《大学物理(上册)》课件-第1章

第1章制图基本知识与技能1.1制图的基本规定1.2尺规绘图的工具与使用1.3平面图形画法1.4尺规绘图的方法与步骤 本章小结习题

1.1基本概念

1.1.1参考系所有物体都在不断地运动，绝对静止的物体是不存在的。然而从观察者的角度来看，判断物体的运动与否是相对的。

我们坐在火车上观察行李架上的行李都是静止的，但从地面上看，这些行李是以每小时几十、几百公里的速度在疾驰。因此，要准确描述物体的位置及运动状态，必须先选择一个参照物，选择的参照物不同，对同一物体的运动描述也不相同。这里选择的参照物叫做参考系。在描述物体的运动时，必须指明是相对于什么参考系而言的。例如，我们经常描述物体相对于地面的运动，这时一般选取地面为参考系。地面参考系也称为实验室参考系。

要

定量地描述物体的运动，还需要在参考系的基础上建立坐标系，如常用的直角坐标系、极坐标系等。我们用物体在坐标系中位置参数的变化来描述它的运动状态。

1.1.2质点

运动中的物体上的各个点的运动状态是不完全一致的，并且物体的形状大小及其变化对物体的运动也有一定的影响。但是在某些情况下，这些因素对于我们所要描述的运动的影响可以忽略不计，这时可以把物体看作是一个有质量的点来简化这个物理模型。

例如，研究子弹出膛后的运动时，子弹的实际运动是短距离内向前方的直线运动和绕自身中轴线的旋转，若要计算从出膛到命中目标这一段的时间及速度，则可以忽略子弹的形状及自转，把子弹看作是一个直线运动的质点来处理。

一个物体能否被当做质点，并不取决于它的实际大小，而是取决于研究问题的性质。例如当研究地球绕太阳的公转时可以将地球看作质点来处理，而研究地球的自转时，就不能把地球当做质点。

1.2质点运动学方程

1.2.1位置矢量若我们要描述飞机的运动，首先选择地面为参考系，并把飞机视为质点，记为P。为了定量的描述飞机的位置及位置随时间的变化关系，在地面任选一点为参考点O并建立直角坐标系，如图1.1所示。图1.1

P点的位置矢量

由参考点O引向质点P所在位置的矢量称为质点的位置矢量(简称为位矢)，用表示。r在直角坐标系Oxyz中的正交分解形式为：

(1-1)

其中x、y和z分别为r在坐标轴上的坐标，i、j和k分别为沿Ox轴、Oy轴和Oz轴上的单位矢量。矢量r的大小为

位置矢量r的方向余弦为：

且。其中分别为位置矢量r与Ox轴、Oy轴和Oz轴的夹角。

1.2.2运动学方程

在质点运动的任意时刻，都有一位置矢量与之对应，在任意时刻t，质点P的位置矢量用函数r(t)表示，记为.

此式称为质点的运动学方程。它在直角坐标系中的正交分解形式为

x(t)、y(t)和z(t)分别为r(t)在Ox、Oy和Oz轴上的投影。

运动学的重要任务之一，就是找出各种具体运动所遵循的运动方程，也可以说知道运动方程，就可以解决该质点的运动问题。

质点运动时所描绘出的轨迹(即位置矢量的矢端所画出的曲线)的轨迹方程可由在x(t)、

y(t

)和z(t)函数中消去参数t求得。

设一个质点的运动方程为可知这个质点是在Oxy平面内运动，从

，中消去t得

此即质点的轨迹方程。

1.2.3位移

设质点沿如图1.2所示的轨迹运行，在t时刻位于A点，位置矢量为r(t)，在时刻位于B点，位置矢量为。我们用这两个矢量之差

来表示质点在时间⊿t内位置的变化，并把矢量⊿r称为质点在这段时间内的位移。

位移⊿r在直角坐标系下的分解形式可写为

两式相减得：

此式表明位移可由位置坐标的增量决定。

图1.2位移矢量

图1.3平均速度

平均速度粗略地描述了质点在一段时间内位置总变动的方向和平均快慢，近似程度与所取时间间隔有关。显然，⊿t越小，近似程度就越好。我们定义当⊿t→0时，平均速度的极限值称为质点在t时刻的瞬时速度(简称速度)，用v表示，即

上式表明质点的瞬时速度等于位置矢量对时间的变化率或一阶导数。在国际单位制中，速度单位为。瞬时速度是一个矢量，它的方向沿轨迹曲线在质点所在处的切线并指向质点前进的方向，其大小被称为瞬时速率。

速度v在直角坐标系Oxyz下的正交分解形式可写为

其中

即瞬时速度矢量的投影等于位置坐标对时间的一阶导数。

瞬时速度的大小和方向余弦可表示为

瞬时速度和瞬时速率都与一定的时刻对应，很难直接测量。在实验中一般用很短时间内的平均速度近似地表示瞬时速度，随着技术的进步，现在瞬时速度的测量已经能够达到很高的精度。

【例1.1】一个质点在x轴上作直线运动，运动方程为x=2t3+4t2+8，式中x的单位为米，t的单位为秒，求：①任意时刻的速度；②在t=2s和t=3s时刻，物体的位置和速度；③在t=2s到t=3s时间内，物体的平均速度。

【解】①由速度的定义式，可求得

②t=2s时

t=3s时

③

【例1.2】如图1.4所示，A、B两物体由一长为l的刚性细杆相连，A、B两物体可在光滑轨道上滑行。如物体A以恒定的速率v向左滑行，当时，物体B的速率为多少？

【解】建立坐标系如图1.4所示，物体A的速度为

物体B的速度为

由于OAB为一直角三角形，刚性细杆的长度l为一常量，则有

由于x，y是时间的函数，则两边求导可得

图1.4例1.2图

图1.5曲线运动的加速度

其中

在国际单位制中，加速度的单位为。加速度是矢量，它的大小为。加速度的方向为⊿t→0

时，速度增量⊿v的极限方向。加速度的方向一般不与同一时刻速度的方向一致，而是指向质点轨迹曲线凹的一边。

【例1.3】设某质点沿x轴运动，在t=0时的速度为v0，其加速度与速度的大小成正比而方向相反，比例系数为k(k>0)，试求速度随时间变化的关系式。

【解】由题意及加速度的定义式，可知

因而速度的方向保持不变，但速度的大小随时间增大而减小，直到速度等于零为止。

1.3圆周运动

1.3.1平面极坐标系

θ在描述质点的平面运动时，可在该平面建立极坐标系，如图1.6所示。在参考系内取点O，引有刻度的射线Ox作为极轴，即可构成极坐标系。对于坐标系内的点A，由O点引线段OA，长度为r，称r为质点的矢径。由极轴Ox逆时针旋转至OA的角度θ叫做质点的幅角，通常规定自极轴逆时针旋转至位置矢量的幅角为正，反之为负。

则A点的位置可由坐标确定，这种坐标系称为平面极坐标系。质点A在平面直角坐标系中的坐标(x,y)与在平面极坐标系中的坐标(r,

θ)之间的关系为：

1.3.2圆周运动的速度

一质点在Oxy平面内做圆周运动，如图1.7所示，它和圆心的距离r为常数。如果以圆心为参考点O建立平面极坐标系，无论质点运动到何处，它的坐标(r,

θ)中的r始终为常数，故我们只需考虑角坐标θ的变化，即只需考虑角坐标函数θ(t)

的变化。

图1.7在平面上作圆周运动的点位置矢量

1.3.3圆周运动的加速度

如图1.8所示，设质点在圆周上运动到A点时的速度为v

，方向为沿A点的切线指向质点的运动方向。在A点沿切线方向取单位矢量τ来表示速度的方向，则质点在A点处的速度可表示为

单位矢量τ被称为切向单位矢量，它是自然坐标系下的单位矢量，它的长度为1，方向为质点运动曲线的切线方向。τ的方向随质点在轨迹上的位置不同而变化，因此，它一般不是一个恒矢量。

质点作圆周运动时，它的运动方向是不断变化的，而速率v也不是一个恒定值，对于加速度α有

可以看出加速度矢量α有两个分矢量。先来讨论第一项

它是由速率的变化引起的，方向为τ，即和速度的方向相同。定义为质点的切向加速度，用来描述质点速率的变化。

定义角速度随时间的变化率为角加速度，用α表示。则有

角加速度的单位为。

此式即为作圆周运动物体的角加速度和切向加速度之间的关系。

我们再来讨论式(1-12)第二项中的，即切向单位矢量τ随时间的变化率。如图1.9所示，质点在t到t+⊿t的时间间隔内，由A点运动到B点，在⊿t的时间间隔内，的增量为⊿τ=τ(t+⊿t)-τ(t)

。图1.9中τ(t+⊿t)与τ(t)的夹角⊿θ等于在⊿t的时间间隔内质点的位置矢量r所转过的角度。在⊿θ→0

时，有

图1.9切向单位矢量随时间的变化率

这个加速度分量的方向沿圆周的法向方向，故叫做法向加速度，用符号ɑn表示。即

．

由和,可得作圆周运动质点的加速度为：

其中切向加速度

ɑτ反映质点速度大小变化的快慢，法向加速度ɑn反映速度方向变化的快慢。

根据矢量的加法法则，由图1.10可知，ɑ的大小和方向分别为

根据圆周运动加速度的讨论所得出的结果，对于一般的曲线运动仍然适用，只需把曲线微元看成一段圆弧，从而用曲率半径代替圆的半径来处理即可。

1.3.4匀速率圆周运动和匀变速率圆周运动

1.匀速率圆周运动

质点作圆周运动时，如果在任意相等的时间内通过相等的圆弧长度，则这种运动称为匀速率圆周运动。此时，质点的速率v为常量，方向沿该点的切线方向。其切向加速度ɑτ

=0，法向加速度

设t=0时，θ=

θ0，可得质点作匀速率圆周运动时的运动规律为：

2.匀变速率圆周运动

质点作匀变速率圆周运动时，其角加速度α=常量，故圆周上某点的切向加速度的值为常量，而法向加速度的值为，但不为常量。于是匀变速率圆周运动的加速度为

设t=0时，θ=

θ0，ω=

ω0，可得质点作匀变速率圆周运动时的运动规律为：

图1.11例1.4图

1.4相对运动

前面提到，运动的描述是相对的，在不同的参考系中，对于同一质点运动的描述是不同的。例如在一辆沿直线轨道匀速行驶的火车中垂直向上抛起一个小球，火车上的观察者看到小球垂直上升并垂直下落，而位于地面的观察者却看到小球的轨迹为一抛物线。下面我们就来研究不同参考系对于同一质点运动的描述之间的关系。

如图1.12所示，设观察者A在地面上，以地面为参考系S建立坐标系Oxy，另一观察者位于运动的列车上，以列车为参考系S‘建立坐标系O’x‘y’，O‘点在Oxy中以速度u作匀速直线运动。在t=0时刻，坐标系Oxy与坐标系O'x'y'重合。

图1.12相对运动

从图1.12中可以看出：

上式对时间求导可得：

即

【例1.5】轮船驾驶舱中的罗盘指示船头指向正北，船速计指出船速为20km/h。若水流向正东、流速为5km/h，问船对地的速度是多少？驾驶员需将船头指向何方才能使船向正北航行？

【解】如图1.13所示，以正东为x方向，正北为y方向建立坐标系。

图1.13例1.15图1

若要船对地的速度指向正北，则如图1.14所示

其方向为北偏西θ′角

本章小结

本章重点是掌握位矢、位移、速度、加速度等物理量，并借助于各种坐标系计算各量。本章难点是运动学中各物理量的矢量性和相对性，以及将数学的微积分和矢量运算方法应用于物理学。

1.质点的位矢、位移

在直角坐标系中

质点的运动方程——描述质点运动的空间位置与时间的关系式

注意位移⊿r和路程⊿s的区别，一般情况下

2.速度和加速度

在直角坐标系中

3.圆周运动

4.相对运动

习题

一、思考题

1-1有人说:“分子很小，可以将其当成质点；地球很大，不能当成质点。”对吗？

1-2质点位置矢量方向不变，质点是否作直线运动？质点沿直线运动，其位置矢量是否一定方向不变？

1-3

若质点的速度矢量的方向不变仅大小改变，质点作何种运动？速度矢量的大小不变而方向改变作何种运动？

1-4“瞬时速度就是很短时间内的平均速度”这一说法是否正确？如何正确表述瞬时速度？我们是否能按照瞬时速度的定义通过实验测量瞬时速度？

1-5

如果一质点的加速度与时间的关系是线性的，那么，该质点的速度和位矢与时间的关系是否也是线性的呢？

1-8一质点作匀速率圆周运动，取其圆心为坐标原点，试问：质点的位矢与速度,位矢与加速度，速度与加速度的方向之间有何关系？

1-9

如果有两个质点分别以初速v10和v20抛出，v10和v20在同一平面内且与水平面的夹角分别为θ10和θ2。有人说，在任意时刻，两质点的相对速度是一常量，你说对吗?

二、选择题

1-10一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表达式为r=at2i+bt2j(其中a、b为常量)，则该质点作()。

A、匀速直线运动 B、变速直线运动

C、抛物线运动 D、一般曲线运动

1-11一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度为v=2m/s,瞬时加速度为a=-2m/s2,则一秒钟后质点的速度(

)。

A、等于零 B、等于-2m/s

C、等于2m/s

D、不能确定

．

1-15做直线运动的质点具有的性质是()。

A、位置矢量方向不变 B、法向加速度为0

C、加速度减小时，速度也减小

D、平均速度恒等于初速和末速的平均值

1-16乘坐在正以加速度a做匀加速上升的电梯里的人，不慎从手中落下一个重物，以竖直向下为正方向，则地面观察者看到重物落到地板前的加速度是(

)。

A、g

B、-g

C、g+a

D、g-a

1-17若湖中有一小船，岸边有一人用绳子跨过一定滑轮用恒定的速率v拉船靠岸，如图1.15所示，则(

)。

A、船速大于v

B、船速小于v

C、船作匀速运动

D、从定滑轮到船头的这段绳上各点速率均相等

图1.15题1-17图

三、计算题

1-18

质点的运动学方程为

①

②

求质点轨迹并用图表示。

图1.16题1-20图

1-21一小圆柱体沿抛物线轨道运动，如图1.17所示。抛物线轨道为(长度：mm)，第一次观察到圆柱体在x=249mm处，经过时间2ms后圆柱体移到x=234mm处。求圆柱体瞬时速度的近似值。

图1.17题1-21图

1-22已知质点沿x轴作直线运动，其运动方程为x=2+6t2-2t3，式中x的单位为m，t的单位为s。求：(1)质点在运动开始后4.0s内的位移大小；(2)质点在该时间内所通过的路程；(3)

t=4s时质点的速度和加速度。

1-23质点沿直线运动，加速度a=4-t2,式中a的单位为m·s2

，t的单位为s。如果当t=3s时x=9m，v=2

m·s-1，求质点的运动方程。

1-26一质点P沿半径R=3.0m的圆周作匀速率运动，运动一周所需要的时间为20.0s，设t=0时，质点位于O点。按图中所示Oxy坐标系，求：(1)质点P在任意时刻的位矢；(2)5s时的速度和加速度。

图1.18题1-26图

1-27在水平桌面上放置A、B两物体，用一根不可伸长的绳索按图1.19所示的装置把它们联结起来，C点与桌面固定。已知物体A的加速度。求物体B的加速度。

图1.19题1-27图

1-28在同一铅直线上相隔h的两点以同样速率v0向上抛两枚石子，但在高处的石子早t0秒被抛出，求这两枚石子何时何处相遇？

1-29一质点沿半径为R的圆周按规律而运动，

v0，b都是常量。(1)求t时刻质点的总加速度；(2)

t为何值时总加速度在数值上等于？(3)当加速度达到时，质点已沿圆周运动了多少圈？

1-30在同一竖直面内的同一水平线上A、B两点，分别以30º、60º为发射角同时抛出两球，如图1.20所示，欲使两小球相遇时都在自己的轨道的最高点，求A、B两点间的距离。已知小球在A点的发射速度vA=9.8m/s。

图1.20题1-30图

1-31迫击炮的发射角为60°，发射速率为150m/s，炮弹击中倾角为30°的山坡上的目标，发射点正在山脚，如图1.21所示，求弹着点到发射点的距离OA。

图1.21题1-31图

1-32列车在圆弧形轨道上自东转向北行驶，如图1.22所示。在我们所