河北省石家庄市鹿泉第五中学2022-2023学年高三数学理联考试题含解析

河北省石家庄市鹿泉第五中学2022-2023学年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知等差数列{an}，a1=50，d=﹣2，Sn=0，则n等于（）A．48 B．49 C．50 D．51参考答案：D【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的求和公式可得，==0，方程可求n【解答】解：由等差数列的求和公式可得，==0整理可得，n2﹣51n=0∴n=51故选D2.已知为互相垂直的单位向量，向量a，b，且a与a+b的夹角为锐角，则实数的取值范围是()A．

B．

C．

D．参考答案：A略3.已知，则

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

A.

B.

C.

D.参考答案：D4.函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则的解析式为

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A5.已知，其中是实数，是虚数单位，则（

）A．3

B．2

C．5

D．参考答案：D考点：复数的概念及运算.6.若为不等式组表示的平面区域,则当从－2连续变化到1时,动直线扫过中的那部分区域的面积为（）A.

B.

C．1

D.5参考答案：B7.一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由三视图的作法规则，长对正，宽相等，对四个选项进行比对，找出错误选项．【解答】解：本题中给出了正视图与左视图，故可以根据正视图与俯视图长对正，左视图与俯视图宽相等来找出正确选项A中的视图满足三视图的作法规则；B中的视图满足三视图的作法规则；C中的视图不满足三视图的作法规则中的宽相等，故其为错误选项；D中的视图满足三视图的作法规则；故选C8.已知，在内是增函数，则p是q的

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A略9.已知函数f（x）=x2﹣2x+1+alnx有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，则实数a的取值范围为(

)A． B． C． D．参考答案：B【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】导数的综合应用．【分析】对f（x）求导数，f′（x）=0有两个不同的正实根x1，x2，由判别式以及根与系数的关系求出a的取值范围．【解答】解：由题意，f（x）=x2﹣2x+1+alnx的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=2x﹣2+=；∵f（x）有两个极值点x1，x2，∴f′（x）=0有两个不同的正实根x1，x2，∵2x2﹣2x+a=0的判别式△=4﹣8a＞0，解得a＜；方程的两根为x1=，x2=；∴x1+x2=1，x1?x2=＞0，∴a＞0；综上，a的取值范围为（0，）．故选：B．【点评】本题考查了利用函数的性质求参数取值，考查转化思想的应用，是容易出错的题目．10.对于任意两个实数a,b定义运算“”如下：则函数的最大值为

(

)A、25B、16C、9

D、4参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知椭圆（）的离心率是，且点在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ)若过点的直线与椭圆交于不同的两点，试求△面积的取值范围（为坐标原点）．参考答案：解：（1）由已知有①，又由，得，从而得②，由①②解得椭圆方程为……

4分（2）当直线的斜率不存在时，直线与椭圆无交点，故可设为……

5分由得得

…………7分设，由韦达定理得………

9分设点O到直线EF的距离为d,则，令，则又，得，又，得……11分当时，取最大值，所以的取值范围为……13分略12.已知：则=_____

_参考答案：6413.圆心在直线上，且与直线相切于点(2,－1)的圆的标准方程为___________.参考答案：(x－1)2＋(y＋2)2＝2【分析】设圆标准方程形式，根据条件列方程组，解得结果.【详解】设,则，解得，所以圆的标准方程为.

14.曲线，直线x=1，x=e和x轴所围成的区域的面积是．参考答案：2e﹣1【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；52：导数的概念及应用．【分析】确定被积区间及被积函数，利用定积分表示面积，即可得到结论．【解答】解：曲线，直线x=1，x=e和x轴所围成的区域的面积S=（+2）dx=（lnx+2x）|=lne+2e﹣ln1﹣2=2e﹣1，故答案为：2e﹣1．15.函数的定义域为_________.参考答案：(0,5]略16.已知函数f（x）=，则f（f（﹣1））=

，|f（x）|的解集为

．参考答案：﹣1，（﹣，）∪（，）．【考点】函数的值．【分析】先求出f（﹣1）=﹣2×（﹣1）﹣1=1，从而f（f（﹣1））=f（1），由此能求出f（f（﹣1））的值．由|f（x）|，得：当﹣1≤x＜0时，|f（x）|=|﹣2x﹣1|＜；当0＜x≤1时，|f（x）|=|﹣2x+1|＜，由此能求出|f（x）|的解集．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（﹣1）=﹣2×（﹣1）﹣1=1，f（f（﹣1））=f（1）=﹣2×1+1=﹣1．∵|f（x）|，∴当﹣1≤x＜0时，|f（x）|=|﹣2x﹣1|＜，解得﹣；当0＜x≤1时，|f（x）|=|﹣2x+1|＜，解得．∴|f（x）|的解集为（﹣，）∪（，）．故答案为：﹣1，（﹣，）∪（，）．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．17.已知为直线的倾斜角，，则_______________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的准线为L，焦点为F，⊙M的圆心在y轴的正半轴上，且与x轴相切，过原点作倾斜角为的直线n，交L于点A，交⊙M于另一点B，且|AO|=|OB|=2（Ⅰ）求⊙M和抛物线C的方程；（Ⅱ）过L上的动点Q作⊙M的切线，切点为S、T，求当坐标原点O到直线ST的距离取得最大值时，四边形QSMT的面积．参考答案：【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】（Ⅰ）画出图形，设准线交y轴于N，在直角三角形ANO中，结合已知条件求出|ON|即p的值，则抛物线方程可求，在三角形MOB中，由三角形为正三角形得到|OM|的值，从而求得圆的方程；（Ⅱ）设出两个切点的坐标，求出两条切线的方程，进一步得到ST所在直线方程，写出原点到ST的距离，分析可知当a=0时即Q在y轴上时原点到ST的距离最大，由此求出ST与MQ的长度，则四边形QSMT的面积可求．【解答】解：（Ⅰ）如图，设准线L交y轴于，在Rt△OAN中，，∴，∴p=2，则抛物线方程是x2=4y；在△OMB中有，∴OM=OB=2，∴⊙M方程是：x2+（y﹣2）2=4；（Ⅱ）设S（x1，y1），T（x2，y2），Q（a，﹣1）∴切线SQ：x1x+（y1﹣2）（y﹣2）=4；切线TQ：x2x+（y2﹣2）（y﹣2）=4，∵SQ和TQ交于Q点，∴ax1﹣3（y1﹣2）=4和ax2﹣3（y2﹣2）=4成立，∴ST方程：ax﹣3y+2=0．∴原点到ST距离，当a=0，即Q在y轴上时d有最大值．此时直线ST方程是．代入x2+（y﹣2）2=4，得．∴．此时四边形QSMT的面积．19.在如图的几何体中，四边形为正方形，四边形为等腰梯形，∥，，，．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．参考答案：（1）证明：因为，在△中，由余弦定理可得．所以．所以．因为，，、平面，所以平面．

-4分（2）由（1）知，平面，平面，所以．因为平面为正方形，所以．因为，所以平面．所以，，两两互相垂直，建立如图的空间直角坐标系．因为是等腰梯形，且，所以．不妨设，则，，，，，略20.(本题满分14分)设等差数列{an}的首项a1为a，公差d＝2，前n项和为Sn．(Ⅰ)若当n=10时，Sn取到最小值，求的取值范围；(Ⅱ)证明：n∈N*,Sn，Sn＋1，Sn＋2不构成等比数列．参考答案：(Ⅰ)解：由题意可知，所以

…………6分(Ⅱ)证明：采用反证法．不失一般性，不妨设对某个m∈N*，Sm，Sm＋1，Sm＋2构成等比数列，即．因此a2＋2ma＋2m(m＋1)＝0，

要使数列{an}的首项a存在，上式中的Δ≥0．然而Δ＝(2m)2－8m(m＋1)＝－4m(2＋m)＜0，矛盾．所以，对任意正整数n，Sn，Sn＋1，Sn＋2都不构成等比数列．

…………14分

21.有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.已知在全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为.(Ⅰ)请完成上面的列联表；(Ⅱ)根据列联表的数据，若按的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”;(Ⅲ)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到6或10号的概率.参考公式:参考数据：参考答案：略22.盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：（1）取到的2只都是次品；（2）取到的2只中正品、次品各一只；（3）取到的2只中至少有一只正品．参考答案：【考点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．【专题】概率与统计．【分析】（1）从6只灯泡中有放回地任取两只，共有=36种不同取法，取到的两只都是次品的情况为=4种，由此能求出取到的2只都是次品的概率．（2）取到的2只中正品、次品各一只有两种可能：①第一次取到正品，第二次取到次品，有4×2种取法；②第一次取到次品，第二次取到正品，有2×4种取法．由此能求出取到的2只中正品、次品各一只的概率．（3）利用对立事件概率公式能求出取到的2只中至少有一只正品的概率．【解答】