2022-2023学年江苏省盐城市响水县灌江高一年级下册学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省盐城市响水县灌江高一下学期期中数学试题一、单选题1．下列各式的运算结果为纯虚数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用复数的乘法运算逐一判断即可.【详解】A，=-1，不是纯虚数；B，=2i，是纯虚数；C，=i-1，不是纯虚数；D，=2，不是纯虚数；故选：B2．若向量，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由向量的坐标运算可得答案【详解】由向量，，则故选：C3．函数的最小正周期为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用二倍角的余弦公式化简函数解析式，利用余弦型函数的周期公式可求得结果.【详解】，因此，该函数的最小正周期为.故选：B.4．（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题可根据两角和的余弦公式得出结果.【详解】，故选：D.5．一艘海轮从处出发，以每小时60海里的速度沿南偏东15°的方向直线航行，20分钟后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察此灯塔，其方向是南偏东60°，在处观察，灯塔在其正东方向，那么，两点间的距离是（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里【答案】C【分析】由题意画出图形，利用正弦定理即可直接得解.【详解】如图所示，易知，在中，海里，，，根据正弦定理得，解得（海里）．故选：C.【点睛】本题考查了正弦定理的实际应用，关键是转化出条件，属于基础题.6．在中，角所对的边分别是，若，则角的大小为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由余弦定理即可求解.【详解】解：因为，所以由余弦定理可得，因为，所以，故选：D.7．在中，若，则的形状是（

）A．等边三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】首先根据正弦定理边化角得到，再结合三角函数恒等变换得到，即可得到答案.【详解】因为，所以，所以.因为，所以.又因为，所以，为直角三角形.故选：B8．在平行四边形中，为的重心，，则（

）A． B．2 C． D．1【答案】C【分析】由题意作图，根据重心的几何性质，得到线段的比例关系，利用平面向量的运算，可得答案.【详解】如图，设与相交于点，为的重心，可得为的中点，,可得,故选：C二、多选题9．下列各式中值为的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】由余弦的二倍角公式可判断A；由诱导公式和正弦的两角差的正弦公式可判断B；由正切的两角和公式可判断CD.【详解】，故A错误；，故B正确；，故C正确；

，故D错误.故选：BC.10．(多选)在复平面内，复数a－2i对应的点位于第四象限，则实数a的可能取值为（

）A．2 B．1C．－1 D．无法确定【答案】AB【分析】由题意可得复数a－2i对应的点的坐标为(a，－2)，根据条件有，从而可得答案.【详解】在复平面内，复数a－2i对应的点的坐标为(a，－2)，因为复数对应的点位于第四象限，所以所以满足条件的有选项A,B故选：AB11．对于任意的平面向量，下列说法错误的是（

）A．若且，则B．C．若，且，则D．【答案】ACD【分析】根据平面向量共线，平面向量数量积的运算律，依次判断各项正误.【详解】解：且，当为零向量时，则与不一定共线，即A错误；由向量数量积的分配律得，即B正确；因为，则，又，则或，即C错误；取为非零向量，且与垂直，与不垂直，则，，即D错误．故选：ACD．12．如图，已知点为正六边形中心，下列结论中正确的是（）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根据平面向量的的平行四边形法则和三角形法则，结合平面向量的数量积的定义即可判断.【详解】对A，，故A错误；对B，，B正确；对C，如图，设正六边形边长为1，，，C错误；对D，同理：，D正确.故选：BD.三、填空题13．平面内单位向量满足则=_____________.【答案】##【分析】由题可得，两边平方后结合是单位向量，即可求得结果.【详解】因为，故可得，则，则，又均为单位向量，则，解得.故答案为：.14．已知，且，为虚数单位，则的最大值是__．【答案】8【分析】表示以为圆心，3为半径的圆，进而根据复数减法的几何意义求解即可.【详解】解：因为且，所以，根据复数模的几何意义，表示以为圆心，3为半径的圆，所以，表示圆上的点和点的距离，因为圆心到点的距离为，，故答案为：15．设为实数，已知，则的取值范围是_______.【答案】【分析】由，利用的范围可得答案.【详解】，因为，所以，所以，解得，则的取值范围.故答案为：.16．如图，在等腰直角三角形中，，E，F将边BC三等分，则___________.【答案】.【分析】由等腰直角三角形，设，又点，将三等分，可得，的值，结合两角差的正切公式直接求解即可.【详解】设，由为等腰直角三角形，可得，由点E，F将BC三等分，故，，，，，故答案为:.四、解答题17．已知，，且与夹角为求：(1)；(2)与的夹角．【答案】(1)12；(2).【分析】（1）根据平面向量数量积的定义和运算性质进行求解即可；（2）根据平面向量夹角公式，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.【详解】（1），，且与夹角为，，，，；（2），，，设与的夹角为，，又，所以，即与的夹角为．18．已知复数，，.（1）当时，求的值.（2）若是纯虚数，求的值.（3）若在复平面上对应的点在第二象限，求的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）当时，根据复数的乘法运算，即可求解；（2）化简复数，根据复数为纯虚数，得到，即可求解；（3）化简复数，根据在复平面上复数对应点位于第二象限点，列出不等式组，即可求解.【详解】（1）当时，可得；（2）由复数为纯虚数，可得，解得；（3）由，可得在复平面上复数对应点，因为点位于第二象限点，可得，解得，所以的范围是.19．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.在中，分别为内角的对边，且_______.（1）求C的大小；（2）若，求的面积.【答案】条件选择见解析，（1）；（2）.【分析】（1）若选①：利用正弦定理进行边化角，然后可求的值，则可求；若选②：利用正弦定理进行边化角，然后结合二倍角公式求解出的值，则可求；若选③：利用正弦定理进行边化角，由此求解出的值，则可求；（2）根据余弦定理求解出的值，然后根据三角形面积公式求解出的面积.【详解】（1）若选①：因为，所以由正弦定理得，又因为，所以，所以；若选②：因为，所以由正弦定理得，且，所以，所以，因为，所以，又因为，所以，所以；若选③：因为，所以由正弦定理得，又因为，所以，若，等式不成立，所以，则，所以；（2）因为，所以，，所以.20．已知.（1）求函数的单调递增区间；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】（1）单调递增区间为；（2）的最大值为，的最小值为.【分析】（1）运用三角恒等变换化简函数，再由正弦函数的单调性可求得答案；（2）由（1）得，再根据正弦函数的性质可求得函数的最值.【详解】解：（1），由得，，所以的单调递增区间为；（2）由（1）知，因为，则，有，即.所以，的最大值为，的最小值为.21．已知是同一平面内的三个向量，其中(1)若，且，求的坐标；(2)若，且与垂直，求与的夹角θ.【答案】(1)或(2)【分析】（1）设，由和，可得，解方程组可得答案；（2）由得，求出，代入向量夹角公式可得答案.【详解】（1）设，∵，∴，∴，由和，可得，解得或，故或．（2）∵，∴，即，∴，整理得，∴，又，∴.22．下图所示的毕达格拉斯树画是由图（i）利用几何画板或者动态几何画板Geogebra做出来的图片，其中四边形ABCD，AEFG，PQBE都是正方形.如果改变图（i）中的大小会得到更多不同的“树形”.（1）在图（i）中，，且，求；（2）在图（ii）中，，设，求的最大值.【答案】（1）；（2）.