九年级数学上学期期末【压轴60题考点专练】(九上+九下全部内容)(原卷版)

九年级上学期期末【压轴60题考点专练】O，为的中ECDFAEDOBCAFCF；②③2AFCA．1个2．（2022·江苏·泰州中学附属初中九年级期末）如图，在正方形ABCD中，为斜边作等腰直角三角形．有下列四个结论：①∠CAF＝∠DAE；②FC2DE；③当∠AEC＝135°C．3个D．4个F是BC边上一点，连接AF，以AFAEF时，为E△的内心；④若点在上以一定的速度，从B往C运动，则点与点的FE运动速度相等．其ADCFBC中正确的结论的个数为（）A．1B．2C．3D．43．（2022·重庆实验外国语学校九年级期末）如图，矩形中，CD421，点为BC边的中点，点ABCDEFECDF，EC交于点，若CH:HE1:3且DC1在边上，AD将四边形沿着翻折得到四边形ECDFEFADH11111的延长线恰好经过点，则折痕EF的长为（）AA．614B．97C．123D．96·九年级期末）如图，在矩形ABCD中，AB2，BC4，F为中点，一点，设BPm(0m4)，连结并将它绕点APP顺时针旋转90°得到线段，连结CE、，则在点PEFBC；②点到边BC的距离为m；E③直线一定经过点；④的最小值为2．其中结论正确的是______．（填序号即可）CEEFDB0,4，A3,0，A5．（2022·新疆·乌鲁木齐市第二十九中学九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，2，为上任意一点，C是BP的中点，则OC的最大值是_____．的半径为PA6．（2022·河南·油田十中九年级期末）如图所示，在扇形中，OABOAAOB90，半径4，点F位于AB1位置．点、分别在线段、OB上，4，为CD的处且靠近点的ACD的中点，连接EF、．在BEOACDE3CD滑动过程中（CD长度始终保持不变），当EF取最小值时，阴影部分的周长为____________．A为顶点的抛物线3yxm2h交y轴于点B，作点B关于x轴的对称点C，连接AB、AC．若△ABC是直角三角形，则点A8．（2022·吉林沿A→D→B以2cm/秒的等边△PQE．·东北师大附中明珠学校九年级期末）菱形ABCD中，对角线BD=6cm，∠A=60°．点P从A出发，速度匀速运动，到点B停止，过P作边AB的垂线交AB于Q，以PQ为边向右作(1)菱形ABCD的边长为cm．(2)当P在边AD上运动时，用含t的代数式表示PQ、BQ．(3)连接BE，当△QEB是直角三角形求t的值．(4)当菱形ABCD的对角线BD平分△PQE的边时，t的取值范围是．时，B6,8．以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点，，的对应点分别为，，ABCDEO30时，(1)如图(2)如图(3)当点D落在线段AC上时，①，当求点D的坐标E落在OC的延长线上时，求点D的坐标；E的坐标（直；②，当点求点接写出结果即可）．10．（2022·湖南株洲·九年级期末）(1)[基础巩固]如图①，在三角形纸片ABC中，ACB90，将ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为10，将ABC折叠，使点B与点C重合，MN，则AM与BM的数量关系为______；(2)[思维提高]如图②，在三角形纸片ABC中，ACBC6，ABAM的值；BM折痕为MN，求(3)[拓展延伸]如图③，在三角形纸片ABC中，AB9，BC6，ACB2A，将ABC沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边AC上的点B处，折痕为CM．求线段AC的长；11．（2022·江西吉安·九年级期末）如图，矩形ABCD中，AB4，点E、F、G、H，分别是BC、CD、AD、(1)在图1中，点E，F，G，H分别是BC，CD，AD，AB上的中点．①判断四边形EFGH的形四边形EFGH是正方形，求BC的长；(2)在图2中，已知BC8，判断四边形EFGH的周长是状，并证明；②若否会随着点不变化，求出其周G的变化而变化，如长，若会变化，说明理由；1，在RtABC中，90，ACBBAC30，，点，BC4N12．（2022·河南信阳·九年级期末）如图MCM1中，边AC的长是______，的值为______；BN(1)观察猜想：图CM(2)探究证明：把AMN绕点顺时针旋转到如图2所示的位置，连接，，请求出的值；ACMBNBN(3)拓展延伸：把AMN绕点在平面内自由旋转，当以，，，N为顶点的四边形为平行四边形时，AABC请直接写出线段的长．CM13．（2022·辽宁大连·九年级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，M为AB中点，点P为BC延长线一点，CP＜BC，连接PM，AC＝n，CP＝m．(1)如图1，将射线MP绕点M逆时针旋转60°交CA延长线于点D，且BC＝AD+CP．①在图中找出与∠MDC相等的角，即∠MDC＝_______；m②求的值．n(2)如图2，若将射线MP绕点M顺时针旋转60°交AC延长线于点H，求CH的长．（用含有m、n的式子表示）14．（2022·河南周口·九年级期末）因式定理：对于多项式f(x)，若f(a)0，则(xa)是f(x)的一个因式，并且可以通过添减单项式从f(x)中分离出来．已知f(x)．x5x(k4)xk32(1)填空：当x1时，f(1)0，所以(x1)是f(x)的一(x1)g(x)．则g(x)________________；个因式．于是f(x)44xkxkxxx232(2)已知关于个等腰三角形的三边长，求实数k的值．x的方程f(x)0的三个根是一15．（2022·辽宁大连·九年级期末）如图1，在△ABC中，点E在△ABC内部，连接线段EB和EC，使∠ECB(2)点D是BC边上一点，连接DE，当BD＝AC时，探究线段AB，CE，DE之间的数量关系并证明；3BK的值为AK(3)如图2，在（2）的条件下，若∠A＝90°，延长DE交AB于点K，当AC＝CD时，直接写出2_____．16．（2022·福建莆田·九年级期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点F是AB的中点．点D为边BC上一点，连接AD．在AD上取一点E，使得∠DEB＝45°，连接CE，EF．(1)如图1，当点C，E，F三点共线且EF＝1时，求CE的长；(2)如图2，当点D在线段BC上运动时，探究CE与EF数量关系的变化情况．，CAB30，点P从点A出发，17．（2022·湖南张家界·九年级期末）如图，在矩形ABCD中，AB33每秒个单位长度的速度沿方向运动，点从点出发，以每秒ABQC2个单位长度的速度沿对角线方向CA3P,Q两点同时出发，当点到达点时，，PQ两点同时停止运动，连接，设运动时间为PQt运动．已知秒．QA(1)BC_______，AC_______．(2)当t为何值时，△的面积为．3APQ(3)在运动刻t，使所得△APQ沿它的过程中，是否存在一个时一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．t(4)当点P关于点Q的对t的取值称点落在ACD的内部（不包括边上）时，请求出范围．（直接写出答案）P18．（2022·重庆·九年级期末）如图1，为等边三角形，D为AC右侧一点，且，连接BD交ACABCADAC于点，E延长、交于点．FDACB(1)若BAF30，AF3，求AD；(2)证明：CFAFAE；(3)如图2，若AB2，G为BC中点，连接AG，M为AG上一动点，连接CM，将CM绕着M点逆时针旋转90°到MNANCNAN，连接，，当最小时，直接写出AMN的面积．19．（2022·四川成都·九年级期末）如图1，直线y＝﹣x+42与x，y轴的交点A，B，与反比例函分别为点6数（＞x0）的图象的两交点分别为点，，点是反比例函数上一动点．CDyMx(1)求△OCD的面积；(2)是否存在点M，使得△ODM∽△OAD？若存在，若不存在，请说明理由．(3)过点M分别作x轴和y轴的E，F，是否存在点部分的面积S等于？若存在，请求出点M的坐标；垂线，垂足分别为M，使得矩形OEMF与△OCD的重叠23请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．M620．（2022·福建泉州·九年级期末）如图1，正方形边长为，4，点P是直线BC上的一动点，连接DPABCD(1)请直接写出正方形ABCD的面积；(2)当BP为何值时，点C落在的边上；DPE(3)如图2，若点P在线段上从B向C运动，当BP为何值时，线段的长度最小？请求出CE的最小值，CEBC并直接写出点E所经过的路径的长度．21．（2022·浙江衢州·九年级期末）已知四边形ABCD与AEFG都是正方形．DG1，点C在线段AF上，求的值．CF(1)【观察思考】如图(2)【深入学习】固定图1中的正方形ABCD，把正方形AEFG绕着点A逆时针旋转（0°＜α＜180°），如图2DG所示，连结，，还等于【观察思考】中的值吗？说明理由．CFDG(3)【类比探究】在正方形AEFG旋转过程中，设CF，DG的中点分别是△AMN的形状，并证明你的猜想．CFM，N，连结AM，MN，NA．①猜想MN②当＝，∥时，求的值．ACAGMNADAD22．（2022·山西·汾阳市海洪初级中学校九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝8，AB＝12，∠AE，G分别在边AB，AD上，且AE＝14AB，AG＝14AD，作EF∥AD、GH∥AB，EF与GH交于点O，分别在OF、OH上截取OP＝OG，OQ＝OE，连结PH、QFA交于点I(1)四边形EBHO的面积四边形GOFD的面积（填(2)比较∠OFQ与∠OHP大小，(3)求四边形OQIP的面积．“＞”、“＝”或“＜”）；并说明理由．23．（2022·山东济南·九年级期末）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=60°，AC=2，点1A，B为1边AC，BC的中点，连接AB，将△ABC绕点C逆时针旋转α（0°≤α≤360°）．1111BB(1)如图1，当α=0°时，______，BB，AA所在直线相交所成的较小夹角的度数为______；1AA11(2)将△ABC绕点C逆时针旋转至图12所示位置时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若11不成立，请说明理由；(3)当△ABC绕点C逆时针旋转过程中，11①请直接写出△ABA面积的最大值；1②当A，B，B三点共线时，请直接写出线段BB的长．11124．（2022·山东济南·九年级期末）（1）如图1，正方形ABCD与调研直角△AEF有公共顶点A，∠EAF＝90°，BEβ，则＝________；DFAβ＝________；（2）如图2，矩形与△有公共顶点，＝90°，且＝2，＝2，连接、，ABCDRtAEFEAFADABAFAEBEDFA∠BE的值及β的度数，并DF将△绕点旋转，在旋转过程中，直线、相交所成的角为β，请求出RtAEF2进行说明；（3）若平行四边形ABCD与△AEF有公共kAE(k≠0)，将△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE、DF相交所成的＝________；ABEDF结合图项点A，且∠BAD＝∠EAF＝α(0°＜α＜180°)，AD＝kAB，AF＝锐角的度数为：β，则BEDF①②请直接写出α和β之间的关系式．25．（2022·浙江舟山·九年级期末）如图1，正方形OABC边长是2，以OA为半径作圆，P为弧AC上的一点(不与)，过点P作PM⊥AB交AB于点M，连结PO、PA，设PM＝m，PA＝n．A、C重合(1)求证：(2)探求m、n的数量关系，(3)如图2：连结PB，设PB＝h，求2h＋2m的最小值．∠POA＝2∠PAM；并求n-m最大值；26．（2022·辽宁大连·九年级期末）在△ABC中，D为AC上一点，且AC＝kAD，E是BC上一点，BD于AE(1)如图1，若∠BAC＝120°，AB＝AC．①找出与∠ABD相等的角，并证明；BD②求的值．AEAO(2)如图2，若BE＝2CE，求的值．AB27．（2022·重庆渝北·九年级期末）如图1，在平行四边形ABCD中，E为边CD上一动点，连接BE交对角(1)如图M是BF的中点，3，CF2，求BC的长；AMAF2，若ABAC，EBC30，AC的垂直平分线交BE的延长线于点1，若对角线AC⊥AB，点(2)如图G，连接AG，CG，AM平分AMBMGM；交于点，求证：∠BACBEM(3)如图3，当点E在运动过程中满足BCE为等边三角P使形时，若否存在一点BC4；在BCE内部是PBPCPE有最小值，若存在，直接写出PBPCPE的最小值，若不存在，请说明理由．28．（2022·山西晋中·九年级期末）综合与实践数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知AD矩形纸片宽6．（1）如图ABCD1，腾飞小组将矩形纸片折叠，点落在DC边上的点处，折痕为，连接，然后ADEAEA（2）如图F折叠，使点正好落在边上的点处．连接，，将纸片展平，CGDGGFAB①求DFG的面积；②连接，线段与线段交于点，则MCGDF（3）如图3，探究小组将图1的四边形剪下，在边上取一点，使N，将沿△ANDAEADAD直接写出AD的长度．△ANDACBBAC29．（2022·黑龙江齐齐哈尔·九年级期末）等腰直角三角形中，90，为的角平分线，ABCAECFAEC作，垂足为点，交于点．FHCF1，与的数量关系为__________；的值为__________；AGCHAG（1）如图（2）如图2，以点C为位似中心，将做位似变换，得到△，使△与的相似比为CAECAECAECAECF'F，隐去线段，试求的值；AEA'G'k0k1，与、的交点分别为，GAECDCH3，将（2）中的等腰直角三角形改为等腰三角形，30，且其他条件不变，B（3）如图CF①AG的值为__________；②若CF'3，直接写出△的面积．AGC30．（2022·辽宁沈阳·九年级期末）如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝16，（1）求菱形ABCD的面积及周长；（2）点是射线上一个动点，作射线，交射线于点．将射线绕点逆时针旋转后交射线MEB1于点，旋转角为∠NMBN，且∠MBN＝∠BAD，连接MN．2①如图2，当点N与点O重合时，求△AMN的周长；②当AE＝BE时，请直接写出AM的长为；③BN＝35时，请直接写出AM的长为．31．（2022·浙江·舟山市定海区第五中学九年级期末）如图，点F在四边形ABCD的边AB上，（1）如图①，当四边形ABCD是正方形时，过点B作BE⊥CF，垂足为O，交AD于点E．求证：BE＝CF；OC上，求的值；BDOE②如图③，点P是BC上的一点，过点P作PE⊥CF，垂足为O，点O恰好落在对角线BD上，延长EP、AB交于点G，当BG＝2时，DE＝．32．（2022·河南平顶山·九年级期末）如图1，在正方形中，点E是边BC上一点，且点E不与点、ABCDBC重合，点是BA的延长线上一点，且．FAFCE（1）求证：DCE≌DAF；（2）如图2，连接EF，交AD于点K，过点作DDHEF，垂足为H，延长DH交BF于点G，连接HB,HC．①求证：HDHB；②若DKHC2，求HE的长．33．（2022·福建泉州·九年级期末）【推理】如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，≌CE9，，求线段DEH若的长．HF5【拓展】AB于，两点，若k，ADGBCCFBF（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长，交直线HD4DE，求的值（用含k的代数式表示）．ECHF534．（2022·山西临汾·九年级期末）【证明体验】（1）如图1，AD为ABC的角平分线，ADC60AEAC，点在上，．求证：DE平分ADB．EAB【思考探究】（2）如图2，在（FAB1）的条件下，为上一点，连结交于点．若，，，GFBFCDG2CD3ADFC求的长．BD【拓展延伸】BAD,BCA2DCA，点在上，ABC．若（3）如图3，在四边形中，对角线平分ACEACABCDEDCBC5,CD25,AD2AE，求的长．AC35．（2022·湖南·邵阳市第十六中学九年级期末）[感知]如图①，在▱ABCD中，点E为CD的中点，连接BEF．求E是BF的中点，点D是AF的中点并延长交AD的延长线于点证：点；[应用]如图②，在四边形ABCD中，AD//BC，∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝3，点E是CD的中点，BE⊥CD，BE、AD的延长线相交于点F，则AF＝．点，点E是AB上一点，BEEA=12，BD，CE相交于点F，则FCEF③，在[拓展]如图△ABC中，点D是AC的中＝．36．（2021·湖北·公安县教学研究中心九年级期末）如图，抛物线yax2bx3交x轴于A(-2，0)、B(3，0)两点，与轴交于点C，连AC、BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，yA(x，y)与点B(x，y)的距离为(xx)2(yy)2）BC11221212(1)求抛物线的表达式；(2)过点P作PN⊥BC，垂足为点求出当m为何值时PN有最大值，(3)试探究点M在运动过D的坐标；若不存在，请说明理由．N．设M点的坐标为M(m，0)，请用含m的代数式表示线段PN的长，并最大值是多少？程中，平面内是否存在点D，使得以A、C、Q、D为顶点的四边形是菱形．若存在，请求出点Px,y，Px,y，我们把xxyy平面直角坐标系中，有两点11137．（2022·江苏南通·八年级期末）2221212叫做P，P两点间的“转角距离”，记作,．dPP12123,2dO,AO为坐标原点，则______；(1)若为，APx,y满足O为坐标原点，动点dO,P2，请写出yx与之间满足的关系式，并在所给的直角坐(2)已知标系中画出所有符合条件的点所组成的图形；P,M1,1，点为抛物线求dMN的最小“转角距离”．(3)若yx1上一动点，2N38．（2022·新疆·乌鲁木齐市第五十四中学九年级期末）如图，抛物线yax22xc（a＜0）与x轴交于点和点（点在原点的左侧，点在原点的右侧），与轴交于点，COB＝OC＝3．BAByA(1)求该抛物线的函数解析式；(2)如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点SF，当:SCODCOB＝1：3时，求点的坐标；F3(3)如图2，点E的坐标为（0，﹣），在抛物线上是否存在点P，使∠OBP＝2∠OBE？若存在，请求出点2的坐标；若不存在，请说明理由．P39．（2022·重庆永川·八年级期末）如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点P在对角边DC于点E．线AC上，B，另一条直角边交一条直角边经过点(1)求证：PB=PE；(2)如图2，移动三角板，使三角板的直角顶点DC的延长线于点E，PB=PE还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(3)在图必证明）．1中，请直接写出线段PC、PA、CE之间的一P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交个等量关系（不3A抛物线y2axaxb经过1,0，C2,40．（2022·湖南·长沙市一中双语实验中学八年级期末）如图，221两点，与x轴交于另一点．B(1)求此抛物线的解析式；(2)若抛物线的顶点为，点为线段上一动点(不与点重合)，点在线段上移动，且QMBMOBPB2PM2MQMB，设线段OPx，MQ，求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；y222PMAP并直接写出的值；PQBQxn(3)在同一平面直角坐标系中，两条直线，分别与抛物线交于点，G，与（2）中的函数图象交xmEH.于点，m，n之间的数量关系；若不能，请说明理由．问四边形能否为平行四边形？若能，求EFHGF41．（2021·贵州0）、B（4，0），与y轴交于点沿直线BC翻折得到．△BP'C，P'C交拋物线的·兴仁市真武山街道办事处黔龙学校九年级期末）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣2，C，点P为线段AB上一动点（不与点B重合），连接PC、AC、BC，将△BPCQ，连接QB．另一点为(1)求抛物线的表达式；(2)求四边形QCOB面积的最大值；(3)当CQ：QP'＝1：2时，点①若△NQP'的面积为△MQC面积的D在直线NQ上，点E在x轴负半轴上，当△ADE∽△ABC时，求点N为抛物线上一点，直线NQ交y轴于点M，8倍，求出点N的坐标；②在①的条件下，点E的横坐标（直接写出答案）．ACBtanBnCDABRtABC中，90，42．（2022·湖南长沙·八年级期末）在D，于点．AD1，求证：n2；DB(1)如图3n4BE5MC3CN，则4GFCF2，AFCE于点G，交于点，若，，求的值；(2)如图BCFAGn______．(3)如图3，为中点，交于点MDBCN，若ACM43．（2022·浙江·宁波市鄞州区中河街道宋诏桥初级中学九年级期末）有一组邻边相等且对角互补的四边形(1)如图∠B的度数；(2)如图2，四边形ABCD内接于⊙O，连接DO交AC于点E（不与点O重合），四边形ABCD是等邻边互补四边形1，在等邻边互补四边形ABCD中，AD＝CD，且AD∥BC，BC＝2AD，求若E是AC的中点，求证：；24(3)在（2）的条件下，延长DO交BC于点F，交⊙O于点G，若BGAB,tanABC7，AC＝12，求FG的长；(4)如图3，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝BC，BD为⊙O的直径，连接AO并延长交BC于点E，交⊙OEF＝，y，求y与x之间的函数关系式．于点F，连接FC，设tan∠BAFxAE44．（2022·江苏南京·八年级期末）我们知道，四边形有两组对边，两组对角，两条对角线．已经研究了，如果四边形满足下列条件之一：①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③一组对边平行且相等；④对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形．由此，进一步探究(1)如图①，在四边形ABCD中，(2)命题：如果四边形满足一组对边平行且是真命题，(3)命题：如果四边形满足一组对边相等且一条对角线平分①小明认为这是他先画出四边形ABCD的一条边AB，一条对角线BD．请∠A＝∠C，∠B＝∠D．求证：四边形ABCD是平行四边形．另一组对边相等，那么这个四边形是平行四边形．如果这个命题请证明；否则，请画出一个反例示意图，并标明所满足的条件．另一条对角线，那么这个四边形是平行四边形．假命题，尝试画出反例．如图②，你利用无刻度直尺和圆规在图②中画出反例．（保留作图痕迹，不写作法）②小明进一步探索发现，在四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC、BD相交于点O，且OB＝OD，BD＝8，∠AOB＝60°，对的平行四边形ABCD的个数随着AB长度的变化而变化，ABCD的个数及对应的AB的长的取值范围．于满足条件直接写出平行四边形45．（2022·浙江宁波·九年级期）末如图1，在正方形ABCD中，点E是AD边上一点，点P为BC边上一点，PEACEDDCE，DEm．，设PE交AC于点F，已知(1)请直接写出______，EPC______，PC______（用或m相关的代数式表示）；PEC(2)作FGCE分别交CE、于、CDG（如图2），求的长；HCG(3)连接，若AB1，求的最小值；DHDH(4)在（3）的条件下，请直接写出取最小值时，______．SDH△EFH46．（2022·江西赣州·九年级期末）如图，已知点M（﹣2，0），a＜0，n为正整数．抛物线C1：y＝a（x﹣1）112＋k交轴于点与点（，0），：＝（﹣）2＋k交轴于点与点（，Ab0），：＝xMAbCyaxbxMCya1112221222331bnxb2kxMAb0），…按此规律，：＝（﹣）＋．交轴于点Cnynax2﹣1knx223332与点（，Anbn0）．M(1)填空：b1＝，b2＝，b3＝，An﹣1An＝；(2)用含a的代数式表示：抛物线y的顶点坐标为；抛物线yn的顶点坐标为；3(3)设抛物线Cn的顶点为Pn．①若△MP10A10为等腰直角三角形，求a的值；②直接写出当a与n满足什么数量关系时，△MPnAn是等腰直角三角形．47．（2022·江西赣州·九年级期末）在正方形ABCD中，点F在射线AD上（不与A、D重合），连接CF，以CF为对角线作正方形CEFG（C，E，F，G按逆时针排列），连接BE，DG．(1)如图(2)由正方形的性质可知∠CDG＝°；F在线段AD上时，判断CD、FD、BE三条线段之间的数量关系，并说明理由．F在线段AD延长线上时，2作出图形，直接写出CD、FD、BE三条线段1，当点F在线段AD上时，求证：BE＝DG；∠CDF＝∠CGF＝90°，即D，G两点均在以CF为直径的同一个圆上．①请直接回答：②如备用图，当点③当点请在备用图之间的数量关系．48．（2022·湖南·长沙市华益中学九年级期末）在三角形中，等腰直角三角形是非常特殊且重要的几何图形，它们不仅图形优美且性质众多，基于理解，请认真阅读并解决下列问题．k(1)如图1，平面直角坐标系xoy中，点A（4，0），点P为反比例函数（k0）图象上一点且在第一yx象限，若△OPA为等腰直角三角形，求反比例函数的解析式；2，直线4k（k0，k为常数）与坐标轴分别交于ykx(2)如图A，B两点，△OAB为等腰直角三角形，，是线段上两动点（在的左边），且始终满足∠=45°，问：AC·BD是否为COD定值，若是，求CDABCD出其值；若不是，请说明理由；yax（a为正整数，bxc(3)如图3，抛物线b、c为常数）与x轴正半轴交与个条件：①△ABD是等腰直角三的上方．求抛物线的二次项系数a．A、B两点，与y轴正半21轴交于点，C顶点为点，连接D，，，．若抛物线满足ACADBCBD以下三14y2x；③抛物线图象始终在直线角形；②∠∠OCA=OBC2已知，如图，yx将抛物线11，yx22211yx323，2，49．（2022·江西赣州·九年级期末）1C，E，F，．（为正整数）称为“系列抛物线”，其分别与x轴交于点，，，nnOAB2xn，yn(1)①抛物线的顶点坐标为______；y1②该“系列抛物线”的顶点在______上；xn2③yn与x轴的两交点之间的距离是．______nyxn2n的顶点及该抛物线与轴两交点为顶点的三角形是等边三角形？n，使以x(2)是否存在整数n(3)以yxn2n的顶点为一个顶点作该二次函数图象的内接等边△PMN（M，N两点在该二次函数nP的图象上），请问：的面积是否会随着n的变化而变化？若不会，请求出这个等边三角形的面积；若PMN会，请说明理由．50．（2022·江苏宿迁α（0≤α≤360°）得到线段BC，过点BC相交于点H．·九年级期末）如图，已知AB⊥MN于点B，且AB＝10cm，将线段AB绕点B按逆时针方向旋转角C作CD⊥MN于点D，⊙O是△BCD的内切圆，直线AO、(1)若α＝60°，则CD＝(2)若AO⊥BCcm．①点H与⊙O的位置关系是A．点H在⊙O外B．点H在⊙O上C．点H在⊙O内②求线段AO的长度．(3)线段AB绕点B按逆时针方向旋转90°，求点O运动的路径长．51．（2022·福建泉州·九年级期末）已知点P（0，﹣4）为平面直角坐标系内一点，直线L绕原点O旋转，（0，﹣2）的拋物线y＝14x2+c于M、N两点．交经过点(1)请求出该抛物线的解析式；(2)设∠MPO＝α°，试用含α的代数式表示∠MPN的度数；(3)在直线L绕原点O旋转的过程中，请你研究一下（PM+MO）（PN﹣NO）是否定值？若是，请求出这个定值，若不是请说明理由．52．（2022·江苏宿迁·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+2x﹣3交y轴于点C，交x轴于点A（a，0）和点B（b，0），P是第三象限抛物线上一点，直线y＝kx+c经过P、B两点，交y轴于点D．44/52

(1)a＝．(2)若直线y＝kx+c上存在一点k、c的值．，b＝Q，以Q为圆心，QA为半径的圆恰好同时经过B、C两点，请直接写出点Q的坐标，并求(3)聪明的小颖发现，若设1mk2PByx，从而可得到直线的解析式为＝（m+3）（﹣1）．1m3cP点的横坐标为m，则可直接得到方程x+2x﹣3＝kx+c的解为x＝1，x＝m，再212根与系数关系可得：①利用小颖发现的结论，当点P在抛物线的对称轴上时，直线PB的函数表达式．②若直线AP与y轴相交于点E，是否存在λ，使λ•OD+OE为定值常数？如果存在，请求出这个定值，如果不存在，说明理由．53．（2022·辽宁大连·九年级期末）在平面直角坐标系xOy中，已知函数C：y＝x2+bx+c，C2：y＝12x2+1x+c，12其中b，为cC常数，的图象记为，的LC图象记为L；点（A1，1）在上，直线＝﹣与bx轴交于点L1x1122，与，LL分别交于点和点．CDB12(1)c＝______（用含(2)点M的坐标为（b﹣1，0），以BC，BM为邻边作矩形BCNM，当图象b的取值范围；(3)连接OC，OD，当△OCD是等腰三角形时，求L在矩形BCNM内的部分从左到154．（2022·浙江台州·九年级期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，CD平分∠ACB交⊙O于点D，OE⊥AC交AC于点E，交CD于点F，连接BD；(1)如图(2)如图2，过O作OG⊥CD于G，交BC于H，求证：BH=OF；(3)如图3，连接BF，若BF=BD，OF=1，求⊙O半径．（1，求∠OFD的度数．