复变函数课件第一章(与“复数”有关的文档共100张)

复变函数课件第一章第一页，共100页。

第一章复数与复变函数1.1复数及其运算1.2复平面上的曲线和区域1.3

复变函数1.4复变函数的极限和连续性第二页，共100页。16世纪，意大利学者卡当（Cardan）第一个把负数的平方根写进公式。笛卡尔称为“虚数”，欧拉“纯属虚幻”。1747年法国数学家达朗贝尔指出，按多项式四则运算，这种数的结果总是形式的。1730年，棣莫弗公式，1748年欧拉公式，并创作了i作为虚数单位。复平面的表示，并与向量对应，理论逐渐完备。

§1.1复数及其运算一、复数的概念1、产生背景第三页，共100页。的数称为复数，其中称为虚单位，2、定义：形如为任意实数,且记分别称为的实部（realpart）与虚部(imaginarypart)。第四页，共100页。（1）

当，则称为纯虚数。当时，则为实数，虚部为0的复数可以看成实数。全体实数是全体复数的一部分。复数是实数的推广。虚部不为0的复数称为虚数。第五页，共100页。（2）复数的相等所以，复数为0意味着什么呢？两个复数是否可以简单比较大小？第六页，共100页。两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.复数z

等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0.说明两个数如果都是实数,可以比较它们的大小,如果不全是实数,就不能比较大小,也就是说,复数不能比较大小.第七页，共100页。（3）共轭复数

称为z的共轭复数。记为是一一对应的关系。例：第八页，共100页。复平面的定义二、复数的表示法第九页，共100页。1、(复平面上的)点表示-----用坐标平面上的点(1806高斯）rθ此时的坐标面（称为复平面）与直角坐标平面的区别与联系。为了方便，复平面复平面中不区分点和复数。第十页，共100页。2.向量表示-------（1）复数的模(或绝对值)显然下列各式成立第十一页，共100页。（2）复数的辐角说明辐角不确定.第十二页，共100页。辐角主值的定义:第十三页，共100页。（3）利用平行四边形法求复数的和差两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致.第十四页，共100页。（4）复数和差的模的性质第十五页，共100页。3、三角（或极坐标）表示---由得欧拉公式5、代数表示------第十六页，共100页。LeonhardEulerBorn:15April1707inBasel,Switzerland

Died:18Sept1783inStPetersburg,Russia欧拉资料第十七页，共100页。

复数的各种表示可相互转换在不同的运算中可选择不同表示式进行运算。NSPyzZx6*、复球面表示------

将扩充复平面中的所有复数唯一表示为一个点，则所有复数与复球面上的点建立一一对应关系。第十八页，共100页。三、复数的运算1、相等——两个复数，当且仅当实部与虚部分别相等时才相等。2、和、差、积、商（分母不为0）——代数式、三角式、指数式。按多项式的运算方法进行，并将代入。另外，我们所熟知的代数运算在复数域中依然成立。第十九页，共100页。虚数单位的特性:……第二十页，共100页。复数的代数运算1.两复数的和:2.两复数的积:3.两复数的商:第二十一页，共100页。共轭复数的性质实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数.例2解第二十二页，共100页。zzyxo第二十三页，共100页。性质:以上各式证明略.第二十四页，共100页。复数的乘积模和辐角集合相等第二十五页，共100页。单位复数相乘相当于旋转一个角度，比如第二十六页，共100页。模为1时，可得棣莫弗公式第二十七页，共100页。四、复数的n次方根的n个值恰为以原点为中心，的内接正边形的顶点，当时，为半径的圆周称为主值。第二十八页，共100页。答疑解惑

答：不能，实数能比较大小，是因为实数是有序的；而复数是无序的，所以不能比较大小。假设复数有大小，其大小关系应与实数中大小关系保持一致，（因为实数是复数的特例），不妨取0和i加以讨论：1、复数能否比较大小，为什么？注：复数的模、实部和虚部都是实数，辐角也是实数，可比较大小。第二十九页，共100页。2、复数可以用向量表示，则复数的运算与向量的运算是否相同？答：有相同之处，但也有不同之处。

加减和数乘运算相同，乘积运算不同，向量运算有数量积、向量积和混合积，复数则没有；复数运算有乘除及乘幂、方根，但向量没有；乘积运算的几何意义不同。第三十页，共100页。典型例题例1、判断下列命题是否正确？（1）（2）（3）（

×

）（

∨

）（

×

）第三十一页，共100页。例2、求下列复数的模与辐角（1）（2）（3）（4）第三十二页，共100页。解（1）（2）第三十三页，共100页。（3）(4)第三十四页，共100页。例3、求满足下列条件的复数z：（1）（3）（2）且第三十五页，共100页。第三十六页，共100页。第三十七页，共100页。例4求方程的根。并将分解因式。解∵，则的其余三个根即为所求得由第三十八页，共100页。第三十九页，共100页。§1.2复平面上的曲线和区域一、复平面上的曲线方程平面曲线有直角坐标方程和参数方程两种形式。第四十页，共100页。很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表示;也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定它所表示的平面图形.第四十一页，共100页。由代入知曲线C的方程可改写成复数形式若令，而，则曲线C的参数方程等价于复数形式。第四十二页，共100页。例1将通过两点z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的直线用复数形式的方程来表示.

[解]

通过点(x1,y1)与(x2,y2)的直线可用参数方程表示为因此,它的复数形式的参数方程为

z=z1+t(z2-z1).(-<t<+)第四十三页，共100页。由此得知由z1到z2的直线段的参数方程可以写成

z=z1+t(z2-z1).(0t1)取,得知线段的中点为第四十四页，共100页。例2求下列方程所表示的曲线:第四十五页，共100页。[解]设z=x+iy,方程变为为一圆-iOxy第四十六页，共100页。几何上,该方程表示到点2i和-2的距离相等的点的轨迹,所以方程表示的曲线就是连接点2i和-2的线段的垂直平分线,方程为y=-x,也可用代数的方法求出Oxy-22iy=-x第四十七页，共100页。设z=x+iy,那末可得所求曲线的方程为y=-3.Oyxy=-3第四十八页，共100页。二、简单曲线与光滑曲线第四十九页，共100页。除在z(a)=z(b)外无其它重点的连续曲线称为简单闭曲线，例如，

是一条简单闭曲线（如图）.第五十页，共100页。在几何直观上，简单曲线是平面上没有“打结”情形的连续曲线，即简单曲线自身是不会相交的；简单闭曲线除了没有“打结”情形之外，还必须是封闭的，例如，图中的是简单曲线，是简单闭区域，图中的，不是简单曲线，但是闭曲线.图图第五十一页，共100页。三、区域

1、去心邻域3、区域及分类2、内点与开集区域——连通的开集。第五十二页，共100页。邻域平面上以为心，为半径的圆：内部所有点的集合称为点的—邻域，记为，即称集合为的去心—邻域，记作.第五十三页，共100页。内点：设G为复平面上的点集，若且存在的一个邻域，则称为G的内点。边界点：若点而P的任意一个邻域内既包含有G的点又包含有不属于G的点，则称P为G的边界点。G的边界点所组成的集合称为G的边界。第五十四页，共100页。开集如果点集的每一个点都是的内点，则称为开集.闭集如果点集的余集为开集，则称为闭集.连通集设是开集，如果对于内任意两点，都可用折线连接起来，且该折线上的点都属于，则称开集是连通集.区域（或开区域）连通的开集称为区域或开区域.闭区域开区域连同它的边界一起，称为闭区域，记为.第五十五页，共100页。3.单连通域、多连通域设是复平面上一区域，如果在内任作一条简单闭曲线，其内部的所有点都在中，则称区域为单连通区域；否则称为多连通区域或复连通区域.任一去心邻域、环形域都是多联通的。第五十六页，共100页。在几何直观上，单连通区域是一个没有“空洞（点洞）和缝隙”的区域，而多连通区域是有“洞或缝隙”的区域，它可以是由曲线所围成的区域中挖掉几个洞，除去几个点或一条线段而形成的区域（如图）.图属于单连通区域D内的任一条简单闭曲线，在D内可以经过连续的变形而收缩成一点。第五十七页，共100页。注：①闭区域，它不是区域。②任意一条简单闭曲线C把复平面分为三个不相交的点集：有界区域称为C的内部；无界区域，称为C的外部；C，称为内部与外部的边界。第五十八页，共100页。(1)圆环域:课堂练习判断下列区域是否有界?(2)上半平面:(3)角形域:(4)带形域:答案(1)有界;(2)(3)(4)无界.第五十九页，共100页。§1.3复变函数一、复变函数的概念1、定义——对于集合G中给定的

，总有一个（或几个）确定的复数与之对应，并称G为定义集合，而称为函数值集合(值域).分类——第六十页，共100页。2、复变函数与实函数的关系讨论一个复变函数研究两个实二元函数

第六十一页，共100页。例1

将定义在全平面上的复变函数化为一对二元实变函数.解设，，代入得

比较实部与虚部得，第六十二页，共100页。例2将定义在全平面除原点区域上的一对二元实变函数，（）化为一个复变函数.解设，，则将，以及代入上式，经整理后，得第六十三页，共100页。教材P14（例1.3.2)是否为单值函数

令则均为单值的实二元函数是单值函数。故3、复变函数的单值性讨论第六十四页，共100页。教材P14(例1.3.3）是单值函数吗？，均为多值的实二元函数方法二、见教材P15,（复数的n次方根）第六十五页，共100页。二、映射复变函数的几何图形表示第六十六页，共100页。

函数在几何上可以看着是把z

平面上的一个点集D

（定义域）变到w平面上的一个点集G（值域）的一个映射（或映照）。与G中的点为一一对应映射为双射第六十七页，共100页。典型例题例1、求z平面上的下列图形在映射下的象。第六十八页，共100页。解:乘法的模与辐角定理Howcomplextheexpressionare!第六十九页，共100页。uv4i图a虚轴上从点0到4i的一段（见图a）。(1)记，则即w平面内4图b（3）见教材P16例1.3.4（3）第七十页，共100页。映为（4）将直线建立所满足的象曲线方程，消，是以原点为焦点，开口向左的抛物线（见图c1)vu图c12其是以原点为焦点，开口向右的抛物线（见图c2）。

将线映为，消x得第七十一页，共100页。例2、求下列曲线在映射下的象解法一（1）

消x,y建立u,v所满足的象曲线方程或由两个实二元函数反解解得x=x(u,v),y=y(u,v）后，代入原象曲线方程即得象曲线方程第七十二页，共100页。（2）代入原象曲线方程，得第七十三页，共100页。解法二代入原象方程得化为实方程形式（2）留作练习。第七十四页，共100页。第七十五页，共100页。第七十六页，共100页。§1.4复变函数的极限和连续性第七十七页，共100页。复变函数的极限定义

设函数在的某去心邻域内有定义，若对任意给定的正数（无论它多么小）总存在正数，使得适合不等式的所有，对应的函数值都满足不等式则称复常数为函数当时的极限，记作或第七十八页，共100页。有如下的定理存在第七十九页，共100页。定理1.4.1

设，则的充分必要条件为:且第八十页，共100页。第八十一页，共100页。复变函数的极限四则运算法则：设，，则

(1)

(2)

(3)第八十二页，共100页。例1

试求下列函数的极限.（1）（2）解（1）法1设，则，且

得

第八十三页，共100页。法2（2）

设，则，得

第八十四页，共100页。例2证明函数在时极限不存在.证设，而，.考虑二元实函数当沿着（为任意实数）趋向于，即

第八十五页，共100页。

显然，极限值随值的不同而不同，所以根据二元实变函数极限的定义知，在趋向于时的极限不存在，即得结论.第八十六页，共100页。例3证:第八十七页，共100页。根据定理可知,第八十八页，共100页。第八十九页，共100页。第九十页，共100页。判别的办法是转化为实函数的连续性三个条件：有值，极限存在，相等第九十一页，共100页。第九十二页，共100页。例证第九十三页，共100页。第九十四页，共100页。例

试证