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第五章微分变换与雅可比5.1

微分变换为了补偿机器人末端执行器位姿与目标物体之间的误差，以及解决两个不同坐标系之间的微位移关系问题，需要讨论机器人杆件在作微小运动时的位姿变化。一.变换的微分

假设一变换的元素是某个变量的函数，对该变换的微分就是该变换矩阵各元素对该变量的偏导数所组成的变换矩阵乘以该变量的微分。若它的元素是变量x的函数，则T的微分为:例如给定变换T为：二.微分运动所以得

设机器人某一杆件相对于基坐标系的位姿为T，经过微运动后该杆件相对基坐标系的位姿变为T+dT，若这个微运动是相对于基坐标系（静系）进行的(右乘)，总可以用微小的平移和旋转来表示，即根据齐次变换的相对性，若微运动是相对某个杆件坐标系i（动系）进行的(左乘)，则T+dT可以表示为则相对基系有dT=Δ0T，相对i系有dT=TΔi

。这里Δ的下标不同是由于微运动相对不同坐标系进行的。所以得令三.微分平移和微分旋转由于微分旋转θ→0，所以sinθ→dθ，cosθ→1，Versθ→0，将它们代入旋转变换通式中得微分旋转表达式:微分平移变换与一般平移变换一样，其变换矩阵为:于是得四.微分旋转的无序性当θ→0时，有sinθ→dθ，cosθ→1．若令δx=dθx，δy=dθy，δz=dθz，则绕三个坐标轴的微分旋转矩阵分别为略去高阶无穷小量两者结果相同，可见这里左乘与右乘等效。同理可得结论：

微分旋转其结果与转动次序无关，这是与有限转动（一般旋转）的一个重要区别。若Rot（δx，δy，δz）和Rot（δx‘，δy’，δz‘）表示两个不同的微分旋转，则两次连续转动的结果为：上式表明：任意两个微分旋转的结果为绕每个轴转动的元素的代数和，即微分旋转是可加的。kxdθ=δx，

kydθ=δy

，

kzdθ=δz所以有由等效转轴和等效转角与等效，有即将它们代入Δ得因此Δ可以看成由和两个矢量组成，叫微分转动矢量，叫微分平移矢量。分别表示为

和合称为微分运动矢量，可表示为解：例：已知一个坐标系A，相对固定系的微分平移矢量，微分旋转矢量，求微分变换dA。五.两坐标系之间的微分关系因为将它们代入前面的方程现在讨论i系和j系之间的微分关系。不失一般性，假定j系就是固定系（基系）0系。得其中上式简写成对于任何三维矢量，其反对称矩阵定义为：相应地，任意两坐标系{A}和{B}之间广义速度的坐标变换为：例：知坐标系A及相对于固定系的微分平移矢量，微分旋转矢量，求A系中等价的微分平移矢量dA和微分旋转矢量δA。解：因为已知，可以根据前面的公式求得dA和δA。也可根据与它一样的另一组表达式（写法不同）求解，即求得

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