上海民办存志中学2022年高三数学理上学期期末试题含解析

上海民办存志中学2022年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在某电视台举行的大型联欢会晚上，需抽调部分观众参加互动，已知全部观众有900人，现需要采用系统抽样方法抽取30人，根据观众的座位号将观众编号为1,2,3，…，900号，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为3，抽到的30人中，编号落入区间的人与主持人一组，编号落入区间的人与支持人一组，其余的人与支持人一组，则抽到的人中，在组的人数为（

）A．12

B．8

C．7

D．6参考答案：D考点：抽样方法中的系统抽样及特征.2.已知复数z1＝1+2i，z2＝l﹣i，则（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】利用复数的除法可得相应的结果.【详解】∵，∴．故选：B．【点睛】本题考查复数的除法，属于基础题.3.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面3节的容积共9升，下面3节的容积共45升，则第五节的容积为（）A．7升 B．8升 C．9升 D．11升参考答案：C【考点】等差数列的通项公式．【分析】设等差数列为{an}，由题意可得：a1+a2+a3=9，a7+a8+a9=45，解出即可得答案．【解答】解：设等差数列为{an}，由题意可得：a1+a2+a3=9，a7+a8+a9=45，∵a1+a9=a2+a8=a3+a7=2a5，∴上述两式相加可得：6a5=54．∴a5=9．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.函数的定义域是(

)A．{x|x＞6} B．{x|﹣3＜x＜6} C．{x|x＞﹣3} D．{x|﹣3≤x＜6}参考答案：D【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．【专题】计算题．【分析】要使函数有意义，必须使函数的每一部分都有意义，函数定义域是各部分定义域的交集．【解答】解：要使函数有意义，x+3≥0，且6﹣x＞0∴|﹣3≤x＜6∴函数的定义域为：{x|﹣3≤x＜6}故答案选D．【点评】函数定义域是各部分定义域的交集．5.已知函数满足条件：对于，存在唯一的，使得.当成立时，则实数(

)A.

B.

C.+3

D.+3.参考答案：D由题设条件对于，存在唯一的，使得知在和上单调，得，且.由有，解之得，故6.已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是(

)A．在[，]上是增函数B．其图象关于直线x=﹣对称C．函数g（x）是奇函数D．当x∈[，π]时，函数g（x）的值域是[﹣2，1]参考答案：D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由两角和的正弦把三角函数化简，结合已知求出周期，进一步得到ω，则三角函数的解析式可求，再由图象平移得到g（x）的解析式，画出其图象，则答案可求．【解答】解：∵f（x）=sinωx+cosωx==，由题意知，则T=π，∴ω=，∴，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得g（x）=f（x+）=2=2cos2x．其图象如图：由图可知，函数在[，]上是减函数，A错误；其图象的对称中心为（），B错误；函数为偶函数，C错误；，，∴当x∈[，π]时，函数g（x）的值域是[﹣2，1]，D正确．故选：D．【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了三角函数的图象和性质，正确画出图象对解决问题起到事半功倍的作用，是中档题．7.某程序框图如图所示，则输出的结果是(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：C8.函数f（x）=ax2+bx+2a﹣b是定义在[a﹣1，2a]上的偶函数，则a+b=（）A．﹣ B． C．0 D．1参考答案：B【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f（﹣x）=f（x），且定义域关于原点对称，a﹣1=﹣2a．【解答】解：∵f（x）=ax2+bx+2a﹣b是定义在[a﹣1，2a]上的偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴b=0，又a﹣1=﹣2a，∴a=，∴a+b=．故选：B．9.已知集合M={},若对于任意,存在,使得成立,则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合:①M={};②M={};③M={};④.其中是“垂直对点集”的序号是 A．①② B．②③ C．①④ D．②④参考答案：D①是以轴为渐近线的双曲线,渐近线的夹角为90°,在同一支上,任意(x1,y1)∈M,不存在(x2,y2)∈M,满足“垂直对点集”的定义;对任意(x1,y1)∈M,在另一支上也不存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,所以不满足“垂直对点集”的定义,不是“垂直对点集”.②,如图在曲线上,两点构成的直角始存在,所以是“垂直对点集”.对于③,如图在曲线上两点构成的直角始存在,例如取M,N,满足“垂直对点集”的定义,所以正确.对于④,如图取点(1,0),曲线上不存在另外的点,使得两点与原点的连线互相垂直,所以不是“垂直对点集”.,故选D．10.（08年全国卷Ⅰ文）已知等比数列满足，则（

）

A．64

B．81

C．128

D．243参考答案：【解析】A因为，所以．，所以．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值

．参考答案：﹣8考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：作出变量x，y满足约束条件所对应的平面区域，采用直线平移的方法，将直线l：平移使它经过区域上顶点A（﹣2，2）时，目标函数达到最小值﹣8解答： 解：变量x，y满足约束条件所对应的平面区域为△ABC如图，化目标函数z=x﹣3y为

将直线l：平移，因为直线l在y轴上的截距为﹣，所以直线l越向上移，直线l在y轴上的截距越大，目标函数z的值就越小，故当直线经过区域上顶点A时，将x=﹣2代入，直线x+2y=2，得y=2，得A（﹣2，2）将A（﹣2，2）代入目标函数，得达到最小值zmin=﹣2﹣3×2=﹣8故答案为：﹣8点评：本题考查了用直线平移法解决简单的线性规划问题，看准直线在y轴上的截距的与目标函数z符号的异同是解决问题的关键．12.一个盒内有大小相同的2个红球和8个白球，现从盒内一个一个地摸取，假设每个球摸到的可能性都相同.若每次摸出后都不放回，当拿到白球后停止摸取，则摸取次数的数学期望是

．参考答案：略13.在球面上有四个点、、、.如果、、两两互相垂直，且,那么这个球的表面积是___

___.参考答案：

14.已知θ为第二象限角，且tan(θ﹣)=3，则sinθ+cosθ=．参考答案：

【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由θ为第二象限角，且，求出sinθ=，cosθ=﹣，即可得出结论．【解答】解：∵，∴=3，∴tanθ=﹣2，∵θ为第二象限角，∴sinθ=，cosθ=﹣，∴sinθ+cosθ=，故答案为：．【点评】本题考查差角的正切公式，考查同角三角函数关系的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．15.函数分别为定义在区间（）上的偶函数和奇函数，且满足则_______参考答案：16.5位同学围成一圈依次循环报数，规定：第一位同学报的数是1，第二位同学报的数也是1，之后每位同学所报的数都是前两位同学报的数之和；若报的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次．已知甲同学第一个报数，

（1）当5位同学依次循环共报20个数时，甲同学拍手的次数为__________；

（2）当甲同学开始第10次拍手时，这5位同学己经循环报数到第________个数．参考答案：（1）1

（2）190略17.设，，是单位向量，且，则向量，的夹角等于

．参考答案：设，的夹角为，因为，所以，即，即，所以，所以，的夹角为或。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分15分）

已知A(1,1)是椭圆（）上一点,F1-，F2是椭圆上的两焦点,且满足

.

(I)求椭圆方程；

(Ⅱ)设C,D是椭圆上任两点,且直线AC,AD的斜率分别为

,若存在常数

使/，求直线CD的斜率.参考答案：（本题满分15分）（1）

所求椭圆方程

。………7分（2）设直线AC的方程：

，由，

得点C，同理

要使

为常数，

+（1-C）=0，得C=1，

………15分略19.）设椭圆D：的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足且AB⊥AF2．

（I）求椭圆D的离心率：

（II）若过A、B、F2三点的圆C恰好与直线l：相切，求圆C方程及椭圆D的方程；

（III）若过点T（3，0）的直线与椭圆D相交于两点M、N，设P为椭圆上一点，且满足

（O为坐标原点），求实数t取值范围．

参考答案：略20.[选修45：不等式选讲](10分）已知函数，（1）当a=2时，求不等式的解集；（2）当时不等式恒成立，求a的取值范围．参考答案：解：（1）①当时，，解得，---------------------------------------------------------------------------------------------1分②当时，，解得，----------------------------------------------------------------------------------------2分③当时，解得，----------------------------------------------------------------------------------------------3分综上知，不等式的解集为.-----------------------------------5分（2）解法1：当时，，---------------6分

设，则，恒成立，只需，-------------------------------------------------------------------------------------8分即，解得----------------------------------------------------------------------10分【解法2：当时，，------------------------------------------------6分，即，即----------------------------------7分①当时，上式恒成立，；-----------------------------------------------------------8分②当时，得恒成立，只需，综上知，．--------------------------------------------------------------------------------10分】

21.如图，四边形与均为菱形，，且．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：∥平面；（Ⅲ）求二面角的余弦值．

参考答案：（Ⅰ）证明：设与相交于点，连结．因为四边形为菱形，所以，且为中点．

………………1分又，所以．

………3分因为，所以平面．

………………4分

（Ⅱ）证明：因为四边形与均为菱形，所以//，//，所以平面//平面．

…………7分

又平面，所以//平面．

………8分

（Ⅲ）解：因为四边形为菱形，且，所以△为等边三角形．因为为中点，所以，故平面．由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．………9分

设．因为四边形为菱形，，则，所以，．所以．

所以，．

设平面的