2022-2023学年福建省龙岩高二年级下册学期第一次月考数学试题【含答案】

2022-2023学年福建省龙岩高二下学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知函数在处的导数为，则（

）A．1 B．2 C． D．6【答案】B【分析】先对进行化简变形，转化成导数的定义式，即可解得.【详解】在处的导数为，，则.故选：B2．如图所示是函数的图象，其中为的导函数，则下列大小关系正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用函数图象确定函数的单调性，由此确定的值，比较其大小.【详解】由已知可得：函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，函数在时取极小值，所以，所以，故选：A.3．已知某物体在平面上做变速直线运动，且位移（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系可用函数：表示，则该物体在秒时的瞬时速度为（

）A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米秒【答案】A【分析】直接对位移关于时间的函数求导，代入即可.【详解】由题得，当时，，故瞬时速度为米/秒，故选；A.4．函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】判断函数的奇偶性，再判断函数值的正负，从而排除错误选项，得正确选项.【详解】因为所以得，所以为奇函数，排除C；在，设，，单调递增，因此，故在上恒成立，排除A、D，故选：B.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.5．若对任意的，，且，都有，则m的最小值是（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】已知不等式变形为，引入函数，则其为减函数，由导数求出的减区间后可的最小值．【详解】因为，所以由，可得，，即．所以在上是减函数，，当时，，递增，当时，，递减，即的减区间是，所以由题意的最小值是．故选：A．6．已函数及其导函数定义域均为，且，，则关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据已知不等式构造函数，利用导数判断所构造的新函数的单调性，然后利用单调性进行求解即可.【详解】由，设是实数集上的减函数，且，所以由，故选：B7．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石．简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数．若函数为“不动点”函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意列出关于和的等式，然后分离参数，转化为两个函数有交点.【详解】由题意得若函数为不动点函数则满足，即，即设，设所以在单调递减，且所以在上单调递增，，所以在上单调递减，所以当则当则所以的图像为：要想成立，则与有交点，所以故选：B8．已知,则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】构造,求导求单调性即可得,即证明,再构造,,求导求单调性即可得,即,即证明,即可选出选项.【详解】解:由题知构造,,所以,故在单调递减,所以,即,即,即因为,构造,,所以,即在上单调递增,所以,即,即,即,综上:.故选:D二、多选题9．下列函数的求导正确的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】对每一选项的函数分别求导即得解.【详解】解：A.，所以该选项错误；B.，所以该选项正确；C.，所以该选项正确；D.，所以该选项错误.故选：BC10．已知，下列说法正确的是（

）A．在处的切线方程为B．若方程有两个不相等的实数根，则C．的极大值为D．的极小值点为【答案】BC【分析】对求导，结合导数的几何意义可得切线的斜率，写出切线方程，可判断选项A；利用导数分析函数的单调性，极值可判断选项B,C,D．【详解】，所以（1），（1），的图象在点处的切线方程为（1），即，故选项A不正确；在上，，单调递增，在上，，单调递减，所以的极大值也是最大值为（），且当时，，当时，，所以方程有两个不相等的实数根，则，故选项BC正确；因为在上，单调递增，在上，单调递减，所以函数没有极小值点，故选项D错误.故选：BC11．若函数在区间上存在最小值，则整数可以取（

）A．-3 B．-2 C．-1 D．0【答案】BCD【分析】求出函数的导数，根据导数判断函数的单调性，画出示意图，利用数形结合转化求解即可.【详解】由题意，得，故在，上是增函数，在上是减函数，作出其大致图象如图所示，令，得或

则结合图象可知，解得.又，所以，可以取.故选：BCD【点睛】本题主要考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的值的求法，考查分析问题解决问题的能力，数形结合的应用，是中档题.12．若存在实常数k和b，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，（e为自然对数的底数），则下列结论正确的是（

）．A．函数在区间上单递减B．和之间存在“隔离直线”，且k的最小值为C．和之间存在“隔离直线”，且b的取值范围是D．和之间存在“隔离直线”，且“隔离直线”不唯一【答案】ABC【分析】A选项利用导函数即可讨论单调性，根据定义可判定BC选项正确，对于D选项，发现和的公共点，如果存在“隔离直线”，一定过该点，得出必要条件，再证明充分性.【详解】A选项：，，所以函数在区间上单递减；设函数，之间的隔离直线，即恒成立，所以，所以又恒成立，则函数不能开口向上，若，符合题意；恒成立，的对称轴，所以只需满足，所以且，，所以，同理，所以BC正确；函数，有公共点，如果，存在隔离直线，则该直线一定过点，设该直线，即，恒成立，若不恒成立，不合题意；若，记，对称轴，在单调递增，当，，不合题意；若，恒成立，对称轴，则，解得，此时直线方程，下面证明，记，，单调递减，单调递增，，即.所以其隔离直线唯一：，所以D选项错误.故选：ABC三、填空题13．函数在点处的切线方程为____________．【答案】【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解.【详解】，则，所以函数在点处的切线方程为，即.故答案为：.14．函数，则________．【答案】1【分析】根据导数的运算法则求导得，进而得【详解】对求导，得，令，得，所以∴．故答案为：.【点睛】本题考查导数的计算，是考查运算求解能力，是基础题.本题解题的关键在于注意到是常数，避免求导出错.15．不等式对任意恒成立，则正实数的取值范围为________．【答案】【分析】先将原不等式化为对于任意恒成立，由于在递增，故得，分离参数得，求解的最小值即可．【详解】，，令，易知在递增，，∴，又∵，，即对任意恒成立，设，则当时，；当时，所以在递减，在上递增，，则故答案为：．【点睛】思路点睛：本题考查不等式恒成立问题，利用分离参数法和构造函数，通过求新函数的最值求出参数范围．16．若函数在区间D上有定义，且均可作为一个三角形的三边长，则称在区间D上为“M函数”．已知函数在区间为“M函数”，则实数k的取值范围为_________________．【答案】【分析】先由题意得到且，再利用导数求得在的最值，从而求得k的取值范围.【详解】根据题意可知在区间D上为“M函数”，则有且，因为在区间为“M函数”，所以且，因为，所以，令，得；令，得；所以在上单调递增，在上单调递减，则，又，，则，即，所以，所以，解得，所以实数k的取值范围为.故答案为：.四、解答题17．已知函数，，且．求：(1)a的值及曲线在点处的切线方程；(2)函数在区间上的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求导，求出参数a，然后根据点斜式写出直线方程.（2）先求导，然后根据导数研究函数的最值.【详解】（1），解得：故，曲线在点处的斜率为，切线方程即（2）由（1）可知：，令，解得故当时，，所以单调递减；当时，，所以单调递增；区间内，当时取最大值，最大值为18．已知函数在及处取得极值．(1)求a，b的值；(2)若方程有三个不同的实根，求c的取值范围．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由已知可得，解方程即可得出.进而根据导函数的符号，检验即可得出答案；（2）根据（1）求出的极值，结合三次函数的图象，可知，求解即可得出c的取值范围．【详解】（1）由题意得，函数在及处取得极值，得，解得.此时，.当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增.所以，在处取得极大值，在处取得极小值，满足题意.（2）由（1）知，在处取得极大值，在处取得极小值．又有三个不同的实根，由图象知，解得，所以实数c的取值范围是．19．已知函数．(1)当时，求函数的单调增区间．(2)讨论函数的单调性．【答案】(1)函数的单调递增区间有和；(2)答案见解析.【分析】（1）求出导函数，根据导函数与函数的单调性的关系求单调递增区间；（2）求出导函数，通过对a的分类讨论，结合导数与函数单调性的关系求解.【详解】（1）函数的定义域为，当时，，所以.故当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增；所以函数的单调递增区间有和；（2）由可得：.①当时，，在上单调递增；②当时，时，时，在上单调递增；时，时，在上单调递减；时，，在上单调递增；.③当时，，且仅在时，，所以函数在上单调递增；④当时，时，时，在上单调递增；时，时，在上单调递减；时，，在上单调递增；.综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；20．2022年2月4日，第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场举行，拉开了冬奥会的帷幕．冬奥会发布的吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”得到了大家的广泛喜爱，达到一墩难求的地步．当地某旅游用品商店获批经销此次奥运会纪念品，其中某个挂件纪念品每件的成本为5元，并且每件纪念品需向税务部门上交元的税收，预计当每件产品的售价定为元时，一年的销售量为万件，(1)求该商店一年的利润(万元)与每件纪念品的售价的函数关系式；(2)求出的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意，利用利润与销售量、售价、成本的关系写出函数关系式，注意定义域；（2）对求导，令得或，讨论与区间的位置情况判断的符号，进而确定的单调性，即可求得最大值．【详解】（1）由题意，预计当每件产品的售价为元，而每件产品的成本为5元，且每件产品需向税务部门上交元，所以商店一年的利润(万元)与售价的函数关系式为：．（2）∵，∴，令，解得：或，而，则，①当，即时，当时，，单调递增，当时，，单调递减，∴当时，取最大值；②当，即时，当时，，单调递增，∴当时，取最大值，综上，21．已知函数为的导数.(1)当时，求的最小值；(2)当时，恒成立，求的取值范围.【答案】(1)1(2)【分析】（1）求导得，令，利用导数分析的单调性，进而可得的最小值即可．（2）令，问题转化为当时，恒成立，分两种情况：当时和当时，判断是否成立即可．【详解】（1）由题意，，令，则，当时，，，所以，从而在上单调递增，则的最小值为，故的最小值0；（2）由已知得当时，恒成立，令，，①当时，若时，由（1）可知，∴为增函数，∴恒成立，∴恒成立，即恒成立，若，令则，令，则，令，则，∵在在内大于零恒成立，∴函数在区间为单调递增，又∵，，，∴上存在唯一的使得，∴当时，，此时为减函数，当时，，此时为增函数，又∵，，∴存在，使得，∴当时，，为增函数，当时，，为减函数，又∵，，∴时，，则为增函数，∴，∴恒成立，②当时，在上恒成立，则在上为增函数，∵，，∴存在唯一的使，∴当时，，从而在上单调递减，∴，∴，与矛盾，综上所述，实数的取值范围为.22．已知函数.(1)若在有两个零点，求实数的取值范围；(2)设函数，证明：存在唯一的极大值点，且.【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）在有两个零点，即函数与的图象有两个不同的交点，令，求出函数的单调区间及最值，从而可得出答案；（2）求导，二次求导，从而可得出的符号分布情况，再根据极值点的定义即可得证，再根据，结合基本不等式即可得证.【详解】（1）解：令，，则，因为在有两个零点，所以函数与的图象有两个不同的交点，令，则，当时，；当时，．所以在单调递减，在单调递