2023年高考数学总复习-5-1-平面向量的概念与线性运算但因为测试-新人教B版

2023年高考数学总复习5-1平面向量的概念与线性运算但因为测试新人教B版1.(文)(2023·宁波十校联考)设P是△ABC所在平面内的一点，eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(BA,\s\up15(→))＝2eq\o(BP,\s\up15(→))，那么()A.eq\o(PA,\s\up15(→))＋eq\o(PB,\s\up15(→))＝0 B.eq\o(PC,\s\up15(→))＋eq\o(PA,\s\up15(→))＝0C.eq\o(PB,\s\up15(→))＋eq\o(PC,\s\up15(→))＝0 D.eq\o(PA,\s\up15(→))＋eq\o(PB,\s\up15(→))＋eq\o(PC,\s\up15(→))＝0[答案]B[解析]如图，根据向量加法的几何意义，eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(BA,\s\up15(→))＝2eq\o(BP,\s\up15(→))⇔P是AC的中点，故eq\o(PA,\s\up15(→))＋eq\o(PC,\s\up15(→))＝0.(理)(2023·广西六校联考、北京石景山检测)O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→))＝0，那么()A.eq\o(AO,\s\up15(→))＝eq\o(OD,\s\up15(→)) B.eq\o(AO,\s\up15(→))＝2eq\o(OD,\s\up15(→))C.eq\o(AO,\s\up15(→))＝3eq\o(OD,\s\up15(→)) D．2eq\o(AO,\s\up15(→))＝eq\o(OD,\s\up15(→))[答案]A[解析]∵eq\o(OB,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→))＝2eq\o(OD,\s\up15(→))，∴2eq\o(OA,\s\up15(→))＋2eq\o(OD,\s\up15(→))＝0，∴eq\o(AO,\s\up15(→))＝eq\o(OD,\s\up15(→)).2．(文)(2023·皖南八校联考)对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b的〞()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]假设a＋b＝0，那么a＝－b，所以a∥b；假设a∥b，那么存在实数λ，使a＝λb，a＋b＝0不一定成立，应选A.(理)(2023·广东江门市模拟)假设四边形ABCD满足eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＝0，(eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(AD,\s\up15(→)))·eq\o(AC,\s\up15(→))＝0，那么该四边形一定是()A．直角梯形 B．菱形C．矩形 D．正方形[答案]B[解析]由eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＝0知，eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(DC,\s\up15(→))，即AB＝CD，AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形．又(eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(AD,\s\up15(→)))·eq\o(AC,\s\up15(→))＝0，∴eq\o(DB,\s\up15(→))·eq\o(AC,\s\up15(→))＝0，即AC⊥BD，因此四边形ABCD是菱形，应选B.3．(文)如下图，在△ABC中，eq\o(BD,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up15(→))，eq\o(AE,\s\up15(→))＝3eq\o(ED,\s\up15(→))，假设eq\o(AB,\s\up15(→))＝a，eq\o(AC,\s\up15(→))＝b，那么eq\o(BE,\s\up15(→))等于()A.eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b B．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)bC.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b D．－eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b[答案]B[解析]∵eq\o(AE,\s\up15(→))＝3eq\o(ED,\s\up15(→))，∴eq\o(ED,\s\up15(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up15(→))，∵eq\o(BD,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up15(→))，∴eq\o(BD,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up15(→))，∴eq\o(BE,\s\up15(→))＝eq\o(BD,\s\up15(→))－eq\o(ED,\s\up15(→))＝eq\o(BD,\s\up15(→))－eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up15(→))＝eq\o(BD,\s\up15(→))－eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BD,\s\up15(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(BD,\s\up15(→))－eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up15(→))－eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up15(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\f(1,4)b－eq\f(1,2)a.(理)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.假设eq\o(AC,\s\up15(→))＝a，eq\o(BD,\s\up15(→))＝b，那么eq\o(AF,\s\up15(→))＝()A.eq\f(1,4)a＋eq\f(1,2)b B.eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)bC.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b D.eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b[答案]D[解析]由条件易知，eq\o(DF,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DC,\s\up15(→))，∴eq\o(AF,\s\up15(→))＝eq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\o(CF,\s\up15(→))＝a＋eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up15(→))＝a＋eq\f(1,3)(b－a)＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.应选D.4．(2023·福建福州质量检查)如图，e1，e2为互相垂直的单位向量，向量a、b如图，那么向量a－b可表示为()A．3e2－e1 B．－2e1－4e2C．e1－3e2 D．3e1－e2[答案]C[解析]连接图中向量a与b的终点，并指向a的终点的向量即为a－b，∴a－b＝e1－3e2.5．(文)(2023·厦门模拟)点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，eq\o(OM,\s\up15(→))＝xeq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up15(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up15(→))，那么x的值为()A．0 B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,6)[答案]D[解析]∵x＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝1，∴x＝eq\f(1,6).(理)(2023·惠州模拟)在△ABC中，D是AB边上一点，假设eq\o(AD,\s\up15(→))＝2eq\o(DB,\s\up15(→))，eq\o(CD,\s\up15(→))＝λeq\o(CA,\s\up15(→))＋μeq\o(CB,\s\up15(→))，那么eq\f(μ,λ)的值为()A．1 B.eq\f(1,2)C．2 D.eq\f(1,3)[答案]C[解析]eq\o(CD,\s\up15(→))＝eq\o(CA,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))＝eq\o(CA,\s\up15(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(CA,\s\up15(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(CB,\s\up15(→))－eq\o(CA,\s\up15(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up15(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up15(→))∴λ＝eq\f(1,3)，μ＝eq\f(2,3)，∴eq\f(μ,λ)＝2.6．设eq\o(OA,\s\up15(→))＝e1，eq\o(OB,\s\up15(→))＝e2，假设e1与e2不共线，且点P在线段AB上，|AP||PB|＝2，如下图，那么eq\o(OP,\s\up15(→))＝()A.eq\f(1,3)e1－eq\f(2,3)e2 B.eq\f(2,3)e1＋eq\f(1,3)e2C.eq\f(1,3)e1＋eq\f(2,3)e2 D.eq\f(2,3)e1－eq\f(1,3)e2[答案]C[解析]eq\o(AP,\s\up15(→))＝2eq\o(PB,\s\up15(→))，∴eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(AP,\s\up15(→))＋eq\o(PB,\s\up15(→))＝3eq\o(PB,\s\up15(→))，eq\o(OP,\s\up15(→))＝eq\o(OB,\s\up15(→))＋eq\o(BP,\s\up15(→))＝eq\o(OB,\s\up15(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(OB,\s\up15(→))－eq\f(1,3)(eq\o(OB,\s\up15(→))－eq\o(OA,\s\up15(→)))＝eq\f(1,3)e1＋eq\f(2,3)e2.7.(2023·山东济南市调研)如图，在△ABC中，eq\o(AN,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)eq\o(NC,\s\up15(→))，P是BN上的一点，假设eq\o(AP,\s\up15(→))＝meq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up15(→))，那么实数m的值为________．[答案]eq\f(3,11)[解析](如图)因为eq\o(AP,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BP,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋keq\o(BN,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋k(eq\o(AN,\s\up15(→))－eq\o(AB,\s\up15(→)))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋k(eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up15(→))－eq\o(AB,\s\up15(→)))＝(1－k)eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(k,4)eq\o(AC,\s\up15(→))，所以1－k＝m，且eq\f(k,4)＝eq\f(2,11)，解得k＝eq\f(8,11)，m＝eq\f(3,11).8．(文)(2023·合肥模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足eq\o(OC,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up15(→))，那么eq\f(|\o(AC,\s\up15(→))|,|\o(AB,\s\up15(→))|)＝________.[答案]eq\f(1,3)[解析]∵eq\o(OC,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up15(→))，eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)＝1，∴A、B、C三点共线，∵eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\o(OC,\s\up15(→))－eq\o(OA,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up15(→))－eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up15(→))，∴eq\f(|\o(AC,\s\up15(→))|,|\o(AB,\s\up15(→))|)＝eq\f(1,3).(理)(2023·聊城模拟)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，假设eq\o(AC,\s\up15(→))＝λeq\o(AE,\s\up15(→))＋μeq\o(AF,\s\up15(→))，其中，λ，μ∈R，那么λ＋μ＝________.[答案]eq\f(4,3)[解析]如图，∵ABCD是▱，且E、F分别为CD、BC中点．∴eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o(AB,\s\up15(→))＝(eq\o(AE,\s\up15(→))－eq\o(DE,\s\up15(→)))＋(eq\o(AF,\s\up15(→))－eq\o(BF,\s\up15(→)))＝(eq\o(AE,\s\up15(→))＋eq\o(AF,\s\up15(→)))－eq\f(1,2)(eq\o(DC,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→)))＝(eq\o(AE,\s\up15(→))＋eq\o(AF,\s\up15(→)))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up15(→))，∴eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AE,\s\up15(→))＋eq\o(AF,\s\up15(→)))，∴λ＝μ＝eq\f(2,3)，∴λ＋μ＝eq\f(4,3).9．(2023·泰安模拟)设a、b是两个不共线向量，eq\o(AB,\s\up15(→))＝2a＋pb，eq\o(BC,\s\up15(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up15(→))＝a－2b，假设A、B、D三点共线，那么实数p的值是________．[答案]－1[解析]∵eq\o(BD,\s\up15(→))＝eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＝2a－b，又A、B、D三点共线，∴存在实数λ，使eq\o(AB,\s\up15(→))＝λeq\o(BD,\s\up15(→)).即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝2λ,p＝－λ))，∴p＝－1.10．(文)如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，eq\o(AM,\s\up15(→))＝c，eq\o(AN,\s\up15(→))＝d，试用c、d表示eq\o(AB,\s\up15(→))、eq\o(AD,\s\up15(→)).[解析]解法一：eq\o(AD,\s\up15(→))＝eq\o(AM,\s\up15(→))－eq\o(DM,\s\up15(→))＝c－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up15(→))①eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(AN,\s\up15(→))－eq\o(BN,\s\up15(→))＝d－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up15(→)) ②由①②得eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)(2d－c)，eq\o(AD,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)(2c－d)．解法二：设eq\o(AB,\s\up15(→))＝a，eq\o(AD,\s\up15(→))＝b，因为M、N分别为CD、BC的中点，所以eq\o(BN,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)b，eq\o(DM,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)a，于是有：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝b＋\f(1,2)a,d＝a＋\f(1,2)b))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(2,3)2d－c,b＝\f(2,3)2c－d))，即eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)(2d－c)，eq\o(AD,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)(2c－d)．(理)如图，在△ABC中，AMAB＝13，ANAC＝14，BN与CM交于P点，且eq\o(AB,\s\up15(→))＝a，eq\o(AC,\s\up15(→))＝b，用a，b表示eq\o(AP,\s\up15(→)).[分析]由条件可求eq\o(AM,\s\up15(→))、eq\o(AN,\s\up15(→))，∵BN与CM相交于点P，∴B、P、N共线，C、P、M共线，因此，可以设eq\o(PN,\s\up15(→))＝λeq\o(BN,\s\up15(→))，eq\o(PM,\s\up15(→))＝μeq\o(CM,\s\up15(→))，利用同一向量的两种a，b的线性表示及a、b不共线求解；也可以设eq\o(BP,\s\up15(→))＝λeq\o(BN,\s\up15(→))，用a、b，λ来表示eq\o(CP,\s\up15(→))与eq\o(CM,\s\up15(→))，利用eq\o(CP,\s\up15(→))与eq\o(CM,\s\up15(→))共线及a、b不共线求解．解题方法很多，但无论什么方法，都要抓住“共线〞来作文章．[解析]由题意知：eq\o(AM,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)a，eq\o(AN,\s\up15(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\f(1,4)b.eq\o(BN,\s\up15(→))＝eq\o(AN,\s\up15(→))－eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\f(1,4)b－a，eq\o(CM,\s\up15(→))＝eq\o(AM,\s\up15(→))－eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)a－b设eq\o(PN,\s\up15(→))＝λeq\o(BN,\s\up15(→))，eq\o(PM,\s\up15(→))＝μeq\o(CM,\s\up15(→))，那么eq\o(PN,\s\up15(→))＝eq\f(λ,4)b－λa，eq\o(PM,\s\up15(→))＝eq\f(μ,3)a－μb.∴eq\o(AP,\s\up15(→))＝eq\o(AN,\s\up15(→))－eq\o(PN,\s\up15(→))＝eq\f(1,4)b－(eq\f(λ,4)b－λa)＝λa＋eq\f(1－λ,4)b，eq\o(AP,\s\up15(→))＝eq\o(AM,\s\up15(→))－eq\o(PM,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)a－(eq\f(μ,3)a－μb)＝eq\f(1－μ,3)a＋μb，∴λa＋eq\f(1－λ,4)b＝eq\f(1－μ,3)a＋μb，而a，b不共线．∴λ＝eq\f(1－μ,3)且eq\f(1－λ,4)＝μ.∴λ＝eq\f(3,11).因此eq\o(AP,\s\up15(→))＝eq\f(3,11)a＋eq\f(2,11)b.[点评]∵P是CD与BE的交点，故可设eq\o(DP,\s\up15(→))＝λeq\o(DC,\s\up15(→))，利用B、P、E共线，∴eq\o(BP,\s\up15(→))与eq\o(BE,\s\up15(→))共线，求出λ，从而eq\o(AP,\s\up15(→))＝eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o(DP,\s\up15(→))获解.11.(2023·山东青岛质检)在数列{an}中，an＋1＝an＋a(n∈N*，a为常数)，假设平面上的三个不共线的非零向量eq\o(OA,\s\up15(→))，eq\o(OB,\s\up15(→))，eq\o(OC,\s\up15(→))满足eq\o(OC,\s\up15(→))＝a1eq\o(OA,\s\up15(→))＋a2023eq\o(OB,\s\up15(→))，三点A、B、C共线且该直线不过O点，那么S2023等于()A．1005 B．1006C．2023 D．2023[答案]A[解析]由题意知，a1＋a2023＝1，又数列{an}为等差数列，所以S2023＝eq\f(a1＋a2023,2)×2023＝1005，应选A.12．(文)(2023·安徽安庆模拟)点P是△ABC所在平面内一点，且满足3eq\o(PA,\s\up15(→))＋5eq\o(PB,\s\up15(→))＋2eq\o(PC,\s\up15(→))＝0，设△ABC的面积为S，那么△PAC的面积为()A.eq\f(3,4)S B.eq\f(2,3)SC.eq\f(1,2)S D.eq\f(2,5)S[答案]C[分析]由系数3＋2＝5，可将条件式变形为3(eq\o(PA,\s\up15(→))＋eq\o(PB,\s\up15(→)))＋2(eq\o(PB,\s\up15(→))＋eq\o(PC,\s\up15(→)))＝0，故可先构造出eq\o(PA,\s\up15(→))＋eq\o(PB,\s\up15(→))与eq\o(PB,\s\up15(→))＋eq\o(PC,\s\up15(→))，假设P为P′点，取AB、BC中点M、N，那么eq\o(PM,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up15(→))＋eq\o(PB,\s\up15(→)))，eq\o(PN,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(PB,\s\up15(→))＋eq\o(PC,\s\up15(→)))，条件式即转化为eq\o(PM,\s\up15(→))与eq\o(PN,\s\up15(→))的关系．[解析]设AB，BC的中点分别为M，N，那么eq\o(PM,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up15(→))＋eq\o(PB,\s\up15(→)))，eq\o(PN,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(PB,\s\up15(→))＋eq\o(PC,\s\up15(→)))，∵3eq\o(PA,\s\up15(→))＋5eq\o(PB,\s\up15(→))＋2eq\o(PC,\s\up15(→))＝0，∴3(eq\o(PA,\s\up15(→))＋eq\o(PB,\s\up15(→)))＝－2(eq\o(PB,\s\up15(→))＋eq\o(PC,\s\up15(→)))，∴3eq\o(PM,\s\up15(→))＝－2eq\o(PN,\s\up15(→))，即点P在中位线MN上，∴△PAC的面积为△ABC面积的一半，应选C.(理)(2023·东北三校联考)在△ABC中，点P是AB上的一点，且eq\o(CP,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CA,\s\up15(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up15(→))，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又eq\o(CM,\s\up15(→))＝teq\o(CP,\s\up15(→))，那么t的值为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,4) D.eq\f(4,5)[答案]C[解析]∵eq\o(CP,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CA,\s\up15(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up15(→))，∴3eq\o(CP,\s\up15(→))＝2eq\o(CA,\s\up15(→))＋eq\o(CB,\s\up15(→))，即2eq\o(CP,\s\up15(→))－2eq\o(CA,\s\up15(→))＝eq\o(CB,\s\up15(→))－eq\o(CP,\s\up15(→))，∴2eq\o(AP,\s\up15(→))＝eq\o(PB,\s\up15(→))，因此P为AB的一个三等分点，如下图．∵A，M，Q三点共线，∴eq\o(CM,\s\up15(→))＝xeq\o(CQ,\s\up15(→))＋(1－x)eq\o(CA,\s\up15(→))＝eq\f(x,2)eq\o(CB,\s\up15(→))＋(x－1)eq\o(AC,\s\up15(→))(0<x<1)，∵eq\o(CB,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(AC,\s\up15(→))，∴eq\o(CM,\s\up15(→))＝eq\f(x,2)eq\o(AB,\s\up15(→))＋(eq\f(x,2)－1)eq\o(AC,\s\up15(→)).∵eq\o(CP,\s\up15(→))＝eq\o(CA,\s\up15(→))－eq\o(PA,\s\up15(→))＝－eq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up15(→))，且eq\o(CM,\s\up15(→))＝teq\o(CP,\s\up15(→))(0<t<1)，∴eq\f(x,2)eq\o(AB,\s\up15(→))＋(eq\f(x,2)－1)eq\o(AC,\s\up15(→))＝t(－eq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up15(→)))，∴eq\f(x,2)＝eq\f(t,3)且eq\f(x,2)－1＝－t，解得t＝eq\f(3,4)，应选C.13．点A(2,3)，C(0,1)，且eq\o(AB,\s\up15(→))＝－2eq\o(BC,\s\up15(→))，那么点B的坐标为________．[答案](－2，－1)[解析]设点B的坐标为(x，y)，那么有eq\o(AB,\s\up15(→))＝(x－2，y－3)，eq\o(BC,\s\up15(→))＝(－x,1－y)，因为eq\o(AB,\s\up15(→))＝－2eq\o(BC,\s\up15(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2＝2x，,y－3＝－21－y，))解得x＝－2，y＝－1.14．(文)(2023·浙江宁波十校)在平行四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up15(→))＝e1，eq\o(AC,\s\up15(→))＝e2，eq\o(NC,\s\up15(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up15(→))，eq\o(BM,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MC,\s\up15(→))，那么eq\o(MN,\s\up15(→))＝________(用e1，e2表示)[答案]－eq\f(2,3)e1＋eq\f(5,12)e2[解析]∵eq\o(NC,\s\up15(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\f(1,4)e2，∴eq\o(CN,\s\up15(→))＝－eq\f(1,4)e2，∵eq\o(BM,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MC,\s\up15(→))，eq\o(BM,\s\up15(→))＋eq\o(MC,\s\up15(→))＝eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\o(AC,\s\up15(→))－eq\o(AB,\s\up15(→))＝e2－e1，∴eq\o(MC,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)(e2－e1)，∴eq\o(MN,\s\up15(→))＝eq\o(MC,\s\up15(→))＋eq\o(CN,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)(e2－e1)－eq\f(1,4)e2＝－eq\f(2,3)e1＋eq\f(5,12)e2.(理)(2023·聊城市模拟)D为三角形ABC的边BC的中点，点P满足eq\o(PA,\s\up15(→))＋eq\o(BP,\s\up15(→))＋eq\o(CP,\s\up15(→))＝0，eq\o(AP,\s\up15(→))＝λeq\o(PD,\s\up15(→))，那么实数λ的值为________．[答案]－2[解析]如图，∵D是BC中点，将△ABC补成平行四边形ABQC，那么Q在AD的延长线上，且|AQ|＝2|AD|＝2|DP|，∵eq\o(PA,\s\up15(→))＋eq\o(BP,\s\up15(→))＋eq\o(CP,\s\up15(→))＝eq\o(BA,\s\up15(→))＋eq\o(CP,\s\up15(→))＝0，∴eq\o(BA,\s\up15(→))＝eq\o(PC,\s\up15(→))，又eq\o(BA,\s\up15(→))＝eq\o(QC,\s\up15(→))，∴P与Q重合，又∵eq\o(AP,\s\up15(→))＝λeq\o(PD,\s\up15(→))＝－2eq\o(PD,\s\up15(→))，∴λ＝－2.15．(文)四点A(x,0)、B(2x,1)、C(2，x)、D(6,2x)．(1)求实数x，使两向量eq\o(AB,\s\up15(→))、eq\o(CD,\s\up15(→))共线．(2)当两向量eq\o(AB,\s\up15(→))与eq\o(CD,\s\up15(→))共线时，A、B、C、D四点是否在同一条直线上？[解析](1)eq\o(AB,\s\up15(→))＝(x,1)，eq\o(CD,\s\up15(→))＝(4，x)．∵eq\o(AB,\s\up15(→))∥eq\o(CD,\s\up15(→))，∴x2－4＝0，即x＝±2.(2)当x＝±2时，eq\o(AB,\s\up15(→))∥eq\o(CD,\s\up15(→)).当x＝－2时，eq\o(BC,\s\up15(→))＝(6，－3)，eq\o(AB,\s\up15(→))＝(－2,1)，∴eq\o(AB,\s\up15(→))∥eq\o(BC,\s\up15(→)).此时A、B、C三点共线，从而，当x＝－2时，A、B、C、D四点在同一条直线上．但x＝2时，A、B、C、D四点不共线．(理)(2023·济南模拟)△ABC中，eq\o(AB,\s\up15(→))＝a，eq\o(AC,\s\up15(→))＝b，对于平面ABC上任意一点O，动点P满足eq\o(OP,\s\up15(→))＝eq\o(OA,\s\up15(→))＋λa＋λb，那么动点P的轨迹是什么？其轨迹是否过定点，并说明理由．[解析]依题意，由eq\o(OP,\s\up15(→))＝eq\o(OA,\s\up15(→))＋λa＋λb，得eq\o(OP,\s\up15(→))－eq\o(OA,\s\up15(→))＝λ(a＋b)，即eq\o(AP,\s\up15(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AC,\s\up15(→)))．如图，以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，对角线交于O，那么eq\o(AP,\s\up15(→))＝λeq\o(AD,\s\up15(→))，∴A、P、D三点共线，即P点的轨迹是AD所在的直线，由图可知P点轨迹必过△ABC边BC的中点(或△ABC的重心)．1．(2023·新乡市模考)设平面内有四边形ABCD和点O，假设eq\o(OA,\s\up15(→))＝a，eq\o(OB,\s\up15(→))＝b，eq\o(OC,\s\up15(→))＝c，eq\o(OD,\s\up15(→))＝d，且a＋c＝b＋d，那么四边形ABCD为()A．菱形 B．梯形C．矩形 D．平行四边形[答案]D[解析]解法一：设AC的中点为G，那么eq\o(OB,\s\up15(→))＋eq\o(OD,\s\up15(→))＝b＋d＝a＋c＝eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→))＝2eq\o(OG,\s\up15(→))，∴G为BD的中点，∴四边形ABCD的两对角线互相平分，∴四边形ABCD为平行四边形．解法二：eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(OB,\s\up15(→))－eq\o(OA,\s\up15(→))＝b－a，eq\o(CD,\s\up15(→))＝eq\o(OD,\s\up15(→))－eq\o(OC,\s\up15(→))＝d－c＝－(b－a)＝－eq\o(AB,\s\up1