信号与系统课后习题整理及知识点提要

第1章

一、信号的定义与分类

1.定义

信号是带有信息(如语言、音乐、图像、数据等)的随时间(和空间)变化的物理量或物

理现象，其随时间/变化的图像称为信号的波形。

2.典型的连续时间信号表达式及特性

(1)指数信号

/⑺二Ke"式中a是实数

指数信号的一个重要特性是它对时间的微分和积分仍然是指数形式。

<2)正弦信号

/(/)=Ksin(ay+0)

式中K为振幅.3是角频率.。称为初相位。

正弦信号对时间的积分与微分仍为同频率的正弦信号。

(3)复指数信号

/(t)=Kc1/其中s="+讪。

实际上不能产生复指数信号，但可以利用它来描述各种基本信号，使许多运算和

分析得以简化。

(4)Sa(/)信号(抽样信号)Sa(/)=詈

Sa(,)信号具有以下性质：

fSa(/)d/=4

[Sa(z)d/=re

(5)钟形信号(高斯函数)

7

/(/)=Ec0

函数式中的参数r是当/(，)由最大值E下降为0.71E时，所占据的时间宽度。

3.信号的传输与处理过程进行的信号运算包括：

信号的移位、反褶、尺度倍乘、微分、积分以及两信号的相加或相乘。

4.本身有不连续点或其导数与积分有不连续点的函数称为奇异函数或奇异信号。

,0(/<0)

(1)单位斜变信号f(t)=,、、

)/(/20)

,0(I<0)

(2)单位阶跃信号«(/)=

11(z>0)

在跳变点I=0处.函数值未定义.或在I=0处规定函数值M(0)=J

[[8(/)山=1

（3）单位冲激信号

]合(1)=0(当/W0)

二、主要公式

1.正弦信号/(Z)=Ksin(oV+。)

2.复指数信号/(/)=Ke-5=。+

3.抽样函数Sa(/)=手

(0Z<0

4.单位斜变信号/(/)=、

\t/>。

0I<0

5.单位阶跃信号〃(/)

1/>0

1I/W5

6.门函数gr(D=Y

0t|>Y

(—1/0

7.符号函数sgn/=

|1I>0

8.Sa(/)dz=7t

J-8

9.〃(/)-今Rd)

10.sgn(z)=2w(/)—1

三、系统的定义、分类及特性

1.系统的定义

在电子与通信领域.系统通常是指由若干元件或大量相互联系的部件组成并具有特

定功能的整体。

2.系统的分类

从不同角度•可以将系统进行分类•如连续时间系统与离散时间系统•即时系统和动

态系统.无源系统和有源系统.集总参数系统和分布参数系统.线性系统与非线性系

统•时变系统与时不变系统等。

3.系统的特性

当输入为，(/),输出为r(/)时，表示为fr(/)

线性系统满足：当-n(z)和et(l)fr,(Z)时，瓦的(八+苞七(2)f3n(/)4

儿心⑺，其中瓦，上为任意常数。

时不变系统满足：">/o)―一.其中，0为任意常数.如r(/)=a,(/)。

因果系统满足：系统在任何时刻的输出仅取决于输入的现在与过去值•向与输入的

将来值无关，如r(n=4-2)。

稳定系统满足：系统输入有界•其输出也是有界的•如«)=，(/屋

◎1.5判别下列各序列是否为周期性的。如果是，确定其周期。

(1)/1(k)=cos(也£)

(2)f2(k)=cos(牛4+千)+cos(-^-归+号)

⑶£(2)=sin(J,

(4)九(为)=产

(5)人(，)=3cosZ+2sin(7tZ)

(6)/6(/)=cos(7t/)e(/)

分析本题从函数周期的定义入手较简单。

解⑴力1)=85(咛6)

设周期为T.T为正整数•则应有争一传&+"T）=2KN这里N为一整数.

上式等价于学T=-2“N

或写为率T=2nN①

0

同时.T应当取满足①式的最小正整数.

可见T=10

该序列是周期的，周期为10。

⑵该序列的周期应为cos（争+：）和cos（尹+卷）的最小公倍数

cos什依+乎）的周期为8.cos信A+前的周期为6

，该序列的周期为24。

（3）人（6）=sin'是非周期的,原因在于若存在周期T.则有:Q+T）=

2KN左式为有理数,右式为无理数,不等，是非周期的。

⑷九⑷=e中是周期的.周期为6.方法与（D相同。

（5）该序列不是周期的。cos，的周期为2k.sin（K/）的周期为2.若序列周期为丁.则

T是2的整数倍,也是27r的整数倍,这不成立.，不是周期的。

（6）该序列不是周期的，在数轴上，零点左右该函数波形明显不同。

1-6已知信号/⑹的波形如图1-5所示，画出下列各函数的波形。

一

一202f

国1-5

#（£）

⑴（5）/（1-2。⑺^dT

分析对于含有平移，反转•尺度变换三种变换方式的信号变换，一般采用先平移后反

转.最后进行尺度变换的步骤进行.这样很容易得出正确的变换结果.最后再结

合e（f）或其经过变换后的信号•可得到正确的波形。

解：各信号波形为

（1）/。一1）£«）

O13

(a)

(5)“1—2。

(e)

df{t}

⑺dt

<R>

©1.10计算下列各题。

(1)[cost+sin(2f}(2)(1-/)《[e-S(八]

(4)J__e-2，Cy(z)+Mz)]dz

(3)fsin(7t/)^(/)d/

J-50t

(5)[+sin(半)]3(t+2)d/(6)f(产+2)水卷)d/

J—4

(7)f(r3+2z2-2/+l)y(z-Ddr(8)p(1-j-)y(x)dj-

J-©aJ-

分析运算过程中如果遇到含有冲激函数与普通函数相乘的情况时.首先利用公式对此

部分处理,以简化运算。

解(1)$■{[cosf+sin())

=[{1一sinf+2cos(2/)]e(/)+[cosZ+sin(2z)]^(z)}

=京{[—sin/+2cos(2f)[£(7)+3(f))

=[—cost—4sin(2z)]e(/)+[sin/+2cos(2z)]3(1)+T(Z)

=[—cost—4sin(2/)]e(z)+28(t)+，(％)

(2)(1

t)dz

首先求=e-8C)+e—上'1)

at

=—3⑴+"(/)+3⑺

=Xd)

这里注意e-。出'(甲=一(力+协3

则(1一/)=(1—/)，(/)

at

=y(z)一步‘*)="&)+合&)

这里注意凶⑺=一6⑺

（）

(3)涧皿与/d/

-8

=lim绅(位)=Hm兀7r/)(洛毕达法则)=7T

/-*0t/-*01

(4)「e-2，Ey(Z)+5(Z)]d/

J-OO

.03

0-2为'(/)+e-2^(/)]d/=[S'(Q+23C)I(5(/)]dz

-g-TO

y(Z)d/+35(z)dz=3

8«-X

(5)\_t~+sin(芈)]S(Z+2)dz=\_t2+sin(¥)[=3

-oo44

・xt1

(6)+2)b(!)df=+2)=4

J—8Z11=0

T

(7)[(/+2/2/+l)y(zl)df

J—2

-(-+2/—27+1)'=-(3/2+4Z-2)=-5

«=1/=1

(8)「(1-z)，(1)clr

J-oo

[y(j?)—(—l)S(z)]cLr=y(j?)dj；+8(z)cLr

-8J~03

=S(t)+£(/)

◎1.12如图1—18所示的电路，写出

（1）以"cd）为响应的微分方程；

（2）以iL（t）为响应的微分方程。

分析找出电路中各元件的端电流和端电压之间的关系.再利用KVL或KCL写出各元

件彼此之间的关系.选定某一参量为响应,消去其余中间参量即可得到描述系统

的微分方程。

解由KVL可得〃s“）=〃L（Z）+〃「（，）

由KCL可得五⑺=，R（/）+M（/）

各元件端电流和端电压的关系为

（t）=LL（t），UR（t）—R'R（/）.£（、（t）=C，〃（、（£）

（1）选定〃,（/）为响应,联立以上各式消去其余中间参量得

IX?（/）r*U0（7）IU（-（/）=〃s（/）

稍加整理得以Uc（t）为响应的微分方程

KL1ALA

（2）选定以为响应，联立各式消去其余中间参量可得

LC*"（八+|幼⑺+五⑺=C%.）+嬴⑴

稍加整理得以iL（t）为响应的微分方程

；'L（/）+L（t）-yyTiL（/）='s（/）十nr（^uS（?）

2/1-1>1\1

•1.21图1—24是一个简单的声学系统模型。

（1）声音信号/（”在传播途中遇到障碍物将产生［可音。设I可音信号较原信号衰减

a倍（a<1）且迟延T秒。于是在某处听到的声音信号y（/）的模型如图1

24（a）所示（图中T为延时T秒的迟延器）。写出>（/）的表示式。

（2）为消除同音，需构造一个消回音系统［如图（b）］,写出其输出z（t）的表示式,

并证明z（t）=fS

分析信号/（，）经过迟延器后变为/（，7）•则系统的输出为各框图加法器输入信号

之和。证明2（，）="八，只要证明/（/）-z（/）=0即可。

解(1)迟延器的输出为了(，丁)，则系统输出为

y(t')—/(/)—〃/(1—T)

(2)迟延器的输出为z(r—T),则系统的输出为

z(/)——yCt)一az(t—T)

也即

j»(Z)==z(Z)-az(.t—T)

由以上两个结果可得

f(t)+af(t—T)——z(Z)—az(t—T)

整理得

"(/)一T)—z(—T)]=0

此方程的解为J，tT)z(tT)=-fl[/(/)-z(Z)^

若WO则有/f—8时—的振幅趋于无穷大,

不符合物理意义,因此必有/(/)-z(/)=0

即/(Z)=2(z)

证毕。

©1.22图125所示的电阻梯形网络中,各串臂电阻均为R,各并臂电阻均为“R(a为常

数)。将各结点依次编号.其序号以々=0.1，2.….N).相应结点电压为“(4)(显然

有«(0)=MS.U(N)=0.它们是边界条件).试列出关于“(A)的差分方程。

分析选取电压为“(AD的结点利用基尔霍夫电流定律(KCL).列写方程求解。

解选取结点电压为1)的结点•由基尔霍夫电流定律(KCL)可得

u(k—2)—u(k—1).u(.kt—u(.k-1)_u(k—1)

~Rup=—次—

稍加整理即可得到“Q)的差分方程

u(k)—(2H--—)M(jt—1)+“(4-2)=0

a

◎1.24下列微分或差分方程所描述的系统.是线性的还是非线性的？是时变的还是时不

变的？

(2)»'(/)+sin£y(Z)=/(/)

(4)yQ)+(为一Dy(4-1)=f(k)

分析微分(或差分)方程是线性方程.则描述的系统为线性系统；微分(或差分)方程的

系数为时间的函数.则描述的是时变系统,若为常数则为时不变系统。

(2)令y()==T[/2(Z)]

则有y'i(，)一sin/”(/)=fi(,t),y2(i)+sin/j>2(/)=f2(t)

两式相加可得

[四(?)十.(/)1'+sin/[yi(?)+山(，)]=力(Z)十八(？)

即

"(?)+“(，)=7[/(/)+力”)]

则系统满足可加性。

乂系统显然满足齐次性，可知系统为线性系统。

微分方程系数为时间的函数，则系统为时变系统。

(4)方程是变系数线性差分方程,则系统为线性时变系统。

◎1.25设激励为/(•).下列是各系统的零状态响应川(•兀判断各系统是否线性的、时

不变的、因果的、稳定的？

⑴“力=能/

,dZ

(3)yzs(?)=/())COS(2TTI)

(5).凌)=fCk)f(k-l)

k

⑺%⑷=Zf«)

j=0

分析按照各个判定规则依次对系统进行判断即可。

解(1)系统满足齐次线性和可加性，则系统为线性系统。

»zs(/—Zd)=]/(/—Zd)，系统为时不变系统。

at

当z</«时，/(，)=0.则此时有y“(/)=Q⑺=0,则系统为因果系统。

当/(/)=€(/)时,％(/)=3(/)"=0时.6(/)f8.则系统为不稳定系统。

（3）系统满足齐次和可加性,则系统为线性系统。

ya（.t—/<））=f（,t—ti）cos[2“（f—力）[Wf（,t—tA）cos（2TT/）

则系统为时变系统。

当，VA）时./⑺=0,则此时有=/（/）COS（2K/）=0,则系统为因果系

统。若/⑺<8.有I%.（/）=f（/）cos（2"，）|<8,则系统为稳定系统。

（5）系统不满足可加性,则系统为非线性系统。

T[{0}./a-和）]=/〃一4）/4一七-1）=%a—Q）,则系统为时不变系

统。

若AVK时,/1）=0,则此时以（Q=0,则系统为因果系统。

若/（为）|<8,则%（Q；=|/a）/a1）1<8则系统为稳定系统。

（7）系统满足齐次线性和可加性,系统为线性系统。

*i

T\_w.j\kk）/X/（j）=%（々一3）•则系统为时变系

尸0>-0

统。

k

若AVM时，/（&）=0,则此时有%Q）=Zf（j）=0.则系统为因果系统。

j0

k

若f（.k）=式h）则y^k）=\/（j）=（4+l）e（A）,则当k+8时，

尸。

Iy„（k）I—8,则系统为不稳定系统。

©1.27某LTI连续系统,其初始状态一定.已知当激励为/（Z）时.其全响应

y1（/）=<?-'+cos（浦）“20

若初始状态不变.激励为2/（八时.其全响应

=2cos（k/）“）0

求初始状态不变.而激励为3/（/）时系统的全响应。

分析首先利用LTI连续系统的特性分别求出系统的零输入响应和零状态响应.再根

据系统的齐次性求出不同的激励时系统的全响应。

解设初始状态下系统的零输入响应为》（，）.激励为/（，）时.系统的零状态响应为

〃♦）.则由系统的可分解特性可得

y,（/）+y,（7）=5'-cos（n/）0①

根据LTI系统的齐次性，有

2)/(才)=T[2/G)],3yf(f)=

则当初始状态不变，激励为2/(/)时.系统的全部响应为

必(？)一2"(t)=2cos(冗力工》0

联立①②两式解得

山⑺=2e-/

yt(t}=-e~'+cos(7T£)"》0

则初始状态不变，激励为3/a)时系统的全响应为

-3+3〃⑴=—e+3cos(冗/),£20

即

»3(，)=-e-/+3cos(TV/),£20

◎1.29某二阶LT】连续系统的初始状态为可(0)和必(0).已知当©(0)=l.x2(0)=0

时,其零输入响应为

>,,(/)=e_,+e-2*./>0

当x,(0)=O.Xj(O)=1时,其零输入响应为

>,2(/)=e-'-e-z'”20

当x,(0)=l.xj(O)=-1时,而输入为/(/)时.其全响应

y(t)=2+e*,z>0

求当X|(0)=3.j-..(0)——2.输入为2/(，)时的全响应。

分析利用零输入响应的齐次性和可加性和零状态响应的齐次性和可加性以及系统的

可分解特性求解。

解利用零输入响应的齐次性和可加性.由已知可得当初始状态为©(0)=l,q(O)

=1时.系统的零输入响应为

%(，)=(/)——?(/)=2e~2'.t>0

由系统的可加性可知,输入为/X，)时.系统的零状态响应为

yf(.t)=»(，)一%(八=2+e-'>0

则可得当工i(O)=3,X2(0>=2.输入为2fit)时.系统的全响应为

=3ylj(7)+2yl2(t)+2”(，)=4+7e~'—35"“》0

第2章

内容提要

一、基本定义

1.对于复杂系统•设激励信号为“，），系统响应为「（/）•则可以用一高阶的微分方程

表示

Gjrr（/）+C,dr~rr（/）+........+C"'^-（/）+C„r（/）=E„张。（，）+耳

1+Em।i）（Z）4E,„e（/）

d/

2.整个系统的全响应由自由响应n,（/）和强迫响应彳（/）两部分组成。

自由响应外（，）由系统自身特性决定，微分方程的齐次解决定了自由响应的全部形

式：强迫响应r„（Z）只与外加激励函数的形式有关。

3.系统在激励信号加入前瞬间的一组状态称为系统的起始状态（简称0状态）.它包含

了计算未来响应的全部••过去”信息。

4.没有外加激励信号作用，只有起始状态所产生的响应称为零输入响应，它是齐次解中

的一部分。

不考虑起始时刻系统储能的作用.由系统的外加激励信号所产生的响应称为零状态

响应.它由自由响应的一部分及强迫响应构成。

5.对系统响应的另一种分解是瞬态响应和稳态响应。当/->e时,响应趋于零的那部分

响应分量称为瞬态响应;//8时•保留下来的那部分响应分量称为稳态响应。

6.系统在单位冲激信号8"）的激励下产生的零状态响应称为冲激响应/系统在单

位阶跃信号«（/）的激励下产牛的零状态响应称为阶跃响应gS

二、系统的状态

系统的起始状态y（G））、…、/"'（/"）

系统的初始值y（/）、.y'（以）、…、了'"'（好）

三、系统的响应

系统的输入一输出关系：

<>,<><1

y"+an-i3<Z|）+a0

二，"”（/）+〃+••”（，）+几

响应：.y（/）=齐次解（自由响应）十特解（强迫响应）

=零状态响应+零输入响应

四、冲激函数

邛/)=0/H0

1.3（/）定义：Jfc

]I3(/)山=1

2.性质：/(/)・8(/)=/(0)・〉(/)

/(/)•，(/)=/(0)・^(z)-/(0)•Mt)

3.抽样性：=/(z)

J—000

r/(/)y(/-z)dz=-/(z)

4.二次冲激：00

J-8

5.奇偶性:8(一/)—S(t)

=-，⑺

6.尺度变换：

S（at）=JMt),Mat-b)=」一》(/-->

IuIaIa

五、卷积积分

1.定义

/i(/)*.A(/)=ft(r)fz(Z—r)t/r

2.性质

（1）交换律：

/((/)*/,(/)=/,(/)*/J/)

（2）分配律:

*［人（/）+人（/门=/>（/）*A（z）+/1</）*△（/）

（3）结合律：

U\(/)*/2(Z)J*f式t)=J\(t)*C/2(Z)*/s(Z)]

（4）积分性质

I'Cfi(r)*/2(r)]dr=*P/2(r)dr

JOOJ-OQ

=/2（，）*,fi(r)dr

一3

(5)微分性质:

和()*/«)1=/(，)*当卢=力(/)*丝产

(6)微分积分性质：

dftCt)「，，、」「，,、」df,(/)

,*/?(r)dr=/!(r)dr*,

Cl/J—8J—OQ<1/

=力⑺*/2(z)

(7)任意时间函数/(/)与Mt)的卷积:

/(/)*8(/)=fCt)

/(/—r)*S(t-T2)=fit-T.-T2)

8(.t—T|)*S(i—T2)=8(1—Ti—T2)

(8)任意时间函数f(/)与£(/)的卷积：

/(/)*e(Z)=P/(r)dr

J'CQ

/(/)*€(/—/«)=[/(r—Zo)Hr=f'/(r)dr

J-8J-8

(9)任意时间函数八八与£(%)的卷积:

/(/)*y(/)=/(/)*》(，)=/(/)

/(/)—)=尸(力

/(/)*/a—七)=.尸"a—八)

©2.4已知描述系统的微分方程和初始状态如下•试求其零输入响应、零状态响应和完全

响应。

(2)y〃a)+4，a)+4)(，)=/'(£)+3/a),

y(0一)=1,j/(0_)=2、fit)—e-/e(t)

分析利用微分方程两端各奇异函数的系数相平衡的方法来判断响应,(，)及其各阶导

数是否发生跃变。完全响应为零输入响应.零状态响应之和。

(2)由零输入响应的性质可知，要求零输入响应即求解微分方程

+4/，(/)十4%(/)=0

1%(。十)=1，y=(0+)=2

解此方程得

.(，)=Cie~2'+C>te~~'

代人初始值得

%(0+)=C|=1

八(0十)=-2C,+C2=2

解以上两式得G=1，Q=4,则系统的零输入响应为

%(/)=e~2/+4ze~”)0

由零状态响应性质可知，求零状态响应即求解微分方程

+4，/(八+4J7C)=合(/)+2e」e(f)

|j/(0-)=37(0-)=0

方程右端含有冲激项，两端对0一到0一积分

y，(Z)d/+4j//(?)d/+4y({t}At

Jo_fJo_Jo_

=「6”)山+2「e-ze(z)d/

J0_J0_

考虑到%(z)的连续性得

［，/(。十)一+4］》/(。+)—J/(O_)］=1

得丁'/(。+)=，/(。-)+1=1,//(0+)=y1-(0-)=0

当/>0时，微分方程可化为

1

yf(/)+4j/z(z)+4J7(%)=2e

此方程全解为

2zz,-z

yf(t)=C)e-+C2Ze-2e,Z)0

代人初始值得

yf(0+)=CI+2=0

“/(0+)=—2CI+C2—2=1

解以上两式得3=-2,Q=-l,则系统的零状态响应为

-2,-

yf(t)=-2e-+2e*"》0

系统的全响应为

y(t)=%(?)+»/(2)=-e-2/+3?e-z,+2e-,,Z)0

©2.12如因214的电路.以电容电压〃《(/)为响应•试求其冲激响应和阶跃响应。

分析由KVL与KCL写出系统微分方程.用经典法求解阶跃响应.代入公式八,)=

4*(，)求冲激响应。

at

解由KVL与KCL得

(f)=〃[.(，)+(f)

Zt(/)=(f)+1、(/)

各元件端电流和端电压的关系为

川.(f)=

MR(/)=RiH(t)

ic(/)=C4"c⑺

联立以上各式解得

LCq-yWf(/)+器-qyZZc(2)十(t)=Ms(Z)

f

代人数值得uc(t)++2uc(t)=2〃s”)

当激励"s")=£*)时，方程右端不含有冲激项，则

u('(0.)=0

〃'c(0+)=0

方程的解为uc⑺=+。267+1">0

代人初始值得

”「(0+)=C!+C2+1=0

〃'c(0+)=-C]—2c2=0

解得G=-2,C2=1,则系统的阶跃响应为

g(z)=ucCt)=(—2e'十e2'+1)e(f)

系统的冲激响应为

h(t)==(2e-z2e1?，)£(£)

de

•2.16各函数波形如图2—16所示.图(b).(c).(d)中均为单位冲激函数.试求下列卷

积，并画出波形图。

⑴-⑺⑴

(3)/()*九⑺

分析利用卷积的基本性质,代入公式求解。

解由已知可得

/,(/)=-2)—r(/)+；r(f+2)(r(/)=Ze(Z)为斜升函数)

/?(7)=3(1-2)+3(，+2)

人⑺=3(,t-1)+5(/+1)

/4(z)=5(/-2)-5(/3)+^(/一4)

⑴力(/)*/2(/)

=/,(z)*[S(z—2)+3C+2)]=/I(i-2)+/1(f+2)

——+4)—r(^~2)—r(.t)—r(t—2)+-yr(f—4)

乙乙

波形图为图2—17(a)。

(3)/|(/)*/；(/)

=/1(z)*[3(z—2)—8(1—3)+5(/—4)]

=力(，一2)一6a—3)+力a-4)

=-1-r(z)-yr(Z—1)--yr(Z—2)+r(/—3)--yr(Z—4)---r(z—5)+

乙乙乙乙乙

yr(Z-6)

波形图为图2—17(c).

(H)

(C)

小结考查了卷积的基本性质:结合律、分配律等。

◎2.17求下列函数的卷积积分力(力*f2s

分析对于简单函数积分，直接代人积分定义公式求解。

(2)/；(/)*力(？)=e-?,e(f)*e(f)=e-?re(r)e(z—r)dr

J-z

•/1

e-2rdr•e(i)=—(1—e-2/)e(^)

J0Z

2/3,

(4)/)(/)*f2(t)=e~e(Z)*e~e(Z)

(6)力3*/2(Z)=e(z+2)*e(Z-3)

=[e⑺*3(/+2)]*[E(Q*8(—3)1

=[e(£)*£(/)]*[3(/•2)*3(/—3)]

=te(/)—1)=(z-l)e(r-1)

(8)/(D*/2(Z)=teCt)*[e(Z)-e(Z-2)]

=Ze(z)*E(z)*[3(t)——2)]

=4•人(£)*—普―2)]

乙

=4■/£(z)—2)2f(z—2)

乙乙

<0,t<0

=<0.5d,0&/42

2(t—1),£>2

2/

(10)八⑺*f2(t)=e~e(z+l)*e(r-3)

=e-2/e(r+l)*e(r)*3(?—3)

2r

=[「e-dzE(/+D]*^(Z—3)

J—1

=[(Je]--ye-2,)e(/-Fl)]3)

乙乙

2

=(^e-Xe-2/+6)e(r-2)

乙乙

=9(1_eT+)e(，2)

乙

02.18某LTI系统的冲激响应如图218(a)所示,求输入为下列函数时的零状态响应

(或画出波形图)。

(1)输入为单位阶跃函数E(/)；(2)输入为人(/)如图(b)所示;

(3)输入为f2(t)如图(c)所示；(4)输入为于3⑺如图(d)所示;

(5)输入为力(一1+2)。

解由心(£)的波形图可得

/[(7)=€(£)­£(£—2)=£(，)*[8(z)—<5(i—2)J

(1)当输入为单位阶跃函数£(，)时，系统的零状态响应为

yt(t)=/(Z)*h⑺

=e(t)*e(z)*[贺加一S(t—2)]

=尼(t)*[3(7)—3(/-2)]

=tE(t)-(t-2)E(t-2)

=E(t2)J+2e(t—2)

(2)由输入f,(/)的波形图可得

/1(/)=e(t—2)—e(t—3)=e(t)*[S(f—2)—5(t—3)J

系统的零状态响应为

=/()*/«)

=e(t)*L<5(z-2)-<5(/-3)]*e(z)*[33-5(/-2)]

=E(，)*£(?)*[3(/2)3(t—3)]*[3(?)8(.i2)]

=/e(Z)*[3(t—2)—<5(/—3)—S(t—4)3(t—5)1

=(Z-2)e(/-2)-(Z-3)e(/-3)-(/-4)e(z-4)+(/—5作(，-5)

=(t-2)[e(/-2)-e(t-3)]+[e(/-3)-e(Z-4)]-(f5)Ee(z

4)—e(z5)[

(3)由输入力(，)的波形图可得

后(，)=4-[e(/)—e(z—2)]

La

系统的零状态响应为

%(，)=/2(/)*/z(Z)

=—E(t—2)]*e(z)*[8(2—2)—8(t—3)]

--^-Qe(r)—e(r—2)]dr*[_8Ct-2)-8(t—3)]

J0z

=—4•(产—4)£(»—2)1*[8G)—3(7-2)]

44

=[!»(£(/)-E(/-2))+E(/—2)J*[3(f)—8(，-2)1

4

--rt~Ee(/)—e(/-2)]--^-(4/—/)[f(f—2)一£(，-4)[

44

(4)由输入人(/)的波形图可得

九⑺=/(£)—«2)+:44)

乙乙

(r(t)—/e(/)为斜升函数)

系统的零状态响应为

37-(力=人⑴*人⑺

=[^-r(Z)-r(/-2)+-1-r(Z-4)]*e(Z)*[S(/)—3(/—2)[

乙乙

—屋(t)——2)，£(力-2)

4L

卜十(z4)~e(/4)]头[台(£)—8Ct2)[

=2)2e(Z4)2e(/4)l)2e(z6)

444

(5)由输入力(D的波形图可得