章协方差分析研究生演示文稿

章协方差分析研究生演示文稿目前一页\总数六十九页\编于十九点（优选）章协方差分析研究生目前二页\总数六十九页\编于十九点复习方差内容1.方差分析的基本思想2.成组设计的多个样本均数比较3.配伍组设计的多个样本均数比较4.多个样本均数的两两比较5.重复测量方差分析（与方差对应）目前三页\总数六十九页\编于十九点方差分析（analysisofvariance,ANOVA）应用范围1.用于两个或两个以上样本均数的比较2.分析两个或多个研究因素的交互作用3.回归方程线性假设检验等。应用条件1.各样本是相互独立的随机样本；2.各样本来自正态分布总体3.各总体方差齐。如果不符合上述条件就要对资料进行处理。

目前四页\总数六十九页\编于十九点单因素方差分析变异构成组间变异SS组间SS总组内变异总变异SS组内随机误差处理因素随机误差个体变异个体变异目前五页\总数六十九页\编于十九点各种变异的表示方法SS总总MS总SS组内组内MS组内SS组间组间MS组间三者之间的关系：SS总=SS组内+SS组间总=组内+组间目前六页\总数六十九页\编于十九点SS总总SS组内组内MS组内SS组间组间MS组间变异之间的关系：SS总=SS组内+SS组间+SS配伍间总=组内+组间+配伍间变异间的关系SS配伍间配伍间MS配伍间目前七页\总数六十九页\编于十九点方差分析的基本思想总变异(totalvariation)：SS总ν总=（N−1）。组内变异(variationwithingroups)：SS组内ν组内=N−k，组内均方:MS组内=SS组内

/(N−k)。组间变异(variationamonggroups)：（SS组间ν组间=（k−1）,组间的均方：MS组间=SS组间/(k−1)。目前八页\总数六十九页\编于十九点目前九页\总数六十九页\编于十九点重复测量设计(单因素)目前十页\总数六十九页\编于十九点重复测量设计与随机区组设计区别重复测量设计

●处理因素在区组间（受试者）随机分配；

●区组内各时间点固定，不能随机分配；区组内实验单位彼此不独立。

随机区组设计

●处理因素在区组内随机分配；每个区组内实验单位彼此独立。目前十一页\总数六十九页\编于十九点请设计一个实验：饮食（肉食者，素食者）与运动强度（轻、中、重）对脉搏的影响（人群研究）。目前十二页\总数六十九页\编于十九点直线回归的变异来源

p(x,y)

的分解图目前十三页\总数六十九页\编于十九点

：反映了y的总变异程度，称为y的总平方和，记为；：映了由于y与x间存在直线关系所引起的y的变异程度，称为回归平方和，记为；：反映了除y与x存在直线关系以外的原因，包括随机误差所引起的y的变异程度，称为离回归平方和或剩余平方和，记为SS剩。

目前十四页\总数六十九页\编于十九点目前十五页\总数六十九页\编于十九点离均差4种表达方式平方和目前十六页\总数六十九页\编于十九点协方差分析（analysisofcovariance）是把直线回归分析与方差分析结合起来的一种统计分析方法，用来消除混杂因素对处理效应的影响，提高分析结果的真实性。属多元统计方法范畴。第一节协方差分析的基本思想和步骤目前十七页\总数六十九页\编于十九点一基本思想

1.各组间同质：在多个样本均数比较的方差分析中，我们要求除处理因素外，其他影响观察指标的因素应齐同，即各组间应有同质基础。举例说明。目前十八页\总数六十九页\编于十九点2.各组间不同质：但在医学科研中常遇到以下情况：如在食品营养的动物实验中，各组动物所增加的平均体重不仅与各种饲料的营养价值有关，还与各组动物的初始体重、进食量有关。初始体重、进食量都是影响观察指标的变量，亦称混杂因素，在统计分析中又称协变量；考虑协变量影响的方差分析，即为协方差分析。目前十九页\总数六十九页\编于十九点1.协方差分析：是解决混杂因素影响的分析方法，它是将线性回归与方差分析结合起来，检验2个或多个修正均数间有无差别的假设检验方法。目的把与Y有线性关系的协变量影响化为相等后，再来比较修正均数间的差别。

概念3.协变量：又称混杂因素，处理因素以外影响观察指标的变量2.修正均数：假定各组协变量相等时的均数。目前二十页\总数六十九页\编于十九点增长体重不同蛋白质处理因素进食量性别窝别出生体重线性线性目前二十一页\总数六十九页\编于十九点例如，在上述的营养研究中，若要比较不同饲料组的动物增重有无差别，而动物的增重又与进食量、初始体重有线性关系时，可先用直线回归的方法，找出各组因变量（增重）与协变量（进食量或动物体重）之间的数量关系，求得在假定协变量相等时的修正均数，然后用方差分析比较修正均数间的差别。目前二十二页\总数六十九页\编于十九点二、协方差应用条件及其用途

1．协方差分析的应用条件(1)各样本是来自于方差相同的正态总体的随机样本，即：.(2)各样本的X与Y呈直线回归关系，即：;且各组间回归直线平行（组间差别无统计学显著性意义），即：

在做协方差分析之前，须先进行方差齐性检验、正态性检验和回归系数的假设检验。符合上述条件，或经变量变换后符合上述条件，方可进行协方差分析；否则，不宜用此法。目前二十三页\总数六十九页\编于十九点

2．协方差分析的用途根据研究目的不同，协方差分析可用于完全随机设计、配伍组设计、拉丁方设计和析因设计的资料。下面介绍完全随机设计和配伍组设计的协方差分析的步骤。目前二十四页\总数六十九页\编于十九点三、协方差分析步骤(一)变异的分解及其公式协方差分析将因变量Y的残差分为两部分：修止均数间的变异和组内残差。

修正均数指的是当混杂因素(初始体重、进食量等）一致时，各处理组的因变量（如增重）的平均值。修正均数间的变异是由处理因素（如本例的不同饲料）、个体变异、随机误差造成的。

组内残差是由个体变异、随机误差造成的。如果修正均数的变异远远地大于组内残差的话，可以认为处理因素有作用；如果修正均数的变异与组内残差相差不大，则不能认为处理因素作用。目前二十五页\总数六十九页\编于十九点表2两种饲料喂白鼠实验的进食量（x,g）及增重（y,g）资料

母乳组

奶粉组XYXY549.1532.0513.0526.0373.0560.0571.1618.7470.9500.9123.5117.0124.5104.089.0142.5127.0140.0102.5111.2704.0690.2517.1576.6566.0650.0590.3610.5570.6550.7171.0170.0113.0126.0121.0150.0155.0145.0130.5125.0合计5211.7均数521.21081.2108.126026.0603.61406.5140.7修正均数组内残差对照62页目前二十六页\总数六十九页\编于十九点基本公式有：

1.总变异目前二十七页\总数六十九页\编于十九点2.组间变异目前二十八页\总数六十九页\编于十九点3.组内变异目前二十九页\总数六十九页\编于十九点4.计算残差平方和及自由度比较P169目前三十页\总数六十九页\编于十九点

5.计算F值目前三十一页\总数六十九页\编于十九点第二节

完全随机设计的协方差分析

完全随机设计:将受试对象随机分配到各组,每组分别接受不同的处理后,进行比较推断各组的处理效果是否相同.设有k组双变量资料，欲比较k组因变量y有无差别，而因变量Y又受自变量X的影响；若满足协方差分析的要求，可选用完全随机设计的协入差分析。其数据模式如表13-1。目前三十二页\总数六十九页\编于十九点表13-1完全随机设计的协方差分析的资料模式

第1处理组第2处理组第k处理组XYXY…XYX11X12X1n1Y11Y12Y1n1X21X22X2n2Y21Y22Y2n2………Xk1Xk2XknkYk1Yk2YknkX1Y1X2Y2XkYk对于完全随机设计资料的协方差分析是把Y的残差平方和分解为修正均数间和组内残差两部分。目前三十三页\总数六十九页\编于十九点例13.1把20头雄性白鼠随机分2组,第一组白鼠饲母乳,第二组白鼠饲奶粉,现将2组白鼠9周内进食量(X,g)及所增体重(Y,g)列表如下:问摄入不同饲料的白鼠所增体重的均数有无不同?目前三十四页\总数六十九页\编于十九点表13-3三种饲料喂猪的进初始重量与增重（单位公斤）A饲料组B饲料组C饲料组X1Y1X2Y2X3Y31513111212161417858365768091849017161818212219199790100951031069994222420232527303289918395100102105110X1Y1X2Y2XkYk目前三十五页\总数六十九页\编于十九点表13-3三种饲料喂猪的进初始重量与增重（单位公斤）

母乳组

奶粉组XYXY549.1532.0513.0526.0373.0560.0571.1618.7470.9500.9123.5117.0124.5104.089.0142.5127.0140.0102.5111.2704.0690.2517.1576.6566.0650.0590.3610.5570.6550.7171.0170.0113.0126.0121.0150.0155.0145.0130.5125.0合计5211.7均数521.21081.2108.126026.0603.61406.5140.7目前三十六页\总数六十九页\编于十九点协方差分析步骤:一、判断协方差条件（一）正态性检验和方差齐性检验（二）要求各样本来自方差相等的正态总体（三）判断X和Y有无线性关系要求总体回归系数不等于0。因回归系数与相关系数检验等价，可进行相关系数假设检验代替目前三十七页\总数六十九页\编于十九点根据原始资料绘散点图，观察各组散点图的分布是否呈直线趋势(确定条件)由图13－l可见，两组资料基本呈直线趋势且斜率大体一致（假设本例各处理组资料呈正态分布、方差齐）目前三十八页\总数六十九页\编于十九点判断X与Y有无线性关系做直线相关系数假设检验：H0：ρ=0H1：ρ≠0

α=0.05目前三十九页\总数六十九页\编于十九点用查表法：P<0.001，按α=0.05水准拒绝H0，接受H1，可认为白鼠的进食量与增重之间存在线性关系。tr=tb也可按书上用F检验进行b的假设检验，差异有统计学意义，说明有直线关系。

目前四十页\总数六十九页\编于十九点（四）判断各组回归直线是否平行要求各处理组回归系数相等，用方差检验。四、要求比较组间协变量的观察值不能相差较大，否则修正均数的差值可能在回归直线的延长线上。目前四十一页\总数六十九页\编于十九点用方差分析判断各组回归直线是否平行H0:H1:各总体回归系数不等或不全相等目前四十二页\总数六十九页\编于十九点目前四十三页\总数六十九页\编于十九点二、协方差分析1.建立假设和确定显性水准H0:消除进食量后,两种不同饲料组的白鼠增重总体均数相同,H1:消除进食量后,两种不同饲料组的白鼠增重总体均数不同,2.计算检验统计量F值(1)分别计算总变异、组间变异和组内变异目前四十四页\总数六十九页\编于十九点lyy2/20=8908.1255lxy=1482477-11237.72587.7/20=28486.7655总变异目前四十五页\总数六十九页\编于十九点组间变异目前四十六页\总数六十九页\编于十九点组内变异目前四十七页\总数六十九页\编于十九点(2)计算残差平方和及自由度目前四十八页\总数六十九页\编于十九点

计算F值目前四十九页\总数六十九页\编于十九点表13-3例13.1资料协方差分析结果变异来源离均差平方和残差平方和lxxlyylxySSVMS总组间组内106064.46633154.22572910.2418909.1262538.0056370.12128486.7669173.09019313.6761257.1581253.994181773.764修正均数间3.16413.164F=0.0428947目前五十页\总数六十九页\编于十九点3.确定P值,做出推断结论以υ1(即修正均数间自由度)=1,υ2(即组内自由度)17,查F界值表,得F0.0.5(1,17)=4.45。本例F=0.042<F0.0.5(1,17)，故P>0.05，按α=0.05检验水准不拒绝H0，尚不能认为两饲料组白鼠的增重不同。目前五十一页\总数六十九页\编于十九点表13-4不考虑进食量时方差分析表变异来源SSVMSFP总变异处理间误差8360.3302217.6186142.712191182217.618341.2626.498<0.05

若不考虑进食量对增重的影响，仅对表13-2中的增重（Y)作单因素方差分析时，其结果是不同饲料组的白鼠增重有统计学意义。而用协方差分析可校正协变量（进食量）的干扰，以获得真实的不同资料增重效果。目前五十二页\总数六十九页\编于十九点表13-3三种饲料喂猪的进初始重量与增重（单位公斤）A饲料组B饲料组C饲料组X1Y1X2Y2X3Y31513111212161417858365768091849017161818212219199790100951031069994222420232527303289918395100102105110X1Y1X2Y2XkYk目前五十三页\总数六十九页\编于十九点目前五十四页\总数六十九页\编于十九点假若多组间修正均数结论有显著性，意义是什么？必要时做两两比较的q检验。目前五十五页\总数六十九页\编于十九点假若多组间修正均数结论有显著性，意义是什么？必要时做两两比较的q检验。目前五十六页\总数六十九页\编于十九点两两比较的q检验公共回归系数修正均数目前五十七页\总数六十九页\编于十九点第三节随机区组设计资料的协方差分析配伍组第1处理组第2处理组…第k处理组XYXYXY12┇BX11X12X1bY11Y12Y1bX21X22X2bY21Y22Y2b………Xk1Xk2XkbYk1Yk2Ykb合计均数ΣX1ΣY1ΣX2ΣY2…ΣXkΣYk目前五十八页\总数六十九页\编于十九点例13.2研究核黄素缺乏对蛋白质利用的影响，按配伍组设计将36只大白鼠分成12个配伍组，再将每个配伍组的3只大白鼠随机分入3个饲料组。第一组喂以缺乏核黄素饲料；第2组喂以含核黄素饲料，限制食量与第一组食量相近；第三组喂以含核黄素饲料，但不限制食量。3组大白鼠的进食与所增体重见表13-6，试比较3组白鼠所增体重的修正均数间有无差别？目前五十九页\总数六十九页\编于十九点表13-63组大鼠进食量与增重配伍组第1处理组第2处理组第k处理组XYXYXY123456789101112256.9271.6210.2300.1262.2304.4272.4248.2242.8342.9356.9198.227.041.725.052.014.548.848.09.537.056.576.09.2260.3271.1214.7300.1269.7307.5278.9256.2240.8340.7356.3199.232.047.136.765.039.037.951.526.741.061.3102.18.1544.7481.2418.9556.6394.5426.6416.1549.9580.5608.3559.6371.9160.396.1114.6134.876.372.899.4133.7147.0165.8169.854.3合计均数3266.8272.2445.237.13295.5274.6548.445.75908.8492.41424.9118.7目前六十页\总数六十九页\编于十九点表13-7不考虑进食量时方差分析表变异来源SSVMSFP总变异处理间配伍间误差75786.364829736319089.128399.61352112224148.811735.37381.8063.2504.545<0.01<0.01应注意第3组与第1、2组的进食量不同，因而可用配伍组设计的协方差分析来校正协变量（进食量）的影响。目前六十一页\总数六十九页\编于十九点解题分析步骤（一）检验是否符合协方差条件绘制散点图，观察三组各点的分布是否呈直线趋势。正态分布方差齐斜率大体一致目前六十二页\总数六十九页\编于十九点三组大鼠进食量与增重的关系目前六十三页\总数六十九页\编于十九点（二）协方差分析1.建立假设和确定检验水准。H0:消除进食量后,3组大白鼠增重总体均数相同H1:消除进食量后,3组的白鼠增重总体均数不同

α=0.052.计算检验统计量F值(1)分别计算总变异、处理组间变异、配伍组间变异、误差变异、处理组间与误差变异。目前六十四页\总数六十九页\编于十九点总变异:lxx=508150.076389lyy=75786.356389lxy=187349.143611处理组间变异:lxx=383620.127222lyy=48297.62722lxy=135607.963611配伍组间变异:lxx=87586.703056lyy=19089.116389