概率论与数理统计第4章作业题解25554

千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐概率论与数理统计第4章作业题解25554按照已知条件，0a>，因此011a

a

XP，则)2(977.0)96(Φ==≤XP即有)2()72

96(

Φ=-Φσ

所以

272

96=-σ

得12=σ

所以)12,72(~2

NX

故所求的概率为)1|12

72

(|

)12|72(|)8460(≤-=≤-=≤≤XPXPXP6826.018413.021)1(2=-?=-Φ=

4.12对习题4.1中的随机变量X,计算2

2

()(54)EXEX+、.解：21.032.023.014.00)(22

2

2

2

=?+?+?+?=XE

144254)(5)45(22=+?=+=+XEXE

4.13设随机变量X的概率密度函数为

,0,

()0,

0,

xexfxx-?>=

≤?,分离计算2YX=的期望和2X

Ye-=的期望

解：由于)(~λEX，其中

1=λ，所以11

)(==

λ

XE

故212)(2)2()(=?===XEXEYE

3

1)()(0

30

222=

===???+∞

-+∞

--+∞

∞

dxedxee

dxxfe

e

Exx

x

x

X

4.14对球的直径做近似测量,设其值匀称分布在区间(,)ab内,求球体积的均值.

解：设球的直径测量值为X，体积为V，则有31

6

VXπ=

.明显X的概率密度函数为1

,

,()0,,

ax

bfxba

?≤≤=-?

其他

因此,球体积的均值为

2233111()()

()()6624

baababEVEXxdxbaπ++===-?.

4.15游客乘电梯从电视塔底层到顶层观光,电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从

底层起运行.设某一游客在早八点的第X分钟到达底层候梯处,且~[0,60]XU,求该游客迎候时光的期望.

解:用随机变量Y表示游客的迎候时光(单位:分钟),则()YgX=,其函数关系为

5,05,25,525,()55,2555,65,

5560.

xxxxygxxxxx-≤≤??-=≤?求()EXY.解：3

22)()(1

0=

?==

??

+∞

∞

-xdxxdxxxfXE，)()()(55

55

yyeyddyeydyyyfYE-+∞-+∞+∞

∞

--=?==?

?

?

61555

555

5

5=+=-=+-=+∞--+∞

+∞-?

y

yy

edyeye

由于X和Y互相自立，所以463

2

)()()(=?==YEXEXYE.

4.18设二维随机向量(,)XY听从圆域2

2

2

{(,):}DxyxyR=+≤上的匀称分布,求

E.

解:按照二维随机向量的计算公式：

2

22

(,),xyRExydxdy+∞-∞

-∞

+≤==?

?

??此积分用极坐标计算较为便利，于是有

2

22

1

23

RRErdrdRπ

θπ=

=

??

4.19设随机变量X与Y互相自立,并且均听从(0,)Uθ,求(max{,})EXY.解：因为X听从(0,)Uθ，故其分布函数为

0,0,

(),

0,1,.XxxFxxxθθθ≤???

=

>ρ

σ

σ,由此得到：

(,)(4,2;3,1,0),

XYN

:由于0,

ρ=所以X与Y互不相关。

4.29设二维随机向量(,)

XY的概率密度函数为

,02,02,

(,)8

0,,

xy

xy

fxy

+

?

≤≤≤≤

=

?其他

,求

XY

ρ.

解：由于，当2

0≤

≤x时，

4

1

8

)

,

(

)

(2

+

=

+

=

=?

?+∞∞-x

dy

y

x

dy

y

x

f

x

f

X

所以

6

7

)

3

2

(

4

1

4

1

)

(

)

(

2

3

2

2

=

+

=

+

?

=

=?

?∞+∞-x

x

dx

x

x

dx

x

xf

X

E

3

5

)

4

3

(

4

1

4

1

)

(

)

(

2

4

3

2

2

2

2=

+

=

+

?

=

=?

?∞+∞-x

x

dx

x

x

dx

x

f

x

X

E

于是

36

11

)

6

7

(

3

5

)

(

)

(

)

(2

2

2=

-

=

-

=EX

X

E

X

Var

由对称性得

6

7

)

(=

Y

E，

36

11

)

(=

Y

Var

又由于dy

y

x

xy

dx

dxdy

y

x

xyf

XY

E??

??+

=

=+∞

∞

-

+∞

∞

-

2

2

08

)

,

(

)

(

?

?+

=

?

+

?

=1

4

2

2

3

2

2)

3

4

(

)

3

2

(

8

1

dx

x

x

dx

y

x

y

x

3

4

)

6

12

(

2

2

3

=

+

=

x

x

所以36

1676734)()()(),(-=?-=-=YEXEXYEYXCOV故11

1

)

36/11()36/11(36/1)

()(),(-

=?-=

=

YVarXVarYXCOVXYρ.

4.30设二维随机向量(,)XY的概率密度函数为

(),0,0,

(,)0,

,xyexyfxy-+?=?

?其他，0,()0,yYeyfy-?>=??其他

明显，(,)()()XYfxyfxfy=，所以X与Y互相自立，从而互不相关。4.31设()25,()36,VarXVarY==0.4XYρ=,求()VarXY+和()VarXY-.解：由

)

()(),(YVarXVarYXCOVXY=

ρ得

1236254.0)()(),(=??=?=YVarXVarYXCOVXYρ

由于),(2)()()(YXCOVYVarXVarYXVar±+=±所以851223625)(=?++=+YXVar

371223625)(=?-+=-YXVar

4.32设X听从(0.5,0.5),cos,UYX-=求XYρ.解：因X听从(0.5,0.5),U-所以()0EX=.于是有