复数代数形式的乘除运算习题

复数代数形式的乘除运算习题复数代数形式的乘除运算习题/NUMPAGES9复数代数形式的乘除运算习题复数代数形式的乘除运算习题[学业水平训练]1．(2013·高考课标全国Ⅱ)设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝()A．－1＋i B．－1－iC．1＋i D．1－i解析：选A.由题意得z＝eq\f(2i,1－i)＝eq\f(2i·1＋i,2)＝－1＋i.2．(2014·杭州高二检测)若复数z＝2i＋eq\f(2,1＋i)，其中i是虚数单位，则复数z的模为()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\r(2)C．eq\r(3) D．2解析：选B.由题意，得z＝2i＋eq\f(2,1＋i)＝2i＋eq\f(21－i,1＋i1－i)＝1＋i，复数z的模|z|＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2).3．复数z＝eq\f(1＋2i2,1－i)对应的点在复平面的第()象限．A．四 B．三C．二 D．一解析：选C．z＝eq\f(1＋2i2,1－i)＝eq\f(－3＋4i,1－i)＝eq\f(－3＋4i1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(－7＋i,2)＝－eq\f(7,2)＋eq\f(1,2)i，故z对应的点在复平面的第二象限．4．(2014·高考天津卷)i是虚数单位，复数eq\f(7＋i,3＋4i)＝()A．1－i B．－1＋iC．eq\f(17,25)＋eq\f(31,25)i D．－eq\f(17,7)＋eq\f(25,7)i解析：选A.eq\f(7＋i,3＋4i)＝eq\f(7＋i3－4i,3＋4i3－4i)＝eq\f(25－25i,25)＝1－i，故选A.5．(2014·咸阳高二检测)下面是关于复数z＝eq\f(2,－1＋i)的四个命题，其中真命题为()p1：|z|＝2；p2：z2＝2i；p3：z的共轭复数为1＋i；p4：z的虚部为－1.A．p2，p3 B．p1，p2C．p2，p4 D．p3，p4解析：选C．z＝eq\f(2,－1＋i)＝eq\f(2－1－i,－1＋i－1－i)＝eq\f(－2－2i,2)＝－1－i，所以|z|＝eq\r(2)，z的虚部为－1，所以p1错误，p4正确．z2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i，所以p2正确．z的共轭复数为eq\x\to(z)＝－1＋i，所以p3错误．所以选C．6．i是虚数单位，eq\f(－5＋10i,3＋4i)＝________(用a＋bi的形式表示，其中a，b∈R)．解析：eq\f(－5＋10i,3＋4i)＝eq\f(－5＋10i3－4i,3＋4i3－4i)＝eq\f(－15＋20i＋30i＋40,9＋16)＝1＋2i.答案：1＋2i7．(2014·上海高二检测)已知复数eq\f(2－ai,i)＝1－bi，其中a，b∈R，i是虚数单位，则|a＋bi|＝________.解析：由eq\f(2－ai,i)＝1－bi，得2－ai＝i(1－bi)＝i－bi2＝b＋i，所以b＝2，－a＝1，即a＝－1，b＝2，所以|a＋bi|＝|－1＋2i|＝eq\r(5).答案：eq\r(5)8．设z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且eq\f(z1,z2)为纯虚数，则实数a的值为________．解析：设eq\f(z1,z2)＝bi(b∈R且b≠0)，所以z1＝bi·z2，即a＋2i＝bi(3－4i)＝4b＋3bi.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4b，,2＝3b，))所以a＝eq\f(8,3).答案：eq\f(8,3)9．计算：(1)(1－i)(－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i)(1＋i)；(2)eq\f(\r(2)＋\r(3)i,\r(3)－\r(2)i)；(3)(2－i)2.解：(1)法一：(1－i)(－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i)(1＋i)＝(－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i＋eq\f(1,2)i－eq\f(\r(3),2)i2)(1＋i)＝(eq\f(\r(3)－1,2)＋eq\f(\r(3)＋1,2)i)(1＋i)＝eq\f(\r(3)－1,2)＋eq\f(\r(3)＋1,2)i＋eq\f(\r(3)－1,2)i＋eq\f(\r(3)＋1,2)i2＝－1＋eq\r(3)i.法二：原式＝(1－i)(1＋i)(－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i)＝(1－i2)(－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i)＝2(－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i)＝－1＋eq\r(3)i.(2)eq\f(\r(2)＋\r(3)i,\r(3)－\r(2)i)＝eq\f(\r(2)＋\r(3)i\r(3)＋\r(2)i,\r(3)－\r(2)i\r(3)＋\r(2)i)＝eq\f(\r(2)＋\r(3)i\r(3)＋\r(2)i,\r(3)2＋\r(2)2)＝eq\f(\r(6)＋2i＋3i－\r(6),5)＝eq\f(5i,5)＝i.(3)(2－i)2＝(2－i)(2－i)＝4－4i＋i2＝3－4i.10．已知复数z＝3＋bi(b∈R)，且(1＋3i)·z为纯虚数．(1)求复数z.(2)若w＝eq\f(z,2＋i)，求复数w的模|w|.解：(1)(1＋3i)·(3＋bi)＝(3－3b)＋(9＋b)i.因为(1＋3i)·z为纯虚数，所以3－3b＝0，且9＋b≠0，所以b＝1，所以z＝3＋i.(2)w＝eq\f(3＋i,2＋i)＝eq\f(3＋i·2－i,2＋i·2－i)＝eq\f(7－i,5)＝eq\f(7,5)－eq\f(1,5)i，所以|w|＝eq\r(\f(7,5)2＋－\f(1,5)2)＝eq\r(2).[高考水平训练]1．已知复数z＝1－i，则eq\f(z2－2z,z－1)＝()A．2i B．－2iC．2 D．－2解析：选B.法一：因为z＝1－i，所以eq\f(z2－2z,z－1)＝eq\f(1－i2－21－i,1－i－1)＝eq\f(－2,－i)＝－2i.法二：由已知得z－1＝－i，从而eq\f(z2－2z,z－1)＝eq\f(z－12－1,z－1)＝eq\f(－i2－1,－i)＝eq\f(2,i)＝－2i.2．若复数z1＝－1＋ai，z2＝b－eq\r(3)i，a，b∈R，且z1＋z2与z1·z2均为实数，则eq\f(z1,z2)＝________.解析：因为z1＝－1＋ai，z2＝b－eq\r(3)i，所以z1＋z2＝b－1＋(a－eq\r(3))i，z1·z2＝eq\r(3)a－b＋(eq\r(3)＋ab)i.因为z1＋z2与z1·z2均为实数，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－\r(3)＝0，,\r(3)＋ab＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\r(3)，,b＝－1.))所以z1＝－1＋eq\r(3)i，z2＝－1－eq\r(3)i，所以eq\f(z1,z2)＝eq\f(－1＋\r(3)i,－1－\r(3)i)＝eq\f(－1＋\r(3)i2,－1－\r(3)i－1＋\r(3)i)＝－eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i.答案：－eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i3．已知eq\f(z－1,z＋1)为纯虚数，且(z＋1)(eq\x\to(z)＋1)＝|z|2，求复数z.解：由(z＋1)(eq\x\to(z)＋1)＝|z|2⇒z＋eq\x\to(z)＝－1.①由eq\f(z－1,z＋1)为纯虚数，得eq\f(z－1,z＋1)＋eq\f(\x\to(z)－1,\x\to(z)＋1)＝0⇒z·eq\x\to(z)－1＝0.②设z＝a＋bi，代入①②，得a＝－eq\f(1,2)，a2＋b2＝1.∴a＝－eq\f(1,2)，b＝±eq\f(\r(3),2).∴z＝－eq\f(1,2)±eq\f(\r(3),2)i.4．已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数)．(1)求b，c的值；(2)试判断1－i是否为方程的根．解：(1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，∴(1＋i)2＋b(1＋