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PAGE1-【走向高考】2016届高三数学一轮基础巩固第3章第3节导数的综合应用与实际应用新人教A版一、选择题1.(文)正三棱柱体积为V,则其表面积最小时,底面边长为()A.eq\r(3,V)ﻩB.eq\r(3,2V)C.eq\r(3,4V) D.2eq\r(3,V)[答案]C[解析]设正三棱柱底面边长为a,高为h,则体积V=eq\f(\r(3),4)a2h,∴h=eq\f(4V,\r(3)a2),表面积S=eq\f(\r(3),2)a2+3ah=eq\f(\r(3),2)a2+eq\f(4\r(3)V,a),由S′=eq\r(3)a-eq\f(4\r(3)V,a2)=0,得a=eq\r(3,4V),故选C.(理)在内接于半径为R的半圆的矩形中,周长最大的矩形的边长为()A.eq\f(R,2)和eq\f(3,2)R B.eq\f(\r(5),5)R和eq\f(4\r(5),5)RC.eq\f(4,5)R和eq\f(7,5)RﻩD.以上都不对[答案]B[解析]设矩形垂直于半圆直径的边长为x,则另一边长为2eq\r(R2-x2),则l=2x+4eq\r(R2-x2)(0<x<R),l′=2-eq\f(4x,\r(R2-x2)),令l′=0,解得x=eq\f(\r(5),5)R.当0<x<eq\f(\r(5),5)R时,l′>0;当eq\f(\r(5),5)R<x<R时,l′<0.所以当x=eq\f(\r(5),5)R时,l取最大值,即周长最大的矩形的边长为eq\f(\r(5),5)R,eq\f(4\r(5),5)R.2.(文)(2014·山西省考前适应性训练)若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式:y=-x3+27x+123(x>0),则获得最大利润时的年产量为()A.1百万件 B.2百万件C.3百万件 D.4百万件[答案]C[解析]由y′=-3x2+27=0得x=±3,∵x>0,∴x=3.当0<x<3时,y′>0,当x>3时,y′<0,∴x=3是函数的极大值点,由实际问题的实际意义知x=3为函数的最大值点,故选C.(理)某公司生产某种产品,固定成本为20000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总收益R与产量x的关系是R=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400x-\f(1,2)x2,0≤x≤400,,80000,x>400.))则总利润最大时,每年生产的产品产量是()A.100ﻩB.150C.200 D.300[答案]D[解析]由题意,总成本为C=20000+100x.所以总利润为P=R-C=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300x-\f(x2,2)-20000,0≤x≤400,,60000-100x,x>400,))P′=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300-x,0≤x≤400,,-100,x>400.))令P′=0,得x=300,易知当x=300时,总利润最大.3.(文)做一个圆柱形锅炉,容积为V,两个底面的材料每单位面积的价格为a元,侧面的材料每单位面积的价格为b元,当造价最低时,锅炉的底面直径与高的比为()A.eq\f(a,b)ﻩB.eq\f(a2,b)C.eq\f(b,a) D.eq\f(b2,a)[答案]C[解析]如图,设圆柱的底面半径为R,高为h,则V=πR2h.设造价为y,则y=2πR2a+2πRhb=2πaR2+2πRb·eq\f(V,πR2)=2πaR2+eq\f(2bV,R),∴y′=4πaR-eq\f(2bV,R2).令y′=0并将V=πR2h代入解得,eq\f(2R,h)=eq\f(b,a).(理)(2014·石家庄模拟)已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上,当正六棱柱的体积最大时,其高的值为()A.3eq\r(3)ﻩB.eq\r(3)C.2eq\r(6)ﻩD.2eq\r(3)[答案]D[解析]设正六棱柱底面边长为a,高为2h,则h=eq\r(9-a2),V六棱柱=eq\f(3\r(3),2)a2·2eq\r(9-a2)=3eq\r(3)a2eq\r(9-a2),V′=6eq\r(3)aeq\r(9-a2)-eq\f(3\r(3)a3,\r(9-a2)),令V′=0,解得a=eq\r(6).∴h=eq\r(3),∴六棱柱的高为2eq\r(3).4.(文)内接于半径为R的球并且体积最大的圆锥的高为()A.RﻩB.2RC.eq\f(4,3)RﻩD.eq\f(3,4)R[答案]C[解析]设圆锥的高为h,底面半径为r,则R2=(h-R)2+r2,∴r2=2Rh-h2,∴V=eq\f(1,3)πr2h=eq\f(π,3)h(2Rh-h2)=eq\f(2,3)πRh2-eq\f(π,3)h3,V′=eq\f(4,3)πRh-πh2,令V′=0得h=eq\f(4,3)R.(理)要制作一个圆锥形的漏斗,其母线长为20cm,要使其体积最大,则高为()A.eq\f(\r(3),3)cmﻩB.eq\f(10\r(3),3)cmC.eq\f(16\r(3),3)cm D.eq\f(20\r(3),3)cm[答案]D[解析]设圆锥的高为x,则底面半径为eq\r(202-x2),其体积为V=eq\f(1,3)πx(400-x2)(0<x<20),V′=eq\f(1,3)π(400-3x2),令V′=0,解得x=eq\f(20\r(3),3).当0<x<eq\f(20\r(3),3)时,V′>0;当eq\f(20\r(3),3)<x<20时,V′<0,所以当x=eq\f(20\r(3),3)时,V取最大值.5.(2014·浙江省名校联考)设函数ht(x)=3tx-2teq\f(3,2),若有且仅有一个正实数x0,使得h7(x0)≥ht(x0)对任意的正数t都成立,则x0=()A.5ﻩB.eq\r(5)C.3ﻩD.eq\r(7)[答案]D[分析]“有且仅有一个正实数x0,使得h7(x0)≥ht(x0),对t>0都成立”,即对变量t,ht(x0)的最大值≤h7(x0).[解析]∵h7(x0)≥ht(x0)对任意的正数t都成立,∴h7(x0)≥ht(x0)max.记g(t)=ht(x0)=3tx0-2teq\f(3,2),则g′(t)=3x0-3teq\f(1,2),令g′(t)=0,得t=xeq\o\al(2,0),易得ht(x0)max=g(xeq\o\al(2,0))=xeq\o\al(3,0),∴21x0-14eq\r(7)≥xeq\o\al(3,0),将选项代入检验可知选D.6.(文)(2014·山西大同诊断)设D是函数y=f(x)定义域内的一个区间,若存在x0∈D,使f(x0)=-x0,则称x0是f(x)的一个“次不动点”.若函数f(x)=ax2-3x-a+eq\f(5,2)在区间[1,4]上存在次不动点,则实数a的取值范围是()A.(-∞,0)ﻩB.(0,eq\f(1,2))C.[eq\f(1,2),+∞) D.(-∞,eq\f(1,2)][答案]D[解析]设g(x)=f(x)+x,依题意,存在x∈[1,4],使g(x)=f(x)+x=ax2-2x-a+eq\f(5,2)=0.当x=1时,g(1)=eq\f(1,2)≠0;当x≠1时,由ax2-2x-a+eq\f(5,2)=0得a=eq\f(4x-5,2x2-1).记h(x)=eq\f(4x-5,2x2-1)(1<x≤4),则由h′(x)=eq\f(-2x2+5x-2,x2-12)=0得x=2或x=eq\f(1,2)(舍去).当x∈(1,2)时,h′(x)>0;当x∈(2,4)时,h′(x)<0,即函数h(x)在(1,2)上是增函数,在(2,4)上是减函数,因此当x=2时,h(x)取得最大值,最大值是h(2)=eq\f(1,2),故满足题意的实数a的取值范围是(-∞,eq\f(1,2)],选D.(理)(2014·湖北宜昌模拟)已知y=f(x)是奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)=lnx-ax(a>eq\f(1,2)),当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a的值等于()A.eq\f(1,4)ﻩB.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)ﻩD.1[答案]D[解析]x∈(-2,0)时,-x∈(0,2),∴f(-x)=ln(-x)+ax,∵f(x)为奇函数,∴f(x)=-ln(-x)-ax,∴f′(x)=-eq\f(1,x)-a,由f′(x)=0得x=-eq\f(1,a).当0>x>-eq\f(1,a)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当-2<x<-eq\f(1,a)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.由题设知f(-eq\f(1,a))=-lneq\f(1,a)+1=1,∴a=1,故选D.二、填空题7.(2013·开封第一次模拟)已知函数f(x)=x3-ax2+bx+3(a,b∈R),若函数f(x)在[0,1]上单调递减,则a2+b2的最小值为________.[答案]eq\f(9,5)[解析]依题意,当x∈[0,1]时,f′(x)=3x2-2ax+b≤0,即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′0=b≤0,f′1=3-2a+b≤0)),在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域,如图所示,结合图形不难得知,该平面区域内的点(a,b)与原点的距离的平方即为a2+b2,其最小值等于原点到直线3-2a+b=0的距离的平方,即等于eq\f(9,5).8.(文)用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2∶1,该长方体的最大体积是________.[答案]3m[解析]设长方体的宽为x,则长为2x,高为eq\f(9,2)-3x(0<x<eq\f(3,2)),故体积为V=2x2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)-3x))=-6x3+9x2,V′=-18x2+18x,令V′=0得,x=0或1,∵0<x<eq\f(3,2),∴x=1.∴该长方体的长、宽、高各为2m、1m、1.5m时,体积最大,最大体积Vmax=3m3(理)用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么容器的容积最大时,容器的高为________.[答案]1.2m[解析]设容器的短边长为xm,则另一边长为(x+0.5)m,高为eq\f(14.8-4x-4x+0.5,4)=3.2-2x.由3.2-2x>0和x>0,得0<x<1.6,设容器的容积为ym3,则有y=x(x+0.5)(3.2-2x)(0<x<1.6),整理得y=-2x3+2.2x2+1.6x,∴y′=-6x2+4.4x+1.6,令y′=0,有-6x2+4.4x+1.6=0,即15x2-11x-4=0,解得x1=1,x2=-eq\f(4,15)(不合题意,舍去),∴高为3.2-2=1.2,容积V=1×1.5×1.2=1.8,∴高为1.2m时容积最大.9.(文)若函数f(x)=lnx-eq\f(1,2)ax2-2x存在单调递减区间,则实数a的取值范围是________.[答案](-1,+∞)[分析]函数f(x)存在单调减区间,就是不等式f′(x)<0有实数解,考虑到函数的定义域为(0,+∞),所以本题就是求f′(x)<0在(0,+∞)上有实数解时a的取值范围.[解析]解法1:f′(x)=eq\f(1,x)-ax-2=eq\f(1-ax2-2x,x),由题意知f′(x)<0有实数解,∵x>0,∴ax2+2x-1>0有实数解.当a≥0时,显然满足;当a<0时,只要Δ=4+4a>0,∴-1<a<0,综上知a>-1.解法2:f′(x)=eq\f(1,x)-ax-2=eq\f(1-ax2-2x,x),由题意可知f′(x)<0在(0,+∞)内有实数解.即1-ax2-2x<0在(0,+∞)内有实数解.即a>eq\f(1,x2)-eq\f(2,x)在(0,+∞)内有实数解.∵x∈(0,+∞)时,eq\f(1,x2)-eq\f(2,x)=(eq\f(1,x)-1)2-1≥-1,∴a>-1.(理)对于三次函数y=ax3+bx2+cx+d(a≠0),给出定义:设f′(x)是函数y=f(x)的导数,f″(x)是f′(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.若f(x)=eq\f(1,3)x3-eq\f(1,2)x2+3x-eq\f(5,12),根据这一发现可得:(1)函数f(x)=eq\f(1,3)x3-eq\f(1,2)x2+3x-eq\f(5,12)的对称中心为________;(2)计算f(eq\f(1,2014))+f(eq\f(2,2014))+f(eq\f(3,2014))+f(eq\f(4,2014))+…+f(eq\f(2013,2014))=________.[答案](1)(eq\f(1,2),1)(2)2013[解析](1)f′(x)=x2-x+3,f″(x)=2x-1,由2x-1=0得x=eq\f(1,2),f(eq\f(1,2))=eq\f(1,3)×(eq\f(1,2))3-eq\f(1,2)×(eq\f(1,2))2+3×eq\f(1,2)-eq\f(5,12)=1,由拐点的定义知f(x)的拐点即对称中心为(eq\f(1,2),1).(2)f(eq\f(k,2014))+f(1-eq\f(k,2014))=f(eq\f(k,2014))+f(eq\f(2014-k,2014))=2(k=1,2,…,1007),∴f(eq\f(1,2014))+f(eq\f(2,2014))+…+f(eq\f(2013,2014))=[f(eq\f(1,2014))+f(eq\f(2013,2014))]+[f(eq\f(2,2014))+f(eq\f(2012,2014))]+…+[f(eq\f(1006,2014))+f(eq\f(1008,2014))]+f(eq\f(1007,2014))=2×1006+1=2013.三、解答题10.(2013·湖南雅礼中学一模)某工厂生产某种儿童玩具,每件玩具的成本价为30元,并且每件玩具的加工费为t元(其中t为常数,且2≤t≤5),设该工厂每件玩具的出厂价为x元(35≤x≤41),根据市场调查,日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比例,当每件玩具的出厂价为40元时,日销售量为10件.(1)求该工厂的日利润y(元)与每件玩具的出厂价x元的函数关系式;(2)当每件玩具的日售价为多少元时,该工厂的利润y最大,并求y的最大值.[解析](1)设日销售量为eq\f(k,ex),则eq\f(k,e40)=10,∴k=10e40,则日销售量为eq\f(10e40,ex)件,∴日利润y=(x-30-t)·eq\f(10e40,ex).∴y=eq\f(10e40x-30-t,ex)(35≤x≤41).(2)y′=eq\f(10e4031+t-x,ex),令y′=0得x=31+t.①当2≤t≤4时,33≤31+t≤35,∴当35≤x≤41时,y′≤0.∴当x=35时,y取最大值,最大值为10(5-t)e5.②当4<t≤5时,35<t+31≤36,函数y在[35,t+31]上单调递增,在[t+31,41]上单调递减.∴当x=t+31时,y取最大值10e9-t.∴当2≤t≤4,x=35时,日利润最大值为10(5-t)e5元;当4<t≤5,x=31+t时,日利润最大值为10e9-t元.一、解答题11.(文)某食品厂进行蘑菇的深加工,每公斤蘑菇的成本20元,并且每公斤蘑菇的加工费为t元(t为常数,且2≤t≤5),设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x元(25≤x≤40),根据市场调查,日销售量q与ex成反比,当每公斤蘑菇的出厂价为30元时,销售量为100kg.(每日利润=日销售量×(每公斤出厂价-成本价-加工费)).(1)求该工厂的每日利润y元与每公斤蘑菇的出厂价x元的函数关系式;(2)若t=5,当每公斤蘑菇的出厂价x为多少元时,该工厂的利润y最大,并求最大值.[解析](1)设日销售量q=eq\f(k,ex),则eq\f(k,e30)=100,∴k=100e30,∴日销售量q=eq\f(100e30,ex),∴y=eq\f(100e30x-20-t,ex)(25≤x≤40).(2)当t=5时,y=eq\f(100e30x-25,ex),y′=eq\f(100e3026-x,ex).由y′≥0得x≤26,由y′≤0得x≥26,∴y在[25,26]上单调递增,在[26,40]上单调递减,∴当x=26时,ymax=100e4.当每公斤蘑菇的出厂价为26元时,该工厂的利润最大,最大值为100e4元.(理)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=eq\f(k,3x+5)(0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式;(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.[解析](1)设隔热层厚度为xcm,由题设知,每年能源消耗费用为C(x)=eq\f(k,3x+5).再由C(0)=8,得k=40,因此C(x)=eq\f(40,3x+5).又建造费用为C1(x)=6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为,f(x)=20C(x)+C1(x)=20×eq\f(40,3x+5)+6x=eq\f(800,3x+5)+6x(0≤x≤10).(2)f′(x)=6-eq\f(2400,3x+52),令f′(x)=0,即eq\f(2400,3x+52)=6.解得x=5,或x=-eq\f(25,3)(舍去).当0<x<5时,f′(x)<0,当5<x<10时,f′(x)>0,故x=5是f(x)的最小值点,对应的最小值为f(5)=6×5+eq\f(800,15+5)=70.当隔热层修建5cm厚时,总费用达到最小值70万元.12.(文)(2014·希望高中月考)设函数y=x2-2x+2的图象为C1,函数y=-x2+ax+b的图象为C2,已知过C1与C2的一个交点的两切线互相垂直.(1)求a,b之间的关系;(2)求ab的最大值.[解析](1)对于C1:y=x2-2x+2,有y′=2x-2,对于C2:y=-x2+ax+b,有y′=-2x+a,设C1与C2的一个交点为(x0,y0),由题意知过交点(x0,y0)的两切线互相垂直.∴(2x0-2)(-2x0+a)=-1,即4xeq\o\al(2,0)-2(a+2)x0+2a-1=0①又点(x0,y0)在C1与C2上,故有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0=x\o\al(2,0)-2x0+2,y0=-x\o\al(2,0)+ax0+b))⇒2xeq\o\al(2,0)-(a+2)x0+2-b=0②由①②消去x0,可得a+b=eq\f(5,2).(2)由(1)知:b=eq\f(5,2)-a,∴ab=a(eq\f(5,2)-a)=-(a-eq\f(5,4))2+eq\f(25,16).∴当a=eq\f(5,4)时,(ab)最大值=eq\f(25,16).(理)(2013·洛阳统考)已知函数f(x)=eq\f(a,2x)+xlnx,g(x)=x3-x2-x-1.(1)如果存在x1,x2∈[0,2],使得g(x1)-g(x2)≥M,求满足该不等式的最大整数M;(2)如果对任意的s,t∈[eq\f(1,3),2],都有f(s)≥g(t)成立,求实数a的取值范围.[解析](1)存在x1,x2∈[0,2],使得g(x1)-g(x2)≥M⇔x1,x2∈[0,2],[g(x1)-g(x2)]max≥M.∵g′(x)=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1),∴当0<x<1时,g′(x)<0,g(x)单调递减,当1<x<2时,g′(x)>0,g(x)单调递增,∴g(x)max=max{g(0),g(2)}=g(2)=1,g(x)min=g(1)=-2,∴[g(x1)-g(x2)]max=g(x)max-g(x)min=3,满足不等式的最大整数M=3.(2)由(1)知,当x∈[eq\f(1,3),2]时,g(x)max=g(2)=1,依题意,对任意的s,t∈[eq\f(1,3),2]都有f(s)≥g(t)成立⇔当x∈[eq\f(1,3),2]时,f(x)=eq\f(a,2x)+xlnx≥1恒成立.则有f(1)=eq\f(a,2)≥1,∴a≥2.当a≥2且x∈[eq\f(1,3),2]时,f(x)=eq\f(a,2x)+xlnx≥eq\f(1,x)+xlnx.记h(x)=eq\f(1,x)+xlnx,∴h′(x)=-eq\f(1,x2)+lnx+1,且h′(1)=0.当x∈(eq\f(1,3),1)时,h′(x)=-eq\f(1,x2)+lnx+1<0,当x∈(1,2)时,h′(x)=-eq\f(1,x2)+lnx+1>0,∴h(x)=eq\f(1,x)+xlnx在(eq\f(1,3),1)上单调递减,在(1,2)上单调递增,∴h(x)min=h(1)=1,即h(x)≥1,∴当a≥2时原不等式成立.∴a的取值范围是[2,+∞).13.(文)甲乙两地相距400km,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过100km/h,已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(km/h)的函数关系是P=eq\f(1,19200)v4-eq\f(1,160)v3+15v.(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式;(2)为使全程运输成本最少,汽车应以多大速度行驶?并求此时运输成本的最小值.[解析](1)汽车从甲地到乙地需用eq\f(400,v)h,故全程运输成本为Q=eq\f(400P,v)=eq\f(v3,48)-eq\f(5v2,2)+6000(0<v≤100).(2)Q′=eq\f(v2,16)-5v,令Q′=0得,v=80,∴当v=80km/h时,全程运输成本取得最小值,最小值为eq\f(2000,3)元.(理)(2014·江苏连云港二调)一个圆柱形圆木的底面半径为1m,长为10m,将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分.现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁,长度保持不变,底面为等腰梯形ABCD(如图所示,其中O为圆心,C,D在半圆上),设∠BOC=θ,木梁的体积为V(单位:m3),表面积为S(单位:m2).(1)求V关于θ的函数表达式.(2)求θ的值,使体积V最大.(3)问当木梁的体积V最大时,其表面积S是否也最大?请说明理由.[解析](1)梯形ABCD的面积SABCD=eq\f(2cosθ+2,2)·sinθ=sinθcosθ+sinθ,θ∈(0,eq\f(π,2)).体积V(θ)=10(sinθcosθ+sinθ),θ∈(0,eq\f(π,2)).(2)V′(θ)=10(2cos2θ+cosθ-1)=10(2cosθ-1)(cosθ+1).令V′(θ)=0,得cosθ=eq\f(1,2)或cosθ=-1(舍).∵θ∈(0,eq\f(π,2)),∴θ=eq\f(π,3).当θ∈(0,eq\f(π,3))时,eq\f(1,2)<cosθ<1,V′(θ)>0,V(θ)为增函数;当θ∈(eq\f(π,3),eq\f(π,2))时,0<cosθ<eq\f(1,2),V′(θ)<0,V(θ)为减函数.∴当θ=eq\f(π,3)时,体积V最大.(3)木梁的侧面积S侧=(AB+2BC+CD)·10=20(cosθ+2sineq\f(θ,2)+1),θ∈(0,eq\f(π,2)).S=2SABCD+S侧=2(sinθcosθ+sinθ)+20(cosθ+2sineq\f(θ,2)+1),θ∈(0,eq\f(π,2)).设g(θ)=cosθ+2sineq\f(θ,2)+1,θ∈(0,eq\f(π,2)).∵g(θ)=-2sin2eq\f(θ,2)+2sineq\f(θ,2)+2,∴当sineq\f(θ,2)=eq\f(1,2),即θ=eq\f(π,3)时,g(θ)最大.又由(2)知θ=eq\f(π,3)时,sinθcosθ+sinθ取得最大值,∴θ=eq\f(π,3)时,木梁的表面积S最大.综上,当木梁的体积V最大时,其表面积S也最大.14.(文)(2014·河北唐山二模)已知函数f(x)=x2-lnx-ax,a∈R.(1)当a=1时,求f(x)的最小值;(2)若f(x)>x,求a的取值范围.[解析](1)当a=1时,f(x)=x2-lnx-x,f′(x)=eq\f(2x+1x-1,x).当x∈(0,1)时,f′(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0.所以f(x)的最小值为f(1)=0.(2)f(x)>x,即f(x)-x=x2-lnx-(a+1)x>0.由于x>0,所以f(x)>x等价于x-eq\f(lnx,x)>a+1.令g(x)=x-eq\f(lnx,x),则g′(x)=eq\f(x2-1+lnx,x2).当x∈(0,1)时,g′(x)<0;当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0.g(x)有最小值g(1)=1.故a+1<1,a的取值范围是(-∞,0).(理)(2014·黑龙江大庆实验中学期中)已知函数f(x)=xlnx(x>0).(1)试求函数f(x)的单调区间和最值;(2)若g(x)=f′(x),直线y=kx+b与曲线g(x)相交于A(x1,y1),B(x2,y2)不同的两点,若x0=eq\f(x1+x2,2),试证明k>g′(x0).[解析](1)f′(x)=lnx+1,由f′(x)>0得x>eq\f(1,e),函数f(x)的减区间是(0,eq\f(1,e)],增区间是[eq\f(1,e),+∞),f(x)min=f(eq\f(1,e))=-eq\f(1,e).(2)证明:g(x)=f′(x)=lnx+1,令x1>x2>0,k=eq\f(gx1-gx2,x1-x2),g′(x0)=eq\f(1,x0)=eq\f(2,x1+x2),构造函数F(x)=g(x1)-g(x2)-eq\f(2x1-x2,x1+x2)=lnx1-lnx2-eq\f(2x1-x2,x1+x2)=lneq\f(x1,x2)-eq\f(2\f(x1,x2)-1,\f(x1,x2)+1),令eq\f(x1,x2)=t,则h(t)=lnt-eq\f(2t-1,t+1)(t>1),h′(t)=eq\f(t-12,tt+12)>0,所以h(t)>h(1)=0,所以F(x)>0,即k>g′(x0).15.(文)(2014·邯郸市一模)已知函数f(x)=eq\f(1,2)x2-(a+1)x+alnx+1.(1)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)的极大值;(2)求a的范围,使得f(x)≥1恒成立.[解析](1)f′(x)=x-(a+1)+eq\f(a,x)(x>0),∵x=3是f(x)的极值点,∴f′(3)=3-(a+1)+eq\f(a,3)=0,解得a=3.当a=3时,f′(x)=eq\f(x2-4x+3,x)=eq\f(x-1x-3,x).当x变化时,x(0,1)1(1,3)3(3,+∞)f′(x)+0-0+f(x)递增极大值递减极小值递增f(x)的极大值为f(1)=-eq\f(5,2).(2)要使得f(x)≥1恒成立,即x>0时,eq\f(1,2)x2-(a+1)x+alnx≥0恒成立.设g(x)=eq\f(1,2)x2-(a+1)x+alnx,,则g′(x)=x-(a+1)+eq\
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