燕博园2019届高三综合能力测试CAT二数学文试题全国卷解析

燕博园2019届高三年级综合能力测试（CAT）（二）文科数学（全国卷）一、选择题：本题共12小题,每题5分,共60分．在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项吻合题目要求的．1．已知会集A{1,a},B{xZ|1x1},若AIB,则实数a的值为（）A．1B．0C．1D．0或12．以下函数中是偶函数且在其定义域上存在最大值的是（）．C．ylgx1x2yx3D．yyx1BA23．函数ysin(2x)相邻的一个对称中心和一个对称轴的距离是（）A．B．C．D．与相关244．方程logx2x0的根所在的一个区间是（）22A．11,．1,1D．(2,2)42BC．(1,2)25．△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a22,c4,acosBbsinA,则b（）A．22B．4C．8D．236．已知直线l与正方体ABCDABCD的所有面所成的角都相等,且lI平面BBDDH,则l与平面111111BBDD所成角的正切值是（）11．B．22D．5A2C．27．若某三棱锥的三视图是三个腰长为2的等腰直角三角形,以下列图,则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．12B．23C．4D．(33)8．已知eO:x2y24y30,直线l:yx,若过直线l上的点P所作的eO的两条切线互相垂直,则点P的坐标是（）A．11,B．(0,0)或(2,2)C．(1,1)D．2,2或4,42233339．如图是来自统计局的相关2013～2017年我国的三次产业增加值占国内生产总值比重的统计图2013～2017年该国的三次产业增加值占国内生产总值比重的相关判断错误的选项是（．．）

,以下关于A．2013年第三产业增加值约为第一产业增加值的5倍B．第一产业占国内生产总值的比重在逐年减少C．第三产业占国内生产总值的比重最低的年份是2013年D．第二产业在2017年的增加值比2015年的增加值低．已知函数f(x)exa都有f(x)≥1,则a的取值范围是（）10,x(0,),xA．{1}B．(,1]C．[2,)D．(0,1]11．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如将必然数目的点在等距离的排列下可以形成一个等边三角形,这样的数被称为三角形数．以下列图,三角形数1,3,6,．在1～100这100个自然数中随机取一个数,恰好是三角形数的概率是（）1317133A．100B．C．D．100100412．已知离心率为e,焦点为F,F的双曲线C上一点P满足sinPFFesinPFF0,则双曲线的离心率121221e的取值范围为（）A．(1,2]B．(1,3]C．(1,2]D．(1,12)二、填空题：本题共4小题,每题5分,共20分．把答案填在题中的横线上．13．已知复数为(1ai)2bi(a,bR),则abi．x≥114．已知实数x,y满足拘束条件xy≤3,则z2xy的最小值为．y≥x315．已知sin21,且0,则2sin．444PAPBPCPD16．等腰梯形ABCD中,AB//CD,AD4,BCD60,P是梯形ABCD内的一点,则uuuruuuruuuruuur的最小值是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题,每个试题考生都必定作答．第22、23题为选考题,考生依照要求作答．（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）各项均不为零的数列{a}前n项和为S,数列{na2}前n项和为T,且a2,TS2(n1,2,3,L)．nnnn1nn（1）求a的值；2（2）求数列{a}的通项公式．n18．（本小题满分12分）,PABCD中,BC2,AD//BC,E为棱PA的中点,BE//平面PCD．如图在四棱锥PBAB2BE,平面PAB平面PBC．（1）求证：平面

ABCD

平面

PBC；（2）若点

F

在PD

上,且

AF

PD,AD

BE,求证：

BF

PC

．PFEBCAD19．（本小题满分12分）2018年6月25日,赶集网宣布了《2018年毕业生就业报告》,2018年全国高校毕业生人数达到820万人,再创近7年毕业生人数新高．中国高等教育发展实现了从精英教育到一般化,用十年走过了其他国家三十年、五十年甚至是更长时间的道路．下表是近7年高校毕业人数（精确到十万位）（数据本源：中商产业研究院整理）年份2012201320142015201620172018年份代号x1234567毕业人数y（百万人）6.87.07.37.57.78.08.2（1）求y关于x的回归方程（系数保留两位小数）；（2）利用所求回归直线方程解析2012年至2018年全国高校毕业生人数的变化情况,并展望2023年全国高校毕业生人数．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：?b

n(xx)(yy)ii?i1,a?ybx．n(xx)2i1i20．（本小题满分12分）经过抛物线C：2mx的焦点F作斜率为k的直线,分别交抛物线C于点A、B,点P(1,2)在抛物线C上,直线y1经过线段AB的中点M与点P．（1）求抛物线C的焦点坐标；（2）作斜率为k的直线m交抛物线于C、D,若kk1,直线l经过线段CD的中点N,求证：直线m经过定212点．21．（本小题满分12分）已知函数f(x)sinxax1x3．6（1）求函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；2）若f(x)存在极小值点x与极大值点x,2ax2．（求证：x1212（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．若是多做,则按所作的第一题计分．22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）已知点A(2,0),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为cos1,点P为曲线C上的动点．（1）写出点A的极坐标及曲线C的直角坐标方程；（2）当APO为最大值时,求△PAO的外接圆的参数方程．23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知函数f(x)x2ax．（1）当a1时,求不等式f(x)≥2的解集；（2）可否存在实数a,使得{x|f(x)≥,a,的值；若不存在R？若存在求出说明原由．燕博园2019届高三年级综合能力测试（CAT）（二）文科数学（全国卷）参照答案1．答案：B解析：A{1,a},B{0},QAIB,a0．2．答案：D解析：选项A,D为偶函数,选项B为奇函数,选项C的定义域为(0,),是非奇非偶函数．选项A,yx21,当x0时,y获取最小值1,选项D,因为x≥0,所以y1x≤101,即存在最大值1,应选D．223．答案：C解析：函数ysin(2x)的周期TT．,则其相邻的一个对称中心和一个对称轴的距离是444．答案：B解析：f(x)logx2x,则f1log11310,f1log112110,2242822224121210,所以原方程的根所在的一个区间为1,1．f(1)log2225．答案：A解析：由acosBbsinA及正弦定理可得sinAcosBsinBsinA,又因为sinA0,所以cosBsinB所以B,由余弦定理得：b2a2c22accosB81622242b22．8,426．答案：B解析：因为直线l与正方体ABCDABCD的所有面所成的角都相等,所以直线l沿着正方体体对角线的方向,1111不如设l为AC,则H为平面BBDD的中心,连接AC,ACIBDO,易证得：AC平面BBDD,所以11111111111111AHO即为l与平面BBDD所成的角,1111tanAHOAO2．11DC11OH111O1A1B1HDC7．答案：AAB解析：该三棱锥的直观图以下列图2的正方体,三棱锥的外接球即为正方体的外接球,,可将其还原成一个棱长为外接球的直径即为正方体的体对角线,所以2R23,R3,外接球的表面积S4R2128．答案：C解析：eO的标准方程为22圆心为半径过点所作的eO的两条切线互相垂直所以x(y2)1rP,,(0,2),1,点P与圆心的距离为2r2,因为点P在直线yx上,所以可设P(t,t),所以t2(t2)22,所以(t1)20,t1,故点P的坐标是(1,1)．9．答案：D解析：第二产业在2017年的增加值占国内生产总值的比重比2015年的增加值占国内生产总值的比重低。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10．答案：B解析：x(0,),f(x)exa≥1,即exa≥x,ex≥0,设g(x)e则g(x)e1,xaxxaxa当a≤0时,则g(x)0,g(x)在(0,),g(x)g(0)ea≥1恒建立,满足题意；恒建立所以上单调递加所以当a0,令g(x)0,得xa,当0xa时,g(x)0,g(x)单调递减,当xa时,g(x)0,g(x)单调递加,所以当xa时,g(x)获取最小值g(x)g(a)1a,由题意可得≥解得≤即≤综上可1a0,0a1min知,a的取值范围是(,1]．11．答案：A解析：三角形数123Lnn(n1),当n13时,n(n1)91,当n14时,n(n1)105,所以所求概率为13．22210012．答案：D解析：在△PFFPF2sinPFFPFe,中,由正弦定理可得sin12,所以212PFPFFPF1211因为PF22aPF2aP为双曲线的左极点(a,0)时,PF获取最小值,PFPF11,所以当点2获取最大值PFPF1PF1111cae1,e1e2e10,,整理得cae1所以12e解得12e12,又因为e1,所以e(1,12)．1313．答案：41a2ba1解析：1a22ai2bi,所以1,2ab34所以abia2b213．414．答案：6解析：作可行域为以下列图的△ABC,其中A(1,2),B(1,2),C(3,0),则z0,z4,z6,

yACOxxy3BABC所以zz6．x1minCyx315．答案：

32解析：2sin42sincoscossinsincos,44(sincos)212sincos1sin230,sincos,又因为所以44所以sincos3．216．答案：12uuuruuuruuuuruuuruuuruuur1：取AB中点M,CD中点N,MN23解析：解法则PAPB2PM,PCPD2PN,所以uuuruuuruuuruuur4uuuuruuuruuuuruuur3,故PMPNPAPB,当点P为MN的中点时,获取最小值PCPDPMPNuuuruuuruuuruuur12．PAPBPCPD的最小值是以D为坐标原点建立以下列图平面直角坐标系,设ABt,则A(2,23),B(t2,23),uuuruuuruuuruuurC(4t,0),D(0,0),P(x,y),PAPBPCPD(2xt4,2y43)(2xt4,2y)t22ttuuuruuuruuuruuur4x24(y3)12,x2,y3,P2,3,PAPBPCPD22212

yAMBABPDNCDCxa2,T21,2,3,L),2212:S(n42a(2a).2171nn22a4,a0.422TS2(n1,2,3,L),TS2(n2,3,L)nnn1n1na2(SnS)a6nn1na0,naSSn(SS)Sn1S(n≥2)8nnnn1nn1nn1n1nn1L43Sn1S2n(n1)(n≥2),9nn1nn3211n1,aSS2n(n1)11nnn1n1,,a2n12n1812PBAB2BE,EPA,APBE,ABE,ABBP,24PABPBC,PABIPBCPB,ABPBC,4ABABCD,EEM//ADBE//PCD,BE

ABCDPBC5PDM,CM,BCME,PCDIBE//MC,BCMEMC,APBE,ADBE,ADIAPA,BEPAD.BE//MC,6MCPAD.AFPAD,MCAF.7AFPD,PDIMCM,AFPCD,PCPCD.PCAF.9,ABPBC,PCPBC,ABPC.PCAF,ABIAFA,PCABF.11BFABF,BFPC.12PFEMBCAD1912x4,y6.87.07.37.57.78.08.27.5,277x)(yy)(xiii1(14)(6.87.5)(24)(7.07.5)347.37.5447.57.5547.77.5648.07.5748.27.56.647(xx)294114928,5ii17(xx)(yy)i1ii0.24,a6.547(xx)2?i1iy0.24x6.547yx??0.240,b2012-2018,24,102023x12y9.42,可展望2023年全国高校毕业生人数大体是942万人.1220P(1,2)C:y2mx,m4,Cy24x2CF(1,0)4lx,ly2k(x1),AByk(x1),A(x,y),B(x,y)mykxb,C(x,y),D(x,y)1112223344yk(x1)y24x,ky24y4k00,111yy,xxy11y212,6k1kkk121111ABM(21,2),ly2k(x1),k2k11kkk2kk,7111222,yy4.22y4x,ky4y4b004ykxkb32Ny2ykxb,x2bk,Nk22Nk222lCDN,N2bk2ly2k(x1),2,k2k222k(2bk21),kkk,9k2k1222k2bk0bk,mykxk.1122222m(1,0).1221（Ⅰ）解：f(0)0,f'(x)cosxa1x222f'(0)1a,所以函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y(1a)x；4（Ⅱ）设g(x)f(x),g'(x)xsinx,设h(x)g(x),h'(x)1cosx≥0,所以所以[0,),h(x)≥≥0g'(x)0,,所以g(x)(0,)6当a≤1时,g(0)1a≥0