上海市嘉定区第二中学高三下学期模拟数学试题

2022届上海市嘉定区第二中学高三下学期模拟数学试题一、单选题1．已知复数（为虚数单位），则“为纯虚数”是“”的（

）．A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】B【分析】求为纯虚数的等价条件，结合充要条件判断得解.【详解】当时，，所以为纯虚数；若为纯虚数，，所以，所以或，所以“为纯虚数”是“”的必要非充分条件.故选：B.2．若、，且，则的最小值为（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根据基本不等式计算求解.【详解】因为、，所以，即，所以，即，当仅当，即时，等号成立.故选：A.3．在中，，．若，则（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根据向量的线性运算，将转化为，结合数量积的运算，即可求得答案.【详解】由题意可得,即,即，即，解得，故选：B4．在正方体中，、分别是线段、上的动点，且直线与所成的角为，则下列直线中与所成的角必为的是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】在上取一点T，使，则直线与所成的角即直线与所成的角，建立空间直角坐标系，根据与所成的角为，找出点T位置，利用空间向量计算线线角分别验证答案即可.【详解】在上取一点T，使，则直线与所成的角即直线与所成的角，设直线与所成的角为，则，，以D为原点建立如图空间坐标系，则，所以，，所以，化简得，所以，对于A：，所以与所成的角的余弦值即与所成的角的余弦值，即，与所成的角的正切值为，故A错误；同理，对于B：与所成的角的正切值为，故B错误；对于C：与所成的角的正切值为，故C正确；对于D：与所成的角为，故D错误；故选：C.二、填空题5．已知集合，，则______．【答案】【分析】利用交集定义直接求解．【详解】解：集合，，．故答案为：．6．不等式的解集是________.【答案】【分析】将分式不等式化为整式不等式，利用二次不等式的求解方法，即可求得结果.【详解】.故答案为：【点睛】本题考查了分式不等式的解法，一元二次不等式的解法，考查了转化的思想.属于基础题.7．若等差数列满足，则_______．【答案】【分析】由是等差数列可得，从而即可求出的值．【详解】解：是等差数列，，．故答案为：8．8．已知函数，它的反函数为，则_______．【答案】【分析】令，求函数的自变量即为对应反函数的函数值.【详解】因为，所以令，解得，根据互为反函数之间的关系，可得.故答案为：.9．在展开式中，的系数为________（结果用数值表示）．【答案】【分析】根据二项式定理求出展开式中含的项，由此即可求解．【详解】解：展开式中含的项为，所以的系数为60，故答案为：60．10．若实数、满足，则的最大值为_______．【答案】【分析】先画出不等式组表示的可行域，然后由，得，作出直线，向上平移过点时，目标函数取得最大值，求出点的坐标，代入目标函数可求得结果【详解】不等式组表示的可行域如图所示由，得，作出直线，向上平移过点时，目标函数取得最大值，由，得，即，所以的最大值为，故答案为：611．《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的体积为________．【答案】【分析】由三视图确定三棱柱的底面面积和高，即可求得答案.【详解】由“堑堵”的三视图可知，直三棱柱的底面直角三角形斜边为2，其上的高为1，三棱柱高为2，原几何体如图示：则底面积为，故三棱柱的体积为：，故答案为：212．若数列是首项为，公比为的无穷等比数列，且各项的和为，则的值为________【答案】【分析】由题意可得：，化为：，解得并验证即可得出．【详解】由题意可得：，化为：，解得或，时，公比为0，舍去．．故答案为：1．【点睛】本题考查无穷等比数列的求和公式，考查推理能力与计算能力，属于中档题．13．从、、、、、、、、、这个数中任取个不同的数，则这个不同的数的中位数为的概率为________（结果用最简分数表示）．【答案】【分析】算出10个数中任取5个的可能数量，再算出所选个不同的数的中位数为的可能种数，根据古典概型的概率公式，即可求得答案.【详解】由题意知，从、、、、、、、、、这个数中任取个不同的数，有种可能，所选个不同的数的中位数为，则比6小的数有2个，共有种可能，比6大的数有2个，有种可能，故所选个不同的数的中位数为的情况共有种可能，故这个不同的数的中位数为的概率为,故答案为：14．已知函数是定义域为的奇函数，且当时，．若函数在上的最小值为，则实数的值为________．【答案】【分析】根据已知条件及奇函数的定义求出当时函数的解析式，再利用函数的单调性对进行分类讨论，确定单调性即可求解.【详解】由题意可知，因为，所以，所以，因为函数是定义域为的奇函数，所以.因为函数在上的最小值为当时，由函数的性质知，函数在上单调递增；当时，取得最小值为，因为函数在上的最小值为，所以，解得（舍），当时，由函数的性质知，函数在上单调递增；当时，取得最小值为，因为函数在上的最小值为，所以，解得，当时，由对勾函数的性质知，函数在上单调递增；在上单调递减；当时，取得最小值为，因为函数在上的最小值为，所以，解得（舍），综上，实数的值为.故答案为：.15．已知椭圆

(为参数，，)的焦点分别、，点为椭圆的上顶点，直线与椭圆的另一个交点为．若，则椭圆的普通方程为_______________．【答案】【分析】根据题意，由椭圆的焦点坐标可得，即可得，结合椭圆的性质可得、的长，分析可得的坐标，进而可得，两式联立解可得、的值，即可得答案．【详解】解：根据题意，椭圆为参数，，，其普通方程为，若其焦点分别、，则，则有，①点为椭圆的上顶点，则的坐标为，又由，而，则，，又由，且、、三点共线，则的坐标为，又由，则有，②联立①②，解可得：，；故椭圆的方程为；故答案为：．16．已知函数，其中，，恒成立，且在区间上恰有个零点，则的取值范围是______________．【答案】【分析】确定函数的，由此可得，再利用在区间上恰有个零点得到，求得答案.【详解】由已知得：恒成立，则，，由得，由于在区间上恰有3个零点，故，则，，则,只有当时，不等式组有解，此时，故，故答案为：三、解答题17．如图，圆锥的底面半径，高，点是底面直径所对弧的中点，点是母线的中点．求：(1)该圆锥的表面积；(2)直线与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出圆锥母线长，求得圆锥侧面积，即可求得答案；（2）作辅助线，找到直线与平面所成角，解直角三角形可得答案.【详解】(1)由已知，得OA=2，PO=6，则,

所以圆锥的侧面积为，

于是圆锥的表面积为,即所求圆锥的表面积为．(2)连接OD,由题意得平面，因为平面，所以．又因为点是底面直径所对弧的中点，所以．而、平面，，所以平面,即是在平面上的射影，所以是直线与平面所成角．在中，，，则，由于为锐角，所以,因此直线与平面所成角的大小为．18．设常数，函数．(1)若函数是偶函数，求实数的值；(2)若对任意，，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据函数的偶函数的定义即可求解；（2）利用分离参数法解决函数恒成立问题，再利用换元法及二次函数在区间上的最值问题的处理办法即可求解.【详解】(1)函数的定义域为．因为函数是偶函数，所以．即

，即，即．因为，所以，解得．所以实数的值为．(2)因为，即，因为，可得．令，因为，所以的取值范围是，于是对任意都成立．令函数，对称轴为，开口向上，由二次函数的性质知，在区间上是增函数，所以当时，函数取得的最小值为，则得，解得．所以实数的取值范围是．19．某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱与地面垂直，灯杆与灯柱所在的平面与道路走向垂直，路灯采用锥形灯罩，射出的光线与平面的部分截面如图中阴影部分所示．已知，，路宽米．设（）．(1)当时，求的面积；(2)求灯杆与灯柱长度之和（米）关于的函数解析式，并求当为何值时，取得最小值．【答案】(1)平方米(2)（），且当时，取得最小值【分析】（1）利用三角形的内角和定理及正弦定理，结合三角形的面积公式即可求解；（2）根据已知条件的出角之间的关系，利用正弦定理求出,，及两角差的正弦公式及二倍角公式，结合辅助角公式及正弦函数的性质即可求解.【详解】(1)因为，，所以．由题意得，所以，因此是等边三角形，所以．在中，由正弦定理得，即，解得，所以的面积等于（平方米）．所以的面积等于平方米．(2)因为，，所以．又因为灯柱与地面垂直，即，所以．因为，所以．在中，由正弦定理得，即，解得．又在中，由正弦定理得，即，解得，，则得，所以，化简得（）．因为，则得，所以当，即时，（米）．所以关于的函数解析式为（），且当时，取得最小值．20．已知双曲线的一条渐近线的方程为，它的右顶点与抛物线的焦点重合，经过点且不垂直于轴的直线与双曲线交于、两点．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点是线段的中点，求点的坐标；(3)设、是直线上关于轴对称的两点，求证：直线与的交点必在直线上．【答案】(1)(2)点的坐标为或(3)证明见解析【分析】（1）由题意得，解得，即可求解；（2）设，，因为是线段的中点，所以，代入双曲线方程即可求解；（3）由题意可设直线的方程为，与双曲线方程联立后整理即可得证．【详解】(1)由题意得，解得，所以双曲线的标准方程为；(2)设，，因为是线段的中点，所以，则得，解得，，所以所求点的坐标为或；(3)证明：由题意可设直线的方程为，联立方程组，消去，并整理得，设，，，，由一元二次方程根与系数的关系，得，又设，，，则得直线的方程为，直线的方程为，两个方程相减得①，因为，把它代入①得，所以，因此直线与的交点在直线上．21．若项数为（且）的有穷数列满足：，则称数列具有“性质”．(1)判断下列数列是否具有“性质”，并说明理由；①；②．(2)设，2，，，若数列具有“性质”，且各项互不相同．求证：“数列为等差数列”的充要条件是“数列为常数列”；(3)已知数列具有“性质”．若存在数列，使得数列是连续个正整数1，2，，的一个排列，且，求的所有可能的值．【答案】(1)①不是数列，理由见解细；②是数列，理由见解析；(2)证明见解析；(3)或【分析】（1）按照题目给出的定义：数列具有“性质”直接判断；（2）根据充要条件的概念直接证明；（3）根据条件可知，，逐渐增大，且最小值为1，分情况可求之．【详解】(1)解：①，即该数列不具有“性质”；②，即该数列具有“性质”；(2)证明：充分性，若数列是常数列，则，即，或又数列且各项互不相同，，数列为等差数列；必要性，若数列为等差数列，则，即，数列为常数列；(3)数列是连续个正整数1，