2023届高三数学一轮基础巩固第3章第3节导数的综合应用与实际应用（含解析）新人教A版

PAGE1-【走向高考】2０１6届高三数学一轮基础巩固第3章第3节导数的综合应用与实际应用新人教A版一、选择题1.(文)正三棱柱体积为V,则其表面积最小时，底面边长为(）A.ｅｑ\ｒ(3,V)ﻩＢ.eq\r(３，2V)C．eｑ\r(３,４V） D.2eq＼r(3,V)[答案]Ｃ[解析］设正三棱柱底面边长为a,高为h，则体积V=eq＼f(\r(3),4)a２ｈ,∴h=ｅq\f（4V,＼r(3)ａ2),表面积S=eq\ｆ（\r(3),2）a２+3ａh=eq\ｆ(\r(3),2)a２+eq\f(4\ｒ(３)Ｖ,a)，由Ｓ′＝eq＼r(3)ａ-ｅq\f（4＼ｒ(3)V，a2)＝0，得a＝ｅｑ＼ｒ(３,4V）,故选C.(理)在内接于半径为R的半圆的矩形中，周长最大的矩形的边长为()A．eq\ｆ(Ｒ,2)和eｑ\ｆ(3,2）Ｒ Ｂ.ｅq＼ｆ(\r(5),5）Ｒ和eq\f(4＼r(5),5）ＲC．eq\ｆ（４,5）Ｒ和ｅq\f(７,5)RﻩD.以上都不对［答案]B［解析］设矩形垂直于半圆直径的边长为x,则另一边长为2eq\r(R2-x2),则l=２x＋4eq\r（R2－x２）(0<x＜R),l′＝2-eｑ\f(4x,\r(R2－ｘ2))，令l′＝０，解得x=eｑ\ｆ(＼r(５),5)R.当0＜x<eq\f(\r（５),5）R时，l′＞0；当ｅq\ｆ(＼r（5）,5)R＜x＜Ｒ时,l′<0．所以当x＝eq\f（＼r(5），5)R时，ｌ取最大值,即周长最大的矩形的边长为eq＼f（\r(5),5)R，ｅq\f（4＼r(５),5)R.2.(文)(2014·山西省考前适应性训练)若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式:ｙ＝-ｘ3+27x＋123（x>０),则获得最大利润时的年产量为(）A.1百万件 B．2百万件C．３百万件 D．４百万件[答案]C[解析]由y′＝－３x2+2７＝０得x=±3,∵x>0,∴ｘ＝３.当0<ｘ<3时,y′＞0,当x>3时,y′<0,∴x=3是函数的极大值点，由实际问题的实际意义知x=3为函数的最大值点，故选C.（理)某公司生产某种产品,固定成本为200０0元,每生产一单位产品,成本增加100元，已知总收益R与产量x的关系是R＝ｅｑ＼ｂ\ｌc＼{\rc\(\a\vs4\al＼co1(400x-＼ｆ(1,2）x2，０≤x≤40０,,８000０，x>4０0．)）则总利润最大时，每年生产的产品产量是（)A.100ﻩB.15０Ｃ．200 D.3００［答案］D[解析]由题意，总成本为C＝2０0０0+100x.所以总利润为Ｐ＝R-C＝eq＼ｂ＼lc\{\rc\(\a\vs４\aｌ\co1(300x-＼ｆ(x2,2)-200０0，０≤x≤４0０,,60000－100x,x>400,）)P′=eq\b\lc＼{＼ｒc\(\a＼vs４\ａｌ\co1（300-ｘ，0≤x≤400，,－10０，x>４０0.))令P′＝0，得x＝300,易知当ｘ=3００时,总利润最大.３.(文)做一个圆柱形锅炉,容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积的价格为b元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为()A.eq\f(a,b）ﻩB．eq＼f（a2,b）C.eq\f(b,a) D．eq\f（b2,ａ)[答案]C［解析]如图，设圆柱的底面半径为Ｒ，高为ｈ，则Ｖ=πＲ２h.设造价为ｙ,则ｙ＝2πR2a＋２πRhb=2πaＲ2＋2πRb·eq\f(Ｖ,πR2)＝2πａR２＋ｅｑ\f（2ｂV,Ｒ)，∴ｙ′=４πaR－eｑ＼f（2bＶ，R2).令y′＝0并将V=πR2h代入解得，ｅq\f(２R,h)=ｅq＼f(b,a)．(理)(2014·石家庄模拟)已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积最大时,其高的值为()Ａ．3ｅq\ｒ(3）ﻩB.ｅｑ\r(３)C.2ｅq\ｒ(６)ﻩD.２eｑ\r(３）[答案]Ｄ[解析］设正六棱柱底面边长为ａ,高为2h，则h＝ｅq\r(９－a2)，Ｖ六棱柱=eｑ\f(３\ｒ(3）,2)ａ２·2eq\r(9-ａ２）＝３eq\ｒ（3）a２ｅq\r（9－ａ2),V′＝6eq\r(３)aeｑ\r(9-ａ2)-ｅq\f(3\r(3）ａ3,＼r（9-a2))，令Ｖ′＝０，解得a＝eｑ\ｒ（6).∴h=eq\ｒ（3)，∴六棱柱的高为2eq\r（3).４．(文)内接于半径为R的球并且体积最大的圆锥的高为（)A．RﻩB．２ＲC.eq\f(4,3)RﻩD.eq\f(3,4)R[答案]C［解析]设圆锥的高为h，底面半径为r，则Ｒ2＝（ｈ-R)２+r2,∴ｒ2=２Rh－h２,∴Ｖ＝eq\ｆ(1,3）πr2h=eq＼f(π,3）h(2Rh-h2)=ｅq＼f(2，3)πRh2－eq\f(π,３)h3，Ｖ′＝ｅｑ＼f(４,3）πRh－πh２,令V′=0得h=ｅq＼ｆ(4，3)R.(理)要制作一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cｍ,要使其体积最大，则高为()A.eq＼f(＼r（3),3)cmﻩB．eｑ＼f(10\r(3),3)ｃmC.eq\f(１6\r（3)，3）ｃｍ D.eq\ｆ(２0\r(3），3)cm［答案］D[解析］设圆锥的高为x，则底面半径为eq\r(202－x２),其体积为V=ｅｑ＼f(1,３)πｘ(400－x2)(0＜x<2０)，V′=ｅq\ｆ(1,３)π(400－3x2),令V′＝0,解得x＝eｑ\ｆ(2０\ｒ(3)，3).当0<x＜eq＼ｆ(２0\r（3）,3)时，V′＞0；当eｑ\f(２０\r(3),３)＜x＜2０时,V′<0,所以当x=eq\f(2０＼r(３)，3)时,V取最大值.5.（20１4·浙江省名校联考）设函数ht(x)=３ｔx-2teｑ\f（３,２)，若有且仅有一个正实数x0，使得ｈ7（x0)≥ht(x0)对任意的正数t都成立,则x０=()A.５ﻩＢ.ｅq＼r(5)C．３ﻩＤ．ｅq\r(7)[答案]D[分析］“有且仅有一个正实数x0，使得ｈ７（x0)≥ht（x０),对t>0都成立”，即对变量t，ht(x0)的最大值≤h7(x0）．[解析］∵ｈ７(x0)≥hｔ(x0)对任意的正数t都成立,∴h7（ｘ0)≥ht(x0)ｍax.记g(ｔ)=ｈｔ(ｘ0)=３tx０－2teq\ｆ(3,2),则g′（t）＝3x0－3teq\f（1,2)，令g′（t)＝0，得ｔ＝xeq＼o\aｌ(２，0),易得ht(x０）mａx＝g(xeq\ｏ\al(2，0))=ｘeｑ\o\aｌ（3,０),∴２1x0－１4ｅq\ｒ(7)≥xeq\o\al(３,0),将选项代入检验可知选D.6．(文)（2０1４·山西大同诊断)设D是函数y＝ｆ(ｘ）定义域内的一个区间,若存在x0∈Ｄ,使f(x0)＝－ｘ0,则称x0是ｆ(ｘ）的一个“次不动点”.若函数f(ｘ)=ａx２-３x－ａ＋ｅｑ\f(5,2)在区间[1,4］上存在次不动点,则实数ａ的取值范围是()A.(－∞，０）ﻩＢ．(0,eq\f（1,2)）C.[eｑ\f(1,2)，+∞） D.（－∞,ｅｑ\f(1,2)］[答案]Ｄ[解析］设g(x)=f(x）+ｘ，依题意，存在ｘ∈[1,4]，使g（x)=ｆ(ｘ)＋x=ａｘ2-2x－a+eq\f（5，２）＝０.当x＝1时，g（1)＝ｅｑ\f(１,2)≠0;当x≠1时，由aｘ２-2x-ａ+ｅq\f(5,2）=０得a＝eq＼f（4x-５，2x2-1).记h（x）＝ｅｑ＼f(4ｘ－5，２x2-1)(1＜x≤４),则由h′（x)=eq＼f(-2x2+５ｘ-2，ｘ2－1２)=0得ｘ=2或x=ｅq＼f(1,2)(舍去).当ｘ∈(1,2）时,h′(ｘ)>0;当x∈(2,4)时,h′(x）<０，即函数h（x)在（1,2)上是增函数，在(2，4)上是减函数，因此当x＝2时，h（x）取得最大值,最大值是h(2）＝eｑ\f（1,2）,故满足题意的实数a的取值范围是(－∞，ｅｑ\ｆ（1,2)],选D.（理）(２014·湖北宜昌模拟)已知y＝ｆ(x）是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝lｎx－ax(a＞eq\ｆ(1，２)）,当x∈(－2,0）时，f（ｘ)的最小值为1,则ａ的值等于()A.ｅｑ\f（1,４)ﻩB.ｅｑ\ｆ（1，３)C.eq\f(1,2）ﻩD．1［答案]D[解析]ｘ∈(-2,0)时,-ｘ∈(0,2），∴ｆ（－ｘ)=lｎ(-ｘ)＋ax,∵ｆ(x)为奇函数,∴f（ｘ)=-ln（-x)－aｘ,∴f′（ｘ)＝－eq\f(1,x)－a，由f′(x)＝０得ｘ=－ｅｑ\f(１,a).当０＞ｘ>－eｑ\f(1,a)时，f′(x)>０，f(x)单调递增，当-2<ｘ<-eq\f（1,a)时，f′(x）＜０，f(ｘ)单调递减．由题设知f(-ｅq\f（1，ａ))＝-lnｅq\f(１，a)＋１=1，∴a＝1,故选D.二、填空题７．(２0１3·开封第一次模拟）已知函数ｆ(x)=x3－ax２＋ｂx＋3(ａ，b∈R)，若函数f(ｘ)在[0,１]上单调递减，则a2＋b2的最小值为___＿＿_＿＿．[答案]ｅq\ｆ(9,５)[解析]依题意,当x∈[0,1］时,f′(x)＝3x2－2aｘ+b≤0,即eｑ\ｂ\lc＼{\rｃ＼（\a\ｖs4\al\co1(ｆ′0=ｂ≤０,f′1＝3－２a＋b≤0)），在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域，如图所示，结合图形不难得知,该平面区域内的点(a，b）与原点的距离的平方即为a2+b２,其最小值等于原点到直线3－2a+b＝0的距离的平方，即等于eq\f(9,５）.8．(文)用长为1８m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶１,该长方体的最大体积是＿___＿__＿.[答案]3m[解析]设长方体的宽为x,则长为2x,高为eｑ\f(9,2）－３ｘ(0<x<eq\f（３,2))，故体积为V=2x2ｅq\ｂ\lc\(\ｒc\）(\ａ\ｖs4\al\co1(\f(9，2）－3x))＝-6x３＋9ｘ2,Ｖ′=－18ｘ2＋１8x，令Ｖ′=0得,x=０或１,∵0<x<eq＼ｆ（3,2）,∴x＝1.∴该长方体的长、宽、高各为２m、1m、1.５m时,体积最大,最大体积Ｖmax=3m3（理）用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.５m,那么容器的容积最大时，容器的高为______＿＿．[答案]1．２ｍ[解析］设容器的短边长为xm，则另一边长为(ｘ+０.5)m,高为eq\f(1４.８-4x-4ｘ＋0.５，4)＝3.２-２x.由3．２－２ｘ>0和x＞０,得0＜x<1.6，设容器的容积为ym3,则有y＝ｘ(ｘ+０.5）(3.2－2x)(０＜ｘ<１.6）,整理得ｙ＝－2x3+2.2x2＋1．6x,∴y′＝－6ｘ2+4.４x+1.6，令y′＝0,有-6x2+４.4ｘ+1.6=0，即15x2-11x－4=0,解得x1=1,ｘ２＝－eq\f（4,15)(不合题意，舍去),∴高为3.2－2=1．2，容积Ｖ=1×1．5×1．２＝1.8，∴高为1．２m时容积最大.9.(文)若函数f(x）=lnx-eq\f(１，2)ax２－2x存在单调递减区间,则实数a的取值范围是_＿___＿__．[答案]（-1，+∞)[分析]函数f(x)存在单调减区间，就是不等式f′(x)＜0有实数解，考虑到函数的定义域为(０,+∞),所以本题就是求f′(x)<０在(0，+∞）上有实数解时a的取值范围．[解析]解法1:f′(x）＝eq\f（1,x)-aｘ-２＝eq\f(１－ａｘ2-2x，x）,由题意知ｆ′(x)<0有实数解,∵x>0，∴ax2+2x－1>0有实数解.当ａ≥0时，显然满足;当a<０时，只要Δ=4＋4a>0,∴-1<a<0,综上知a>－1.解法2：f′(x)=eq\f(1,x)－ａx－2＝eｑ\f（1-ax２－2x,x),由题意可知f′（x）<0在（0，＋∞)内有实数解．即1-ax2-2x<０在（0，＋∞）内有实数解.即a>ｅｑ\ｆ(1，x2）－eｑ\f(2,x）在（0,＋∞)内有实数解．∵x∈(０，＋∞)时,ｅｑ\f(１,x２)－eｑ\f(２,x)＝(ｅｑ\f(1,x)－１)2－1≥-1，∴ａ>-1.(理)对于三次函数ｙ=ａx３＋bx2+cx+ｄ(a≠0）,给出定义：设ｆ′(x)是函数ｙ=ｆ（x）的导数,f″（ｘ）是f′（ｘ）的导数,若方程ｆ″（ｘ）=0有实数解x０，则称点（ｘ0，f(x０))为函数ｙ=f（x)的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若ｆ(x)＝eｑ\f(1，3)x３-eq\f(1,2)x2＋3x-eｑ\f(5,1２）,根据这一发现可得：(1)函数ｆ(x)＝eq＼ｆ(１,3)x3－eq\f（1，2）x２＋３ｘ－eq\f(5,1２)的对称中心为_＿______;(2）计算ｆ(ｅq\f(1,2014）)+f(eｑ\ｆ(２，2014))+f（eｑ\ｆ(3,2014）)+f(eq\f(4,２01４))+…＋f(eq\ｆ(2０1３,2014))=____＿__＿.[答案](１)(eq\ｆ(１,２），1)(2)2０13［解析］（1）ｆ′(x)＝x2－x＋３，f″(x)=2x-１,由2x－1＝0得x=eq＼f(1,2)，f(eq\f(1,2))=ｅq＼f（1，３）×(eq\f(1，2))3-eq\f(1,２)×（eq＼f（1，２）)2＋３×ｅq\f(1,２）－eq＼f(5,12)=1，由拐点的定义知f(x)的拐点即对称中心为（ｅq\ｆ（1,2）,1）.(2)ｆ(eｑ\ｆ(ｋ,201４))＋f(1-eｑ\f(k，2014))＝ｆ(eq\ｆ(k,2０１4）)+f(eｑ\ｆ(2014－k，20１4)）=2(k=1,2，…,1007)，∴f(ｅq\f（1,20１4）)+f(ｅq＼ｆ(2,２014))＋…＋f(eq\f（201３,201４)）=[f(eq\ｆ(１,2014)）+f(eq\f（201３,2014）)]＋[f(eq\f(2,2０14）)＋f（ｅq＼f(2012,２０1４))]+…＋［ｆ（eq\f(１006,２014））＋ｆ（eq\f(1００8,20１4）)]＋f(eq＼f（１0０7,2０1４））＝2×10０6+1=2０1３.三、解答题１０.(2０１3·湖南雅礼中学一模)某工厂生产某种儿童玩具，每件玩具的成本价为30元，并且每件玩具的加工费为ｔ元(其中t为常数，且2≤t≤５），设该工厂每件玩具的出厂价为x元(3５≤x≤41),根据市场调查,日销售量与eｘ(e为自然对数的底数)成反比例,当每件玩具的出厂价为40元时，日销售量为10件.（1)求该工厂的日利润y（元)与每件玩具的出厂价ｘ元的函数关系式;(2)当每件玩具的日售价为多少元时,该工厂的利润ｙ最大，并求y的最大值．[解析](1)设日销售量为eｑ＼f(k,ex),则ｅｑ＼f(ｋ,e４0)=1０，∴k=１０e４0，则日销售量为eｑ\f(10e40,ｅx)件，∴日利润y＝(x-30-ｔ）·eｑ\ｆ(１０e40，eｘ).∴y＝eq\f(１０e４0x-30－t，ex)（３５≤x≤41).(2)y′=eｑ\f(1０e4０31＋t－x,ex)，令ｙ′=０得x=３1+t.①当2≤t≤4时，3３≤３1+ｔ≤３５,∴当3５≤x≤41时,y′≤０．∴当x＝3５时,ｙ取最大值，最大值为１0(5－t)e５.②当4＜t≤5时，35＜ｔ＋31≤36,函数ｙ在[35,ｔ+31]上单调递增,在[t+31,4１]上单调递减.∴当x＝t+31时，y取最大值1０ｅ9-t.∴当2≤ｔ≤4，ｘ＝35时，日利润最大值为1０(5-t)ｅ5元;当4<ｔ≤5,x＝3１＋t时，日利润最大值为10e9-t元.一、解答题11.(文)某食品厂进行蘑菇的深加工,每公斤蘑菇的成本20元，并且每公斤蘑菇的加工费为t元(t为常数,且2≤t≤5），设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为ｘ元(２5≤x≤40）,根据市场调查,日销售量q与ｅx成反比,当每公斤蘑菇的出厂价为３0元时,销售量为10０ｋg．（每日利润=日销售量×（每公斤出厂价－成本价－加工费)).(1)求该工厂的每日利润y元与每公斤蘑菇的出厂价x元的函数关系式；（２）若t＝5，当每公斤蘑菇的出厂价x为多少元时,该工厂的利润y最大,并求最大值.[解析](1)设日销售量q＝ｅq\f(k,ｅx）,则eq\f(k,e30）＝１0０,∴ｋ=１0０e30，∴日销售量q=eq＼f(10０e3０,eｘ),∴y=eｑ＼ｆ(100e30x－20－t，ｅx)(２５≤x≤4０)．（2)当t＝5时,y=ｅq\f(100e3０x-2５,ｅx）,y′=eｑ\f(１0０e302６-x,ex).由y′≥0得x≤２6，由y′≤0得x≥2６,∴y在［２5，26]上单调递增,在[26，40]上单调递减,∴当x=26时,ｙｍａx=1００e４.当每公斤蘑菇的出厂价为2６元时，该工厂的利润最大,最大值为１00e４元.(理)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用２0年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为６万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度ｘ(单位:cm)满足关系:C(x)=eq\f(k,3x＋5）（0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为８万元．设f(ｘ)为隔热层建造费用与２0年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x）的表达式;（2)隔热层修建多厚时,总费用f（x)达到最小，并求最小值．[解析］(1）设隔热层厚度为xcｍ，由题设知,每年能源消耗费用为Ｃ(x)＝eq\f(k,3x+5)．再由C(0）＝８，得k=４0，因此C(x)=ｅｑ\f（40，3x+5).又建造费用为C1(x）=6ｘ.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为，ｆ(x)=20Ｃ(x)+Ｃ1(x)＝20×ｅq\f(40,３ｘ＋5)＋6x＝eq\f（80０,3x+5)＋6ｘ(0≤ｘ≤1０).（2）f′(ｘ)=6－eq\ｆ(２４00,3ｘ+5２)，令f′(x）＝０,即eq\ｆ(２４00,3x＋52)=6.解得x=５，或x=-eq＼f(２5,3）(舍去）．当0<x<5时，f′(x)＜0,当5＜x<10时,f′(x)>0,故x＝５是ｆ(ｘ）的最小值点，对应的最小值为f(5)＝６×5＋eq\ｆ(８00，１5+5)=70.当隔热层修建５cm厚时，总费用达到最小值7０万元.１2．(文)(2０1４·希望高中月考）设函数y＝ｘ２-2x＋２的图象为Ｃ１,函数y＝-x2+aｘ+b的图象为C２，已知过C1与C2的一个交点的两切线互相垂直.（1)求a,b之间的关系；(２）求ａb的最大值.[解析](1）对于C1:y=x2－２x＋2,有y′＝2x-2，对于Ｃ2：ｙ＝-x2＋ａx+ｂ,有y′=-2x＋ａ，设C1与C２的一个交点为（x０，ｙ０),由题意知过交点(ｘ0，y0)的两切线互相垂直.∴（2x0－2)（－2ｘ0＋a)＝－1,即4xeq\o\al(２,0)-２(a＋2)x0＋2ａ-１＝0①又点(ｘ0,y０)在C１与C2上,故有eq\b＼lc＼{\rc\(\a＼vs4\al＼co１(y0＝x\o\al(2,0)-２x0+2,y0＝-ｘ＼o\al(２,０)+ax0+b）)⇒2xｅq＼ｏ＼al（２,0)－(a+2)x0+2－b＝0②由①②消去x0，可得a+b＝eq\f(5,2)．(2）由（1)知：b＝eｑ＼ｆ（5,2)-a，∴aｂ＝ａ（ｅｑ\ｆ(5,2)-a)＝-(a-eq＼f(5,4))2＋eq\f（25，1６).∴当a=eq＼ｆ（５,4）时,(ab)最大值＝ｅq\f(25,16).（理)（２013·洛阳统考)已知函数ｆ(x)＝eq\ｆ(ａ,2x)＋xｌnｘ,g(ｘ）=x3-x２－x－1.(1）如果存在ｘ1，x2∈［0,2]，使得g(x１)－ｇ（x2)≥M,求满足该不等式的最大整数Ｍ;(2)如果对任意的ｓ,t∈[eq\f(1,３)，2]，都有f(ｓ)≥g(t)成立，求实数ａ的取值范围．［解析](１)存在ｘ1,x2∈[0,２],使得g（ｘ１)-g(x２）≥M⇔ｘ1，x2∈[０，2]，[g(ｘ１)-g（ｘ２)］ｍaｘ≥M.∵g′(x)=3x2－2x-1＝(3x＋1）(x－１)，∴当0<x<１时,ｇ′(x)＜0，g(x)单调递减,当1＜ｘ<2时,ｇ′(x)＞0,g(ｘ)单调递增，∴ｇ(x)max＝max｛ｇ(0）,g（2）}＝g(２)＝1，ｇ(x)ｍｉn＝g(1)＝-2，∴[ｇ(x1)-g（x2)]ｍax＝g(ｘ）max-g（ｘ)min＝3,满足不等式的最大整数Ｍ＝3.（2)由(1)知，当x∈[ｅｑ＼ｆ(１，3)，2]时,g（x)ｍax=g(2)=１，依题意，对任意的s,ｔ∈[eq\ｆ(1,3），2]都有f(s)≥g(t）成立⇔当x∈［ｅq\f(１,3),2]时，f(x）＝eq＼f(ａ，2x）+xlnx≥1恒成立．则有ｆ(1）＝ｅq\f(a,2)≥1,∴a≥2．当ａ≥2且x∈［ｅq\f(１,3）,２]时，ｆ(x)=eq\ｆ(a，2ｘ)＋xｌnx≥eq\f(1，x)＋xlｎx.记h(x）=eq\f(1，x)＋xｌｎx，∴ｈ′（x)＝－ｅq\f(1，x２）＋ｌnx+1,且ｈ′(1）=0．当x∈(eｑ\ｆ（１,3）,１)时，h′(ｘ)=-ｅq＼ｆ(1，x２)+lｎx+1<0,当x∈（１,2）时,h′（x)=-ｅq＼f(1,x2)+lｎx+1>０,∴h(ｘ)=ｅｑ\f(1,x)＋xlnｘ在(eq\f(1，3),１)上单调递减,在(1,２）上单调递增，∴h(ｘ)miｎ＝ｈ(1)=１,即h(ｘ)≥1，∴当a≥2时原不等式成立．∴ａ的取值范围是[2,＋∞)．13．(文)甲乙两地相距400kｍ,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过1０0km/h,已知该汽车每小时的运输成本P（元)关于速度v(km/h）的函数关系是P=eq\f(1,１92０0)v４－eｑ\ｆ(１，160)v3＋１5v.（1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；(2）为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值．[解析](１)汽车从甲地到乙地需用ｅq\f（４0０，v）h,故全程运输成本为Q=ｅｑ\f(400P,v)=ｅq＼f(v3,４8)－ｅq\f(5v2,２)+6０0０(0<v≤１0０)．(2）Ｑ′=eq＼f(v２,16)－5ｖ，令Q′＝0得，v＝80，∴当v=8０km／h时,全程运输成本取得最小值，最小值为eq\f（2０0０,3）元．(理)(2014·江苏连云港二调)一个圆柱形圆木的底面半径为１m,长为10m,将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁,长度保持不变,底面为等腰梯形ABCD(如图所示，其中O为圆心，Ｃ，D在半圆上），设∠BOC＝θ,木梁的体积为V(单位:ｍ3),表面积为S(单位：m2).(1）求V关于θ的函数表达式．(2)求θ的值,使体积V最大.(3)问当木梁的体积V最大时,其表面积S是否也最大?请说明理由．［解析］(１）梯形ABCD的面积ＳABＣD=eq\f(2cosθ＋2,２)·sinθ=ｓinθcosθ＋siｎθ,θ∈(0，eq\f(π,2))．体积V(θ)=10(sｉnθcoｓθ+sinθ),θ∈（０，eq\f(π,2))．(２）V′（θ)=1０（2ｃos2θ＋cosθ-1）=１0(２cosθ－1)(cosθ+１)．令V′(θ)=0，得ｃoｓθ＝eｑ\f(1，2)或cｏsθ＝-1(舍)．∵θ∈(0，eq\f（π,2)），∴θ＝ｅｑ\ｆ(π，3）.当θ∈(0,eq＼f(π，3）)时，eq\f(１，2）<ｃosθ<1,V′(θ)＞0,V（θ)为增函数;当θ∈(eq\f(π,3)，ｅq\f（π,２))时，0<ｃｏsθ<eq\ｆ(1,2),Ｖ′（θ)<0，V(θ)为减函数.∴当θ=ｅｑ＼f（π,3)时,体积V最大．（３)木梁的侧面积S侧＝(AB+２BＣ＋CD)·1０=２0（ｃosθ+2sinｅq\f（θ,2)+1)，θ∈(0,ｅq\f(π,2))．S＝2SAＢＣD+Ｓ侧＝２（sinθｃosθ+sinθ）+２0(cosθ＋２sineｑ\f(θ，2)＋1)，θ∈(0，eq＼f(π,2)).设ｇ(θ)=ｃｏsθ+2sinｅq＼f(θ,2)+1，θ∈(0，ｅｑ\ｆ(π,2))．∵ｇ（θ)＝-2sin2ｅｑ＼f（θ,２)+2sinｅq\f（θ,２)+2,∴当sｉneｑ\f(θ,２)＝ｅq\f（1,2)，即θ＝eq\f(π,3)时，g(θ)最大.又由(２)知θ=eq＼ｆ(π,３)时，ｓｉnθcosθ+sｉnθ取得最大值,∴θ=eq\ｆ(π,3)时，木梁的表面积Ｓ最大.综上，当木梁的体积V最大时,其表面积S也最大．14.(文)(201４·河北唐山二模）已知函数ｆ(ｘ)＝x２-lnx－ax，a∈R.(1)当a=1时,求ｆ（ｘ）的最小值;(2)若f(x)>x,求a的取值范围.[解析](１)当a＝１时，f（x)=ｘ2-ｌnx－x,ｆ′(x）＝eｑ＼ｆ(2ｘ+1ｘ-１,x)．当ｘ∈(0,1)时,f′(x）<0;当ｘ∈(１，＋∞)时,f′(x)＞0.所以f(x)的最小值为f（1)＝0.(2)f(x)＞x,即f(x)－x=x2-lnx-(ａ＋1)x>０.由于ｘ>0，所以f(x)>x等价于x－ｅｑ\ｆ（lｎx,x)>a＋1.令ｇ（x)＝x-eq＼ｆ(lnx,x)，则g′（x)=eｑ\f(x2－１+lnｘ,ｘ２).当x∈(0,1)时，g′(x)＜0;当ｘ∈(1,＋∞)时，ｇ′(x）＞０.g(x)有最小值ｇ(1)=１.故a+1<１，a的取值范围是(－∞，０）.(理)(2014·黑龙江大庆实验中学期中)已知函数f(x)=xlｎx（x>0)．(1）试求函数f(x)的单调区间和最值；（2）若g(x）＝f′(x）,直线y＝kｘ＋ｂ与曲线g（x）相交于Ａ(x1，ｙ1),Ｂ(x２，y2)不同的两点,若x0＝eq\ｆ(x1＋ｘ２,2)，试证明k>g′（x０)．[解析](1)f′(x)=lｎx＋1，由f′(x)>0得ｘ＞eq＼f(1，ｅ)，函数f(x)的减区间是（0，ｅq\f(１,e)］,增区间是[eq＼f(1，ｅ）,+∞)，f(x)mｉn＝ｆ（ｅｑ\f(１,e）)＝-ｅｑ\ｆ(1,ｅ).(２）证明:g(x)＝f′(x）＝lnx+1,令x1>x2>0,k=ｅq\f（gx1－gx2,ｘ1－x２),ｇ′（x0)=eｑ\f（1,x0）＝ｅq＼f（2,x１＋ｘ２)，构造函数Ｆ(x）＝g(x１)-g（x2）-ｅq\ｆ(2x1-ｘ2,x1＋ｘ2)＝lnx１-lnx２－eq\ｆ(２x1-x2,x1＋x２)＝ｌnｅｑ\ｆ(ｘ1，x2）-eq＼f(2\ｆ(ｘ1，x2）-1,\f(x1，x2)＋1),令eｑ\f（x１,ｘ2)＝t，则h（t）=lｎt－eｑ\f(2t-１,t+１)(t>1）,h′(t）＝eq\f(ｔ－12,tt＋１2)＞０，所以h（t）＞h（1)＝０,所以Ｆ(x)>0,即k>g′(ｘ０）．１5.(文)(2014·邯郸市一模)已知函数f（x）＝ｅq＼f(1，2)ｘ2－(ａ+1)x＋aｌnx+1.(1)若x=３是f（x)的极值点,求f（ｘ）的极大值；（２)求a的范围，使得f（x）≥１恒成立．[解析］(1）f′(ｘ）＝x－(a＋1)+ｅｑ\ｆ(a,x)(ｘ>0)，∵x＝3是ｆ(x）的极值点，∴f′(3)＝3－(ａ＋1)+ｅq\f（ａ，３)＝0，解得ａ＝3.当a=３时，f′（ｘ)=ｅq\f(x2-4ｘ+3,x)＝eq\f（x-1x－3,x).当ｘ变化时,x(0，1)1(1,3)3（3,＋∞)f′(ｘ）＋0－0+ｆ(x）递增极大值递减极小值递增ｆ(x)的极大值为ｆ(１)＝－eq\f(5,2）.(2)要使得f(x)≥1恒成立，即x>０时，eｑ＼f(１,２）ｘ２－(a＋1)x+alｎx≥０恒成立．设g(x）=eq\f(１，２)ｘ2-（ａ＋1)x+alnx,，则g′（x)＝x-（a+1)+eq＼