椭圆第二定义应用及经典例题解析

高考数学椭圆第二定义应用一、随圆的第二定义（比值定义若

MFd

,为常数则的轨迹是以F为焦点，L为准线的椭圆。注：①其中F为定点，F，0为M到定直线L：

a2x的距离c②F与是对应的，即：左焦点对应左准线，右焦点对应右准线。二、第定义的应用[例1]知

2y(3),F是1612

1

的右焦点点M为椭圆的动点求MAMF的最小值，并求出此时点M坐标。分析：此题主要在于2MF的转化，由第二定义：

MFd

12

，可得出MFd，即为M到（右准线）的距离。再求最小值可较快的求出。解：图，过M作l于，L为右准线：x，由第二定义，知：

MFd

12

，MFdMNMAMF要使MAMF为最小值，即：MA为“最小由图知：当A、M、N共线，1

y2000y2000即：AMl时，MAMF为最小；且最小值为A到的距离10，此时，可设M(x,0

，代入椭圆方程中，解得：

x0

故当M(23)，MAMF为的最小值为10[评注：（1）以上解法是椭圆第二定义的巧用，将问题转化为点到直线的距离去求，可使题目变得简单。（2）一般地，遇到一个定点到定直线问题应想到椭圆的第二定义。[例2]设()为椭圆(a0)ab2

的一点，离心率为e到左焦点和右焦1点F的距离分别为r，r212

求证：

rex,r12

0证明作图，由第二定义：

PF12

即：

rPF1

22)又PFPF12raaa21

0注：①上述结论

r，r称为椭圆中的焦半径公式1020②PFr1

由0

a0

得出raea且a11

即aPF1当PF1

为

a2

当PF时为1[练习（1）过

x

y2

的左焦点F作倾斜角为30的直线交椭圆于两点则弦AB的长为2分析AB是焦点弦

ABAFBF

a

只需求用AB联立方程后，韦达定理的方法可解）（2）

x2y2F2为

的左、右焦点，P椭圆上的一点，若PFPFP到左2准线的距离为24分析：由焦半径公式，设px

0

0

得0

即0又左准线为：

则P到左准线距离为8-（-16[例设椭圆的左焦点为F，AB过F的弦，试分析以AB为直径的圆与左准线L的位置关系解，设M弦AB的中点为“圆心作AAL于ABB于11L由椭圆的第二定义知：(BB)1又在直角梯形

ABAA11中，MM是中位线1BBMM11

1即：

ABMM

1

2

3

（

2

为圆M半径rMM为圆心M左准线的距离drd故以AB为直径的圆与左准线相离4

B.C.B.D.x2y2B.C.B.D.x2y2椭圆第二定义的应用练习1、椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则此椭圆的离心率e等于（）A．

11234

D.

242椭圆的两个焦点是F和F一条准线方程是

163

则此椭圆方程（）A．C.

xy2xyx2y2xy7

3、由椭圆的四个顶点组成的菱形的高等于：

。4、不论k为何实数值，直线y=kx+1焦点在x轴的椭圆

x2

总有公共点，则的取值范围是：。5、已椭圆22m的一焦点为0）求的值．6、已椭圆的中心原点，经过点P，，求椭圆的标准方程5

42427、已知P在以坐轴为对称轴椭圆上点到两焦点距离分为作焦点在轴的垂线它恰好椭圆的一个点，求圆方程．

和过P点38、求心在原点，称轴为标轴，且经A3和(3两的椭圆程．分析：可设其方程为

2

2

()，且不必去考虑焦点哪个坐标轴上，直接可求出方程．6

椭