案：C∵集合∴集合，∵为整数集∴，，，故选C

8.已知全集，A={3,4,5}，，则A.{5,6} B.{3,4} C.{2,3} D.{2,3,4,5}参考答案：B9.设a，b，c是空间三条直线，，是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（）A．当c⊥时，若c⊥，则∥B．当时，若b⊥，则C．当，且c是a在内的射影时，若b⊥c，则a⊥bD．当，且时，若c∥，则b∥c参考答案：答案：B10.若全集U＝R，集合，，则集合

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若在上恒正，则实数的取值范围是

参考答案：12.在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=

．参考答案：1【考点】余弦定理；二倍角的正弦；正弦定理．【分析】利用余弦定理求出cosC，cosA，即可得出结论．【解答】解：∵△ABC中，a=4，b=5，c=6，∴cosC==，cosA==∴sinC=，sinA=，∴==1．故答案为：1．13.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），若（﹣，0）为f（x）的图象的对称中心，x=为f（x）的极值点，且f（x）在（，）单调，则ω的最大值为．参考答案：5【考点】正弦函数的对称性．【分析】由函数的对称性可知：ω（﹣）+φ=nπ，n∈Z，ω?+φ=n′π+，n′∈Z，相减可得ω=2k+1，即ω为奇数，f（x）在（，）单调，ω×+φ≥2kπ+，且ω?+φ≤2π+，求得ω≤8，由ω=7时，求得φ的值，求得函数的单调区间，由f（x）=sin（7x﹣）在（，）不单调，不满足题意，同理求得当ω=5时，满足题意，即可求得ω的最大值．【解答】解：由（﹣，0）为f（x）的图象的对称中心，则ω（﹣）+φ=nπ，n∈Z，x=为f（x）的极值点即为函数y=f（x）图象的对称轴，∴ω?+φ=n′π+，n′∈Z，∴相减可得ω?=（n′﹣n）π+=kπ+，k∈Z，即ω=2k+1，即ω为奇数，f（x）在（，）单调，ω×+φ≥2kπ+，且ω?+φ≤2π+，∴ωπ≤π，ω≤8，当ω=7时，7（﹣）+φ=nπ，|φ|≤，∴φ=﹣，∴f（x）=sin（7x﹣）在（，）不单调，不满足题意，当ω=5时，5（﹣）+φ=nπ，|φ|≤，φ=，f（x）=sin（5x+）在（，）单调，满足题意，∴ω的最大值为5．故答案为：5．14.曲线在点(-1,-1)处的切线方程为

。参考答案：15.已知函数，定义函数给出下列命题：①；②函数是奇函数；③当时，若，，总有成立，其中所有正确命题的序号是

.

参考答案：②、③16.如果对一切都成立，则实数的取值范围是

．参考答案：17.函数y=的最大值为．参考答案：【考点】HW：三角函数的最值．【分析】直接利用换元法，通过三角函数的有界性，转化函数为二次函数，即可得出．【解答】解：由题意，设sinx+cosx=t，∵sinx+cosx=sin（x+）=t，∴≤t，且t≠0．那么：sin2x=t2﹣1函数y转化为：f（t）=，（≤t，且t≠0）∴f（t）的最大值为：，即函数y的最大值为．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图,四棱锥P-ABCD中，，，，，．（1）求证：平面PBD⊥平面PBC；（2）在线段PC上是否存在点M，使得平面ABM与平面PBD所成锐二面角为？若存在，求的值；若不存在，说明理由．参考答案：（1）见证明；（2）见解析【分析】（1）利用余弦定理计算BC，根据勾股定理可得BC⊥BD，结合BC⊥PD得出BC⊥平面PBD，于是平面PBD⊥平面PBC；（2）建立空间坐标系，设λ，计算平面ABM和平面PBD的法向量，令法向量的夹角的余弦值的绝对值等于，解方程得出λ的值,即可得解．【详解】（1）证明：因四边形为直角梯形，且,,,所以，又因为。根据余弦定理得所以，故.又因为,,且,平面，所以平面，又因为平面PBC，所以（2）由（1）得平面平面,设为的中点，连结，因为,所以,,又平面平面，平面平面，平面.如图，以为原点分别以，和垂直平面的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，假设存在满足要求，设，即，所以易得平面的一个法向量为.设为平面的一个法向量，，由得，不妨取.因为平面与平面所成的锐二面角为，所以，解得，（不合题意舍去）.故存在点满足条件，且.【点睛】本题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，面面角一般是定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，也可以建系来做。19.某市食品药品监督管理局开展2019年春季校园餐饮安全检查，对本市的8所中学食堂进行了原料采购加工标准和卫生标准的检查和评分，其评分情况如下表所示：中学编号12345678原料采购加工标准评分x10095938382757066卫生标准评分y8784838281797775（1）已知x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；（精确到0.1）（2）现从8个被检查的中学食堂中任意抽取两个组成一组，若两个中学食堂的原料采购加工标准和卫生标准的评分均超过80分，则组成“对比标兵食堂”，求该组被评为“对比标兵食堂”的概率．参考公式：，；参考数据：，．参考答案：（1）；（2）．（1）由题意得：，，，．故所求的线性回归方程为．（2）从8个中学食堂中任选两个，共有28种结果：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．其中原料采购加工标准的评分和卫生标准的评分均超过80分的有10种结果：，，，，，，，，，，所以该组被评为“对比标兵食堂”的概率为．20.（本小题满分12分） 如图，平面平面ABCD，，点E在线段AD上移动． （Ⅰ）当点E为AD的中点时，求证：EF//平面PBD； （Ⅱ）求证：无论点E在线段AD的何处，总有．参考答案：（Ⅰ）证明：在三角形中，， 所以是的中点，连接，………………2分 在中，点分别是边的中点， 所以

…………………4分 又

所以//平面．……………6分 （Ⅱ）因为平面平面，平面平面,， , 所以平面

……8分 又,所以,又， ,, 所以……10分 又

所以 所以无论点在线段的何处，总有．…………12分21.（本小题满分12分）

是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，．（Ⅰ）求、的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和。参考答案：（Ⅰ）设的公差为，的公比为，则依题意有

且

解得，．

所以，．（Ⅱ）．，①，②②－①得，．22.已知圆E的极坐标方程为ρ=4sinθ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，取相同单位长度（其中（ρ，θ），ρ≥0，θ∈[0，2π）））．（1）直线l过原点，且它的倾斜角α=，求l与圆E的交点A的极坐标（点A不是坐标原点）；（2）直线m过线段OA中点M，且直线m交圆E于B、C两点，求||MB|﹣|MC||的最大值．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由直线l的倾斜角α=，可得直线l的极角θ=，或θ=．代入圆E的极坐标方程即可得出．（2）由（1）可得：线段OA的中点M，可得直角坐标M．又圆E的极坐标方程为ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程，设直线l的参数方向为：（t为参数），代入圆的方程可得关于t的一元二次方程，利用||MB|﹣|MC||=||t1|﹣|t2||=|t1+t2|即可得出．【解答】解：（1）∵直线l的倾斜角α=，∴直线l的极角θ=，或θ=．代入圆E的极坐标方程ρ=