广西壮族自治区柳州市第四十八中学2022年高三数学理联考试卷含解析

广西壮族自治区柳州市第四十八中学2022年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下面是关于复数的四个命题::,

的共轭复数为

的虚部为其中真命题为(

)A． B． C． D．参考答案：C2.已知集合A=，B=，则A∩CNB=（

）A、B、C、D、参考答案：C略3.函数的定义域为 （）A． B． C．

D．参考答案：B4.已知函数,若且，则的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略5.已知A=,B=,那么A

A∩B=

B

AB

C

BA

D

A=B参考答案：A6.设Sn为等差数列{an}的前n项和，a2=3，S5=25，若{}的前n项和为，则n的值为（）A．504 B．1008 C．1009 D．2017参考答案：D【考点】8E：数列的求和．【分析】先求出等差数列{an}的通项公式，再根据裂项求和即可求出n的值．【解答】解：设等差数列的公差为d，则由题意可得a2=a1+d=3，S5=5a1+d=25，联立解得a1=1，d=2，∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∴==（﹣），∴++…+=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣），∴（1﹣）=，∴1﹣=，∴2n+1=2017，∴n=1008，故选：B【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，以及裂项求和，属于中档题．7.．榫卯（sǔnmǎo）是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式，凸出部分叫做“榫头”．某“榫头”的三视图及其部分尺寸如图所示，则该“榫头”体积等于（）A．12 B．13 C．14 D．15参考答案：C【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，该几何体为一个3×2×3的长方体，去掉四个角（棱长为1的正方体）余下的几何体．【解答】解：如图所示，该几何体为一个3×2×3的长方体，去掉四个角（棱长为1的正方体）余下的几何体．∴该“榫头”体积=3×2×3﹣4×13=14．故选：C．8.（5分）已知a≠0直线ax+（b+2）y+4=0与直线ax+（b﹣2）y﹣3=0互相垂直，则ab的最大值等于（）A．0B．2C．4D．参考答案：B【考点】：直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】：直线与圆．【分析】：当b=2或b=﹣2时，经过检验不满足条件．当b≠±2时，根据两直线方程求出它们的斜率，根据斜率之积等于﹣1求得ab的最大值．解：若b=2，两直线方程为y=﹣x﹣1和x=，此时两直线相交但不垂直．若b=﹣2，两直线方程为x=﹣和y=x﹣，此时两直线相交但不垂直．所以当b≠±2时，两直线方程为y=﹣﹣和y=﹣，此时两直线的斜率分别为﹣、﹣，由﹣（﹣）=﹣1，求得a2+b2=4．因为a2+b2=4≥2ab，所以ab≤2，即ab的最大值等2，当且仅当a=b=时取等号．故选B．【点评】：本题主要考查两条直线垂直的性质，基本不等式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．9.有解的区域是（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：B10.下列给出的四个命题中，说法正确的是（

）A．命题“若，则”的否命题是“若，则”；B．“”是“”的必要不充分条件；C．命题“存在，使得”的否定是“对任意，均有”；D．命题“若，则”的逆否命题为真.参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数在点(1,1)处的切线与曲线相切，则a的值为___________。参考答案：6.【分析】先求出切线方程为，再联立，由得解.【详解】由题意得，，则切线的斜率，则切线方程为，即，联立，得，由得.故答案为：6【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查切线方程的求法，考查直线和曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.＋log3＋log3＝________.

参考答案：13.已知抛物线的焦点为，△的顶点都在抛物线上，且满足，则_______.参考答案：0【知识点】抛物线及其几何性质H7设A、B、C三点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），则

∵，∴△ABC的重心是F，

∵抛物线y2=2px的焦点F的坐标为F（，0），∴y1+y2+y3=0，

∴++==0.【思路点拨】由，可得△ABC的重心是F，从而y1+y2+y3=0，利用斜率公式，即可求得结论．14.过点作直线交抛物线x2=2py（p＞0）于A、B且M为A、B中点，过A、B分别作抛物线切线，两切线交于点N，若N在直线y=﹣2p上，则p=

．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线x2=2py（p＞0），得y′=，设A（x1，y1），B（x2，y2），过点A的切线方程为x1x=p（y+y1），过点B的切线方程为x2x=p（y+y2），由已知得点A，B在直线xx0=p（y0+y）上，由此能求出p的值．【解答】解：由抛物线x2=2py（p＞0），得y′=，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴过点A的切线方程为：y﹣y1=，即x1x=p（y+y1），同理求得过点B的切线方程为：x2x=p（y+y2），设N（x0，y0），∵过A、B分别作抛物线切线，两切线交于点N，∴，∴点A（x1，y1），B（x2，y2）在直线xx0=p（y0+y）上，∵直线AB过定点M（1，2），∴，∵N在直线y=﹣2p上，∴N（0，﹣2），∴p=．故答案为：．【点评】本题考查抛物线中参数p的值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数的几何意义的合理运用．15.某市为加强城市圈的建设，计划对周边如图所示的A、B、C、D、E、F、G、H八个中小城市进行综合规划治理，第一期工程拟从这八个中小城市中选取三个城市，但要求没有任何两个城市相邻，则城市A被选中的概率为

．参考答案：【考点】C7：等可能事件的概率．【分析】把城市A被选中的情况和城市A未被选中的情况都找出来，即可得到城市A被选中的概率．【解答】解：从这八个中小城市中选取三个城市，但要求没有任何两个城市相邻，则城市A被选中的情况有：ACE、ACF、ACG、ACH、ADF、ADG、ADH、AEG、AEH、AFH，共10种．则城市A未被选中的情况有：BDF、BDG、BDH、BEG、BEH、BFH、CEG、CEH、CFH、DFH共10种．故城市A被选中的概率为：=，故答案为：．16.四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1，2，3，4号位子上（如下图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2012次互换座位后，小兔的座位对应的是（

）A．编号1

B．编号2

C．编号3

D．编号4参考答案：C17.下图是根据部分城市某年6月份的平均气温（单位：℃）数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是［20．5，26．5］，样本数据的分组为，，，，，．已知样本中平均气温低于22．5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25．5℃的城市个数为

；参考答案：9三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在△ABC中，B=，BC=2，点D在边AB上，AD=DC，DE⊥AC，E为垂足，（1）若△BCD的面积为，求CD的长；（2）若ED=，求角A的大小．参考答案：【考点】HX：解三角形．【分析】（1）利用三角形的面积公式，求出BD，再用余弦定理求CD；（2）先求CD，在△BCD中，由正弦定理可得，结合∠BDC=2∠A，即可得结论．【解答】解：（1）∵△BCD的面积为，，∴∴BD=在△BCD中，由余弦定理可得==；（2）∵，∴CD=AD==在△BCD中，由正弦定理可得∵∠BDC=2∠A∴∴cosA=，∴A=．19.（本小题满分12分）已知两定点E(-2,0),F(2,0),动点P满足，由点P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M满足，点M的轨迹为C.

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）过点D（0，－2）作直线与曲线C交于A、B两点，点N满足（O为原点），求四边形OANB面积的最大值，并求此时的直线的方程.参考答案：解（Ⅰ）动点P满足,点P的轨迹是以EF为直径的圆，动点P的轨迹方程为

…………2分

设M(x,y)是曲线C上任一点，因为PMx轴，，点P的坐标为（x，2y）

点P在圆上，

，

曲线C的方程是

…………5分（Ⅱ）因为，所以四边形OANB为平行四边形，当直线的斜率不存在时显然不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为y=kx-2，与椭圆交于两点，由得，由，得，即…………8分

…………10分`，，解得,满足,，（当且仅当时“=”成立），当平行四边形OANB面积的最大值为…………11分所求直线的方程为……12分

略20.已知数列{an}是公差不为零的等差数列，数列{bn}是等比数列．（1）若cn=（an+1﹣an）bn（n∈N*），求证：{cn}为等比数列；（2）设cn=anbn（n∈N*），其中an是公差为2的整数项数列，bn=，若c5＞2c4＞4c3＞8c2＞16c1，且当n≥17时，{cn}是递减数列，求数列{an}的通项公式；（3）若数列{cn}使得是等比数列，数列{dn}的前n项和为，且数列{dn}满足：对任意n≥2，n∈N*，或者dn=0恒成立或者存在正常数M，使＜|dn|＜M恒成立，求证：数列{cn}为等差数列．参考答案：【考点】数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．【专题】点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）设等差数列{an}的公差d≠0，等比数列{bn}的公比q≠0，由于cn=（an+1﹣an）bn=dbn，即可证明为非0常数；（2））由于an是公差为2的整数项数列，可得an=a1+2（n﹣1）∈Z．利用cn=anbn（n∈N*），bn=，可得．利用c5＞2c4＞4c3＞8c2＞16c1，可得：．又当n≥17时，{cn}是递减数列，可得cn＞cn+1，得到a1＞26﹣2n，因此a1＞26﹣2×17=﹣8．可得：，又a1∈Z，可得a1=﹣7，﹣6，﹣5．即可得出an．（3））（i）n≥2，当dn=0恒成立时，数列{dn}的前n项和为=0，cn=an，利用数列{an}是公差不为零的等差数列，即可得出结论．（ii）n≥2，dn==．由数列{cn}使得是等比数列，可得=k为常数，（s为非0常数），得到dn=t．由于n≥2，存在正常数M，使＜|dn|＜M恒成立．可得n≥2，存在正常数M，使＜||＜M恒成立，于是存在常数p使得cn=pan，而数列{an}是公差不为零的等差数列，∴此时数列{cn}也是等差数列．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差d≠0，等比数列{bn}的公比q≠0，∵cn=（an+1﹣an）bn=dbn，则==q≠0，因此{cn}为等比数列；（2）∵an是公差为2的整数项数列，∴an=a1+2（n﹣1）∈Z．∵cn=anbn（n∈N*），bn=，∴．∵c5＞2c4＞4c3＞8c2＞16c1，∴由c5＞2c4可得，，解得，同理可得，a1＜﹣，．综上可得：．又当n≥17时，{cn}是递减数列，∴cn＞cn+1，∴，化为a1＞26﹣2n，∴a1＞26﹣2×17=﹣8．综上可得：，又a1∈Z，∴a1=﹣7，﹣6，﹣5．∴an=2n﹣9，或2n﹣8，或2n﹣7．（3）（i）n≥2，当dn=0恒成立时，数列{dn}的前n项和为=0，cn=an，∵数列{an}是公差不为零的等差数列，∴此时数列{cn}也是等差数列．（ii）∵当n≥2时，dn==．∵存在数列{cn}使得是等比数列，∴=k为常数，∴（s为非0常数），∴dn=t．∵n≥2，存在正常数M，使＜|dn|＜M恒成立，∴n≥2，存在正常数M，使＜||＜M恒成立，∴存在常数p使得cn=pan，而数列{an}是公差不为零的等差数列，∴此时数列{cn}也是等差数列．【点评】本题综合考查了等差数列与等比数列的定义、通项公式及其性质，考查了推理能力和计算能力，考查了灵活解决问题的能力，属于难题．21.（本题满分14分）

在数列中，.

（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和

；

（3）设，求不超过的最大整数的值.参考答案：（1）由知得：，即所以数列为首项为1，公差为1的等差数列，……2分

从而

…………………4分（2）……5分所以

……………①

，，……………②由①②，得．所以．

……………9分（3），……11分所以，不超过的最大整数为2013．

………………14分略22.（13分）如表，将数字1，2，3，…，2n（n≥3）全部填入一个2行n列的表格中，每格填一个数字．第一行填入的数字依次为a1，a2，…，an，第二行填入的数字依次为b1，b2，…，bn．记=|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…+|an﹣bn|．a1a2…anb1b2…bn

（Ⅰ）当n=3时，若a1=1，a2=3，a3=5，写出S3的所有可能的取值；（Ⅱ）给定正整数n．试给出a1，a2，…，an的一组取值，使得无论b1，b2，…，bn填写的顺序如何，Sn都只有一个取值，并求出此时Sn的值；（Ⅲ）求证：对于给定的n以及满足条件的所有填法，Sn的所有取值的奇偶性相同．参考答案：【考点】数列与函数的综合．【分析】（Ⅰ）根据新定义计算即可，（Ⅱ）ai=i（i=1，2，…，n），则无论b1，b2，…，bn填写的顺序如何，都有，根据新定义求出即可，（Ⅲ）方法一：交换每一列中两个数的位置，所得的Sn的值不变，不妨设ai＞bi，记，，求出Sn=A﹣B，即可证明，方法二：考虑如下表所示的任意两种不同的填法，①若在两种填法中k都位于同一行，②若在两种填法中k位于不同行，即可证明【解答】解：（Ⅰ）∵a1=1，a2=3，a3=5，∴b1，b2，b3值为2，4，6∴S3=|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+|a3﹣b3|=|1﹣b1|+|3﹣b2|+|5﹣b3|，∴