2022-2023学年湖北省部分高中联考协作体高二年级下册学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年湖北省部分高中联考协作体高二下学期期中数学试题一、单选题1．已知，则的值是（

）A．6 B．3 C．6或3 D．7【答案】C【分析】利用组合数的性质进行解方程求解.【详解】因为，故或，即或，故A，B，D错误.故选：C.2．数列、、、、的一个通项公式是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】改写数列的前项，利用观察法可得出该数列的一个通项公式.【详解】因为，，，，所以，该数列的一个通项公式为.故选：C.3．将五名防接新冠肺炎疫情的志愿者随机分配到四个社区进行服务，则不同分配方法的种数是（

）A．1021 B．1022 C．1023 D．1024【答案】D【分析】根据题意可得每一名志愿者都有4种不同的选择方法，根据分步乘法计数原理可计算出结果.【详解】每名防控新冠肺炎疫情的志愿者都有4种不同的选择方法，根据分步乘法计数原理可知，不同的选择方法共有（种）故选：D4．已知函数，且，则的值为（

）A．1 B．3 C． D．【答案】D【分析】求出，代入得到，解方程即可得出答案.【详解】由已知可得，，又，所以，解得.故选：D.5．函数的单调递增区间（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据，结合函数的定义域，即可得出单调递增区间.【详解】由，可得或，所以函数的定义域为.求导可得，当时，，由函数定义域可知，，所以函数的单调递增区间是.故选：A.6．点在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则角的范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求导得，即，再根据倾斜角的范围及正切函数的图象求解即可.【详解】解：由，可得，所以，即，当时，，当时，，所以角的范围是.故选：B.7．已知函数是定义在上的减函数，其导数满足，则下列结论中正确的是（

）A．当且仅当时，B．当且仅当时，C．恒成立D．恒成立【答案】C【分析】由已知可推得.构造，求导即可得出在R上单调递增.又，即可得出当时，，，进而根据的单调性，即可得出答案.【详解】由已知可得，又因为，所以，即.令，在R上恒成立，所以在R上单调递增.因为，所以，当时，，又，所以，又是定义在上的减函数，所以.所以时，也恒成立，故当时，.而当时，，结合可得，综上，在上恒成立.故选：C.8．南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的䟻积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高价等差数列，其前五项为，则该数列的第21项为（

）A．400 B．398 C．397 D．402【答案】D【分析】设该数列为，由，得到该数列逐项差数之差成等差数列，首项为1，公差为2，然后利用累加法求解.【详解】解：设该数列为，则由，可知该数列逐项差数之差成等差数列，首项为1，公差为2，故，因此，由，上式相加，得，即，故.故选：D二、多选题9．，则的值为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】AB【分析】由题意可得，再由排列的计算公式求解即可.【详解】解：因为!，所以，当时成立；当时也成立.故选：AB.10．在50件产品中，有47件合格品，3个不合格，从这50件产品中任意抽取4件，则下列结论正确的有（

）A．抽取的4件产品中至多有1件是不合格品的抽法有种B．抽取的4种产品中至少有1件是不合格品的抽法有种C．抽取的4件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种D．抽取的4件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种【答案】BCD【分析】50件产品中任意抽取4件，可能的结果为：没有不合格（全为合格品），恰有1件不合格，恰有2件不合格，恰有3件不合格，分别求出它们的抽法种数，根据分类加法计数原理以及对立事件，即可得出答案.【详解】对于A项，抽取4件产品中没有不合格（全为合格品）的抽法，抽出产品中恰有1件不合格的抽法，抽取的4件产品中至多有1件是不合格品的抽法有种，故A项错误；对于B项，抽出的4件产品中至少有1件不合格品有如下可能：抽出产品中恰有1件不合格的抽法，抽出产品中恰有2件不合格的抽法，抽出产品中恰有3件不合格的抽法，取的4件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种，故B项正确；对于C项，这50件产品中任意抽取4件的抽法为，抽取4件产品中没有不合格（全为合格品）的抽法，故抽出的4件产品中至少有一件合格的抽法为，故C项正确；对于D项，抽出产品中恰有1件不合格的抽法，故D项正确.故选：BCD.11．已知函数，下列命题正确的是（

）A．是函数的一个零点B．函数的最大值为1C．是函数的一个极值点D．函数在处的切线的斜率为【答案】ACD【分析】利用同角三角函数的基本关系、倍角公式、辅助角公式对函数进行化简，再利用三角函数的图象与性质，根据零点的概念、导数与极值、导数的几何意义进行求解.【详解】因为，当时，，A正确；因为，函数的最大值为，B错误；因为，所以当时，C正确；因为，所以当时，，D正确.故选：ACD.12．已知数列满足，其中，为数列的前项和，则下列四个结论中，正确的是（

）A．数列的通项公式为：B．数列为递减数列C．D．若对于任意的都有，则【答案】BC【分析】先求出，根据前项和与项的关系，推得时，，检验，即可得出通项公式，判断A项；作差法，即可判断数列的单调性；裂项可得，求和即可得出；由C项，可知，即可判断D项.【详解】对于A项，由可得：当时，；当时，有，，两式相减得：，即.当时，满足，综上所述：，故A项错误；对于B项，，当时恒成立，故，即数列为递减数列，故B项正确；对于C项，因为，所以，故C项正确；对于D项，因为对任意恒成立，故，所以对于任意的都有，则，故D项错误.故选：BC.三、填空题13．设公比为5的等比数列的前项和为，若，则__________.【答案】504【分析】根据等比数列求和公式求出，即可得解.【详解】因为，所以.故答案为：14．已知的展开式的第3项和第6项的二项式系数相等，则的展开式中的系数为__________.【答案】【分析】根据条件求出的值，然后可得答案.【详解】因为的展开式的第3项和第6项的二项式系数相等，所以，则，因此的展开式中的系数为.故答案为：15．已知两个等差数列与的前项和分别是和：，则__________.【答案】10【分析】利用等差数列的等差中项和前n项和公式求解.【详解】解：，故答案为：1016．已知函数，关于的方程有三个不等实根，则实数的取值范围为__________.【答案】【分析】利用换元法、函数与导数、函数图象结合一元二次函数与一元二次方程进行求解.【详解】由题意得，当时，单调递增，当时，单调递减，故，当，，但对数增长缓慢，所以，当，，，所以，所以可知函数的图像如图所示：令，则有三个不等实根等价于有两个不等实根，令，因为则有两个不等实根，因为，所以不妨令，所以，解得，实数的取值范围.故答案为：.四、解答题17．从7名运动员中选4人参加米接力赛，在下列条件下，各共有多少种不同的排法？（写出计算过程，并用数字作答）(1)甲不跑第一棒，乙不跑最后一棒；(2)若甲､乙两人都被选且不跑相邻两棒.【答案】(1)620；(2)120.【分析】（1）根据给定条件，利用排列知识结合特殊元素、特殊位置法列式计算作答.（2）取出符合要求的人数，再利用不相邻问题列式计算作答.【详解】（1）若乙在第一棒，其余三棒共有选法，若乙不在第一棒，甲不在第一棒，则需选择一人跑第一棒，共有种选法，乙不在最后一棒，则需选择一人跑最后一棒，共有种选法，其余两棒共有选法，所以甲不在第一棒，乙不在最后一棒的不同排法种数有种.（2）除甲､乙外还需选择2人参加接力赛共有种选法，甲乙不跑相邻两棒，先排除甲乙外的另2人，有种排法，再把甲乙插入这两人排列形成的3个间隙中，有种排法，所以甲､乙两人都被选且不跑相邻两棒共有种排法.18．已知函数满足(1)求的值；(2)求这个函数在点处的切线方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出，代入，求解即可得出答案；（2）代入，得出表达式，求出.根据导数的几何意义得到斜率，代入点斜式方程，整理即可得出答案.【详解】（1）由已知可得，，将代入上式，可得：，从而.（2）由（1）可知，，所以，，又由导数的几何意义可知，函数在点处的切线斜率，所以，函数在点处的切线方程为，整理可得，.19．王先生今年初向银行申请个人住房贷款100万元购买住房，月利率为，按复利计算，并从贷款后的次月初开始还贷，分10年还清.银行给王先生提供了两种还贷方式：①等额本金：在还款期内把本金总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息；②等额本息：在还款期内，每月偿还同等数额的贷款（包括本金和利息）.(1)若王先生采取等额本金的还贷方式，已知第一个还贷月应还15000元，最后一个还贷月应还6500元，试计算王先生该笔贷款的总利息；(2)若王先生采取等额本息的还贷方式.银行规定每月还贷额不得超过家庭月收入的一半，已知王先生家庭月收入为23000元，试判断王先生该笔贷款能否获批.（不考虑其他因素）参考数据，，【答案】(1)元(2)王先生该笔贷款能够获批【分析】（1）由题意，每月的还贷额构成一个等差数列，对数列求和可得所求利息；（2）利用等比数列求和公式，求得王先生每月还货额，与题目所给数据比较，得结论.【详解】（1）由题可知，等额本金还货方式中，每月的还贷额构成一个等差数列，表示数列的前项和.则，故.故王先生该笔贷款的总利息为：-1000000=元.（2）设王先生每月还货额为元，则有，即，故.因为，故王先生该笔贷款能够获批.20．已知函数，曲线在点处的切线方程为.(1)求函数的解析式；(2)点是曲线上的任意一点，求点到直线的最短距离.【答案】(1)(2)0【分析】（1）先对函数进行求导，利用导数的几何意义以及曲线在点处的切线方程为，建立方程组，即可求出，，进而求出函数的解析式.（2）联立函数与直线解析式，整理成关于的一元二次方程，根据判别式判断方程有根，可得到直线与函数图像有交点，即可得出最短距离.【详解】（1）由函数得，，所以①，因为，在切线方程上，②，由①②解得，，，即函数的解析式为.（2）由与直线可知，，即由判别式，所以与直线相交，所以点到直线的最短距离为0.21．已知数列的首项，且.(1)求证：是等比数列；(2)若，当为何值时，数列的前项和取得最大值.【答案】(1)证明见解析；(2)8或9.【分析】（1）利用给定的递推公式变形，再结合等比数列定义推理作答.（2）由（1）求出，进而求出及前n项和即可判断作答.【详解】（1）由，得，即，而，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列.（2）由（1）可知，，则，显然，即数列是等差数列，数列前n项和，所以当或9时，数列的前项和取得最大值72.22．已知函数，其中.(1)讨论的极值，当的极值为2时，求的值；(2)证明：当时，；(3)求证：.【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）利用函数导数