函数单调性与凸性的判别法

关于函数单调性与凸性的判别法第1页，课件共85页，创作于2023年2月2.带Lagrange余项的Taylor公式：第2页，课件共85页，创作于2023年2月带Lagrange余项的Maclaurin公式：第3页，课件共85页，创作于2023年2月

§4函数单调性与凸性的判别法函数单调性判别法函数的凸性及其判别法第4页，课件共85页，创作于2023年2月一.函数单调性的判别法定义第5页，课件共85页，创作于2023年2月定理1证明：第6页，课件共85页，创作于2023年2月第7页，课件共85页，创作于2023年2月说明:单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.例如,2)如果函数在某驻点两边导数同号,

则不改变函数的单调性.例如,第8页，课件共85页，创作于2023年2月定理2证明：第9页，课件共85页，创作于2023年2月第10页，课件共85页，创作于2023年2月证明：第11页，课件共85页，创作于2023年2月第12页，课件共85页，创作于2023年2月证明：第13页，课件共85页，创作于2023年2月第14页，课件共85页，创作于2023年2月解：注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．第15页，课件共85页，创作于2023年2月Nove.17Mon.Review函数单调性判别法第16页，课件共85页，创作于2023年2月例4.

证明时,成立不等式证:

令从而因此且证第17页，课件共85页，创作于2023年2月*证明令则从而即第18页，课件共85页，创作于2023年2月二.函数的凸性及其判别法问题:如何研究曲线的弯曲方向?第19页，课件共85页，创作于2023年2月图形上任意弧段位于弦的上方图形上任意弧段位于弦的下方第20页，课件共85页，创作于2023年2月定义1若函数在整个区间上是凸的或凹的，则称函数是凸函数或凹函数。第21页，课件共85页，创作于2023年2月凹函数凸函数第22页，课件共85页，创作于2023年2月定义1’凹函数凸函数定义2第23页，课件共85页，创作于2023年2月定理证明：第24页，课件共85页，创作于2023年2月第25页，课件共85页，创作于2023年2月几何意义：若曲线弧个点处的切线斜率是单调增加的，则该曲线是下凸的；若各点处的切线斜率是单调减少的，则该曲线弧是上凸的。第26页，课件共85页，创作于2023年2月求拐点的步骤：第27页，课件共85页，创作于2023年2月解：第28页，课件共85页，创作于2023年2月解：二阶导数不存在的点也可能是拐点.第29页，课件共85页，创作于2023年2月Nove.23Mon.Review函数单调性判别法第30页，课件共85页，创作于2023年2月函数凸性及其判别法第31页，课件共85页，创作于2023年2月若函数可微：凹函数凸函数函数凸性判别法：第32页，课件共85页，创作于2023年2月求拐点的步骤：3.考察在这些点的左、右的凹凸性。拐点：第33页，课件共85页，创作于2023年2月解：导数不存在，二阶导数也不存在。第34页，课件共85页，创作于2023年2月凸凹凹第35页，课件共85页，创作于2023年2月证明：第36页，课件共85页，创作于2023年2月证明：第37页，课件共85页，创作于2023年2月hw：p1731(3,5)，2(3,5,7,9).p1881(3,5),2(1),3,5,6.更进一步有不等式：第38页，课件共85页，创作于2023年2月例.求曲线的凹凸区间及拐点.解:1)求2)求拐点可疑点坐标令得对应3)列表判别故该曲线在及上向上凹,向上凸

,点

(0,1)

及均为拐点.凹凹凸第39页，课件共85页，创作于2023年2月内容小结1.可导函数单调性判别在I

上单调递增在I

上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别+–拐点—连续曲线上有切线的凹凸分界点第40页，课件共85页，创作于2023年2月有位于一直线的三个拐点.1.求证曲线

证明：第41页，课件共85页，创作于2023年2月令得从而三个拐点为因为所以三个拐点共线.第42页，课件共85页，创作于2023年2月证明:当时，有证明:xxxFp2-=sin)(令,则是凸函数即2.(自证)第43页，课件共85页，创作于2023年2月函数的极值：极大值与极小值第44页，课件共85页，创作于2023年2月§5函数极值、函数作图函数的极值与求法；渐近线；函数作图。第45页，课件共85页，创作于2023年2月一.函数的极值与求法定义：函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.第46页，课件共85页，创作于2023年2月第47页，课件共85页，创作于2023年2月定理1(必要条件)注意:例如,极值可疑点：导数为零的点，导数不存在的点(尖点).第48页，课件共85页，创作于2023年2月定理2(第一充分条件)(是极值点情形)第49页，课件共85页，创作于2023年2月证明：第50页，课件共85页，创作于2023年2月求极值的步骤:(不是极值点情形)第51页，课件共85页，创作于2023年2月例1.解列表讨论极大值极小值第52页，课件共85页，创作于2023年2月图形如下第53页，课件共85页，创作于2023年2月解：第54页，课件共85页，创作于2023年2月第55页，课件共85页，创作于2023年2月定理3（第二充分条件）第56页，课件共85页，创作于2023年2月证明：第57页，课件共85页，创作于2023年2月极小值极大值第58页，课件共85页，创作于2023年2月定理3’(第二充分条件)第59页，课件共85页，创作于2023年2月例1.若直角三角形的一直角边与斜边之和为常数，求有最大面积的直角三角形；解：第60页，课件共85页，创作于2023年2月证明：第61页，课件共85页，创作于2023年2月证明：第62页，课件共85页，创作于2023年2月第63页，课件共85页，创作于2023年2月解：第64页，课件共85页，创作于2023年2月第65页，课件共85页，创作于2023年2月小结极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为极值可疑点.函数的极值必在极值可疑点取得.判别法第一充分条件;第二充分条件;(注意使用条件)Hw：p1733(4,5,6,8),4,5(2,4,5,7,9),6(2),7,10.第66页，课件共85页，创作于2023年2月二.渐近线定义:1.垂直渐近线第67页，课件共85页，创作于2023年2月例如有垂直渐近线两条:第68页，课件共85页，创作于2023年2月2.水平渐近线例如有水平渐近线两条:第69页，课件共85页，创作于2023年2月3.斜渐近线斜渐近线求法:第70页，课件共85页，创作于2023年2月注意:第71页，课件共85页，创作于2023年2月解：第72页，课件共85页，创作于2023年2月解：第73页，课件共85页，创作于2023年2月三.函数作图1.函数基本性质：1).定义域，值域，连续范围；2).函数的奇偶性：奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称；3).周期性。第74页，课件共85页，创作于2023年2月2.利用导数研究函数性质：第75页，课件共85页，创作于2023年2月3.渐近线1).垂直渐近线；2).水平与斜渐近线。4.描点作图

第76页，课件共85页，创作于2023年2月解：第77页，课件共85页，创作于2023年2月第78页，课件共85页，创作于2023年2月第79页，课件共85页，创作于2023年2月p1887(1,3,5),8,11(2).p2294,6,8,9,10(1,4,6,7,9),12(1),13(1,3),15,20,21,30第80页，课件共85页，创作于2023年2月列表–xyy

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对函数进行全面讨论并画图：解所以，曲线有渐近线x=00(拐点)++因––––00++3极小值+例1.0.间断点第81页，课件共85页，创作于2023年2月0xy3.第82页，课件共85页，创作于2023年2月列表–xyy

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对函数进行全面讨论并画图：解所以，曲线有渐近线y=0，