(压轴题)高中数学必修五第三章《不等式》测试题(含答案解析)

一、选择题1．已知正数，满足，则的最小值为（）A． B．2 C． D．62．已知，则的最小值为（）A． B． C． D．3．己知x，y满足，且，若z的最大值是其最小值的倍，则a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．44．已知，满足约束条件若恒成立，则的取值范围是（）A． B． C． D．5．设满足约束条件，则的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．106．若函数的图象与不等式组，表示的区域有公共点，则的取值范围为（）A． B． C． D．7．已知函数，且，则()A． B．C． D．8．函数的图像在点处的切线斜率的最小值是（）A． B． C．1 D．29．已知，则的取值范围是（）A． B． C． D．10．已知直线l的方程为2x+3y＝5，点P（a，b）在l上位于第一象限内的点，则的最小值为（）A． B． C． D．11．已知实数x,y满足,则的取值范围是()A． B． C． D．12．已知实数，满足，则的最大值为（）A．2 B．8 C．11 D．13二、填空题13．设，满足约束条件，则的最大值是________.14．已知实数，满足约束条件，则的最小值为________.15．若不等式在上恒成立，则实数的最小值为________16．在下列函数中，①②③④其中最小值为2的函数是__________.17．实数满足约束条件若目标函数的最大值为4，则的最大值为______18．已知实数满足，则的取值范围是__________．19．已知正项等比数列满足：，，若存在两项使得，则的最小值为______20．已知二次函数，满足，对任意的都有恒成立，则的取值范围是_________.三、解答题21．设函数．（1）若不等式的解集是，求不等式的解集；（2）当时，恒成立，求实数a的取值范围．22．如图，某房地产开发公司计划在一栋楼区内建造一个矩形公园，公园由矩形的休闲区（阴影部分）和环公园人行道组成，已知休闲区的面积为1000平方米，人行道的宽分别为4米和10米，设休闲区的长为x米．（1）求矩形所占面积S（单位：平方米）关于x的函数解析式；（2）要使公园所占面积最小，问休闲区的长和宽应分别为多少米？23．已知集合，.（1）求集合和集合；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围.24．已知函数恒成立．（1）求的取值范围；（2）若的最大值为，当正数、满足时，求的最小值．25．已知（1）若的解集为，求关于x的不等式的解集；（2）解关于x的不等式.26．已知函数.（1）当时，解不等式；（2）当时，恒成立，求的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】化简，再利用基本不等式求解.【详解】由题得当且仅当时取等.所以的最小值为2.故选：B【点睛】方法点睛：利用基本不等式求最值时，常用到常量代换，即把所求代数式中的某一常量换成已知中的代数式，再利用基本不等式求解.2．B解析：B【分析】由对数运算可得出，利用基本不等式可求得的最小值.【详解】因为，即，所以，且有，，由基本不等式可得，所以，，所以，且，，当且仅当时等号成立.因此，的最小值为.故选：B.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.3．A解析：A【分析】作出不等式组表示的图象，可看作可行域内的点到原点距离的平方，由图可观察出最远的点和最近的点，分别求出距离做比值列出等式可得答案.【详解】根据不等式组作出图象，则阴影部分即为可行域，由解得，即，恒过且，因为，z的几何意义是可行域内的点到原点距离的平方，由图点到原点的距离的平方最大，，的最小值为原点到直线的距离的平方，，根据题意可得，整理得，解得或（舍去）.故选：A.【点睛】本题考查简单的线性规划问题，关键点是作出可行域，利用z的几何意义确定点，考查了数形结合思想，属于基础题.4．D解析：D【详解】作出满足约束条件的可行域如图所示：平移直线到点时，有最小值为∵恒成立∴，即故选D点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.5．B解析：B【分析】结合题意画出可行域，然后运用线性规划知识来求解【详解】如图由题意得到可行域，改写目标函数得，当取到点时得到最小值，即故选【点睛】本题考查了运用线性规划求解最值问题，一般步骤：画出可行域，改写目标函数，求出最值，需要掌握解题方法6．B解析：B【分析】由约束条件作出可行域，再由指数函数的图象经过，两点求得值，则答案可求．【详解】解：由约束条件作出可行域如图：当时，；当时，，则.故的取值范围为.故选：．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．7．C解析：C【分析】由可求得的值，代回不等关系得出的取值范围【详解】由可得解得则所以，所以，解得，故选.【点睛】本题主要考查了函数的性质，运用待定系数法求出参量的值，然后结合题意求出取值范围，较为基础．8．D解析：D【分析】先求导数,根据导数几何意义得切线斜率,再根据基本不等式求最值.【详解】,当且仅当时取等号，因此切线斜率的最小值是2，选D.【点睛】利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.9．A解析：A【分析】先将变形为，再代入不等式，，解这两个不等式，即可得与的比值关系，联立可求的取值范围【详解】解：因为，所以，，因为，所以，即，解得，将代入中，得，即，得，所以，故选：A【点睛】此题考查一元一次不等式的应用，考查不等式性质的应用，考查转化思想，属于中档题10．C解析：C【分析】由题意可得2a+3b＝5，a，b＞0，可得4a＝10﹣6b，（3b＜5），将所求式子化为b的关系式，由基本不等式可得所求最小值．【详解】直线l的方程为2x+3y＝5，点P（a，b）在l上位于第一象限内的点，可得2a+3b＝5，a，b＞0，可得4a＝10﹣6b，（3b＜5），则[（11﹣6b）+（9+6b）]（）（7），当且仅当时，即b，a，上式取得最小值，故选：C．【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查变形能力和化简运算能力，属于中档题．11．D解析：D【分析】画出可行域，根据目标函数的截距，利用数形结合，即可求出z的取值范围.【详解】作出可行域如下：由得，平移直线，由平移可知当直线，经过点时，直线的截距最小，此时取得最大值，由，解得，即，此时，可知当直线，经过点时，直线的截距最大，此时取得最小值，由，得，即，代入得，故，故选：．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，属于中档题．12．C解析：C【分析】根据条件作出可行域，根据图形可得出答案.【详解】由实数，满足，作出可行域，如图.设，则化为所以表示直线在轴上的截距.可得，可得根据图形可得，当直线过点时截距最大，所以的最大值为11.故选：C【点睛】方法点睛：解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.二、填空题13．8【分析】根据xy满足的约束条件画出可行域然后平移直线当直线在y轴上截距最大时目标函数取得最大值【详解】依题意xy满足约束条件可行域如图所示阴影部分：易得点平移直线（图中虚线）当直线经过C点时在y轴解析：8【分析】根据x，y满足的约束条件画出可行域，然后平移直线，当直线在y轴上截距最大时，目标函数取得最大值.【详解】依题意x，y满足约束条件可行域如图所示阴影部分：易得点、、，平移直线（图中虚线），当直线经过C点时，在y轴上的截距最大，目标函数有最大值，，所以目标函数的最大值是8.故答案为：8.【点睛】方法点睛：本题考查线性规划求最值，考查数形结合思想.线性规划问题考查的方式是由二元一次不等式组给出线性约束条件确定可行域，求可行域的面积、或确定形状；或者是在线性约束条件下求目标函数的取值范围、最值或取得最值时的点的坐标的确定以及由此衍生出来的其他相关问题，比如直线的斜率、平面距离的最值等问题.14．【解析】作可行域如图则直线z=x+2y过点A（20）时z取最小值2点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化即数形结合的思想需要注意的是：一准确无误地作出可行域；二画目标函数所对应的直线时要注意与约束条解析：【解析】作可行域，如图，则直线z=x+2y过点A（2，0）时z取最小值2.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.15．【分析】根据题意令分析可以将不等式在x∈12上恒成立转化为二次函数的性质列出不等式组解可得m的取值范围即可得答案【详解】根据题意令若不等式在x∈12上恒成立则有△＝m2﹣4m≤0或或解可得实数m的最解析：【分析】根据题意，令，分析可以将不等式在x∈[1，2]上恒成立转化为二次函数的性质列出不等式组，解可得m的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，令，若不等式在x∈[1，2]上恒成立，则有△＝m2﹣4m≤0或或，解可得，实数m的最小值为：，故答案为．【点睛】本题考查二次函数的性质，关键是将x2+mx+m≥0在x∈[1，2]上恒成立转化为二次函数y＝x2+mx+m在x∈[1，2]上的最值问题．16．①③【分析】结合基本不等式对四个函数逐个分析可得出答案【详解】对于①函数是定义域为的偶函数当时当且仅当时等号成立根据对称性可知函数的最小值为2满足题意；对于②因为所以则当且仅当即时等号成立所以即函数解析：①③【分析】结合基本不等式，对四个函数逐个分析，可得出答案.【详解】对于①，函数是定义域为的偶函数，当时，，当且仅当时等号成立，根据对称性可知，函数的最小值为2，满足题意；对于②，，因为，所以，则，当且仅当，即时等号成立，所以，即函数的最大值为2，没有最小值，不满足题意；对于③，，因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为2，符合题意；对于④，，因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，因为，所以，即函数的最小值不是2，不符合题意；故答案为：①③.【点睛】本题考查函数的最值，考查基本不等式的应用，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题.17．2【分析】作出不等式对应的平面区域利用z的几何意义确定取得最大值的条件然后利用基本不等式进行求可得的最大值【详解】作出不等式对应的平面区域由得则目标函数对应直线的斜率平移直线由图象可知当直线经过点A解析：2【分析】作出不等式对应的平面区域,利用z的几何意义确定取得最大值的条件，然后利用基本不等式进行求，可得的最大值.【详解】作出不等式对应的平面区域,由得，则目标函数对应直线的斜率，平移直线，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大，此时z最大.由解得此时z的最大值为，当且仅当时取等号.解故答案为:2.【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，以及基本不等式的应用，利用数形结合求出目标函数取得最大值的条件是解决本题的关键.18．【解析】先画出可行域如图：因为目标函数表示动点与定点连线斜率再加1；由图可知；最小最大；联立可得即联立可得即故：∴所以：故答案为点睛：本题考查线性规划问题难点在于目标函数几何意义近年来高考线性规划问解析：【解析】先画出可行域如图：因为目标函数表示动点与定点连线斜率再加1；由图可知；最小，最大；联立，可得，即，联立，可得，即，故：，，∴，所以：，故答案为.点睛：本题考查线性规划问题，难点在于目标函数几何意义，近年来高考线性规划问题高考数学考试的热点，数形结合是数学思想的重要手段之一，是连接代数和几何的重要方法．随着要求数学知识从书本到实际生活的呼声不断升高，线性规划这一类新型数学应用问题要引起重视；①画可行域②明确目标函数几何意义，目标函数表示动点与定点连线斜率再加1，③过做直线与可行域相交可计算出直线斜率，从而得出所求目标函数范围.19．【分析】由先求出数列的通项公式由找到把乘以1等量代换最后利用均值定理即可求解【详解】解：设正项等比数列的公比为由又所以所以即当且仅当即时取等号则的最小值为故答案为：【点睛】考查等比数列的性质以及用均解析：【分析】由，，先求出数列的通项公式，由找到,把乘以1，等量代换，最后利用均值定理即可求解.【详解】解：设正项等比数列的公比为，由，，又，所以，，，所以，即，当且仅当，即时取等号，则的最小值为故答案为：.【点睛】考查等比数列的性质以及用均值定理求最小值，基础题.20．【分析】用abc把各函数值表示出来再由已知条件得到abc之间的关系进而得到不等式恒成立即可求范围【详解】∵∴又由二次函数对任意的都有恒成立知：而∴故∴令即∴若有即可而在上无最大值无最小值但∴故答案为解析：【分析】用a、b、c把各函数值表示出来，再由已知条件得到a、b、c之间的关系，进而得到不等式恒成立，即可求范围【详解】∵∴又由二次函数对任意的都有恒成立知：，而∴，故∴，令即∴，若有即可，而在上无最大值，无最小值但∴故答案为：【点睛】本题考查了一元二次函数、一元二次不等式以及一元二次方程根与系数关系，首先由各函数值的表达式代入目标式并化简，再由一元二次方程根与系数关系确定系数间的不等关系，进而构造一元二次函数，根据不等式恒成立，求目标式范围三、解答题21．（1）或；（2）．【分析】（1）先由一元二次不等式的解集确定对应方程的根，再利用根与系数的关系即得结果；（2）开口向上的二次函数大于等于恒成立，只需限定判别式，即解得参数范围.【详解】解：（1）因为不等式的解集是，所以是方程的解由韦达定理得：，故不等式为，解不等式得其解集为或（2）当时，恒成立，则，即，解得，所以实数a的取值范围为．【点睛】二次函数的恒成立问题的解决方法：（1）时在R上恒成立等价于对应方程的判别式成立；（2）时在R上恒成立等价于对应方程的判别式成立．22．（1）；（2）休闲区的长和宽应分别为米，米.【分析】（1）先表示休闲区的宽，再表示矩形长与宽，最后根据矩形面积公式得函数解析式，注意求函数定义域；（2）根据基本不等式求S最小值，再根据等号取法确定休闲区的长和宽.【详解】（1）因为休闲区的长为x米，休闲区的面积为1000平方米，所以休闲区的宽为米；从而矩形长与宽分别为米米，因此矩形所占面积，（2）当且仅当时取等号，此时因此要使公园所占面积最小，休闲区的长和宽应分别为米，米.【点睛】本题考查函数应用、求函数解析式、利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.23．（1），；（2）．【分析】（1）由对数函数的性质求对数型复合函数的定义域，即集合，利用基本不等式求函数的值域可得集合；（2）根据必要不充分条件与集合包含之间的关系确定的范围．【详解】（1），所以，因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立．所以．（2）由（1），因为“”是“”的必要不充分条件，所以是的真子集，所以，所以．【点睛】本题考查求函数的定