高等数学期末考试试卷及答案

5

南昌大学2007〜2008学年第一学期期末考试试卷及答案

1试卷编号：(A)卷

7.

X

W

;课程编号：T55010001课程名称:高等数学(I).(上)考试形式:闭卷

X

X

V.

I适用班级：07级理工科姓名:学号：班级：

：考生注意事项：1、本试卷共2页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。

2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。

:一、填空题(每空3分，共15分)

V

得分评阅人

sin4%

x>0,

1.设/(%)=<ax在％=0处连续，则常数。=

9ex-cos%,x<0

、一「f(a+x)~f(a-x)

2.设了(。)存在，贝Ulim----------------------=___

x->0x

3.函数/(x)=(x2-l)3+l的极小值等于

单调增加区间为o

4.设/(%)是可导函数，则(f\2x)dx=o

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

In%,x>0,

1.x=0是函数/(%)=的（）o

X2,x<0

（A）可去间断点；（B）无穷间断点；(C)跳跃间断点；（D）振荡间断点。

2.设函数y=arctane",则dy=（).

(A)———--^--d-x；(B)

2j%(l+e2jx)2V7(I+/4)'

.——~!----dx。

(O-------L(ix；(D)

(1+e*)2«(1+/〃)

717T

3.函数/（%）=卜在区间上()o

5'

（A）满足罗尔定理条件，但无法求J；(B)满足罗尔定理条件，且J=0；

(C)不满足罗尔定理条件;

（D）不满足罗尔定理条件，但有J能满足此定理的结论。

（7t八

4.在积分曲线族y=jsin3xJx中，过点一，1的曲线方程是（)o

（6J

11

(A)V=——cos3x；(B)y=—cos3x；

33

1c1

(Oy=——cos3x+l；(D)y=cos3%+C

3

“X1t

5.已知〃%)=「史力，则/(%)=()o

Jiot

(A)%；(B)ex；(C)e；(D)In%

第2页共51页

三、计算题（共2小题，每小题8分，共16分）

1.已知lim---=9,求常数

(11A

2.求极限lim---；——

ex

:四、求下列导数（共2小题，每小题7分，共14分）

K

卜

:1.设y=xarcsin（lnx）,求y'.

J2.求由方程yexy-xcosx2+1=0所确定的隐函数y=y（x）在x=0处的导数

:y,（o）.

第3页共51页

五、解下列各题（共2小题，每小题7分，共14分）

12i2

x=lnVl+r,所确定的函数的二阶导数R.

1.计算由参数方程＜

y=arctantdx

f/T)

2.求不定积分——dx.

Je'+1

六、计算下列积分（共2小题，每小题7分，共14分）

1.求不定积分「os（ln%）d%.

2

2.计算定积分£jlxl+x)e-Lvldx

第4页共51页

;七、解下列各题（共2小题，第1小题7分，第2小题5分，共12分）

I1.设歹（x）=-----其中/（x）为连续函数，求limFCx）.

；x-aJax-

:2.设不恒等于常数的函数/（X）在闭区间［凡切上连续，在开区间（Q,b）内可导，且

K

1/3）=/s）,证明在（氏。）内至少存在一点自，使得n4）〉o.

第5页共51页

南昌大学2007〜2008学年第一学期期末考试

高等数学（I）试卷（A卷）答案及评分标准

1.=-2.2/⑷3./(0)=0,(0,+oo)

4.?/(2份一〃2。)]

二、1.B;2.A;3.C;4.C;5A.

/,a、X

/\X1+-

x+ax

三.1.解：*/lim-lim2分

X->8^x-a)X—>00

5分

6分

a

e~=9,故Q=ln3.8分

e"-1—x

2.解：原式=lim---：----2分

1。x(eA-1)

4分

xx

—oe-1+xe

x

「e

=lim--------------6分

xxx

Xf0e+e+xe

8分

~2'

四、1.解：y'=arcsin(lnx)+x--,=­—....5分

1

第6页共51页

=arcsin(lnx)+「=.........7分

Vl-(lnx)2

2.解：方程两边同时对％求导，有

y'exy+ye"(y+y'%)-cosx2+x•(sin^2)-2x=0.........3分

当％=0时，从原方程得y=-1.........5分

代入上式得：y'(0)=0............7分

,1.t

五.1.解：乂=°=.........3分

l+t21+t?

・包="=!

••1•..........5分

dxxtt

d2ydy.1产1+r

故？一,，——Q7分

dxdtxttt

1+r2

田_1+/_/C2ex-(l+ex),

2.解：原式=---------------dx=1-------------fdx.........2分

Jex+1Jex+1

=2———dx-\dx........4分

JF+IJ

=21ne*+1—X+C.7分

rsin(lnx),

六、解：jcos(lnx)dx=xcos(lnx)+%-----—~dx.........2分

JX

=xcos(lnx)+jsin(lnx)dx

=xcos(lnx)+xsin(lnx)-Jcos(lnx)Jx..........5分

[cos(lnx)dx=-xTsin(lnx)+cos(lnx)l+C..........7分

J2

解：•••卜/因为偶函数,我却为奇函数,所以

第7页共51页

-lvl

j^(lxI+x)^dx=2yxe~xdx+O...2分

=2+「Ldx，….4分

2

=-4e~2-2e~x6分

0

.....7分

七、解：根据洛必达法则和/(%)为连续函数，有

limF(x)=

x->ax^ax—a

Tim+

••••4分

I

2

=0+af(a)=a2fg)....7分

证明：•••/(%)不恒等于常数，且/(a)=/(。),

所以至少存在一点ce(a,。)，使得

…2分

不妨设/(c)>/(a),

•••/(%)在［a,c］上满足拉格朗日中值定理的条件,

故至少存在一点Je(a,c)u(。,匕)，使得

一)」—】>0

.....4分

c-a

又若f(c)<f(a)=f(b),则

•.•/(%)在［c,。］上满足拉格朗日中值定理的条件,

故至少存在一点Je(c,0)u(a,0)，使得

/C)=-3)-/(c)］>0证毕

5分

b-c

第8页共51页

南昌大学2008〜2009学年第一学期期末考试试卷及答案

第9页共51页

试卷编号：（A）卷？

¥AAt

;课程编号：T55010001课程名称:高等数学（I）.（上）考试形式:闭卷：

­£K

Ar.

,适用班级：08级理工科姓名:学号：班级：:

；考生注意事项：1、本试卷共页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。

：；2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。

i

:一、填空题（每个空3分，共15分）

¥

得分评阅人

:1.设/（X）的定义域是［0,1］，则函数/（％+。）（。〉0）的定义域是

:2

i2.lim3"sin一=______。

\〃->83”

a'A

:3.设y=f{ex）,/（x）为可导函数，则dy=。

£A

：4.若点（1,3）是曲线y的拐点，则a=,b=o

第10页共51页

?二.单项选择题（每小题3分，共15分）

得分评阅人

:1.下列函数在其定义域内连续的是（）。

COSX,%M0,

(A)/(%)=<(B)/(x)=Inx+cosx

sinx,x>0.

_L%+1,%<0,

%w0,

(C)/(%)=，国’(D)f(x)=<0,%=0,

0,%=0.x-\,x>0.

:2.曲线y=arctanx在横坐标为1的点处的切线方程是（）。

y=g(%T)；

(A)y........——(x—1)；(B)

42

=-

(C)y------x1；(D)y=x-l0

4

；3.在区间［-1,1］上满足拉格朗日中值定理条件的函数是（）。

«j11

：（A）--------；（B）ln|x|；（O（2X-1）3；（D）arctan—o

»x2x

K

♦.

：4.曲线y=-+31+4的凹区间是（）.

(A)[—,+oo)；(B)(-oo,—]；(C)[—2,0]；（D）没有凹区间。

33

:5.函数y=y（x）是可微函数且由方程，J力+，cosz4=0所确定,

则y'（%）=（）。

11

：三、求下列极限（共2小题，每小题8分，共16分）

，2%+3X+1

1.lim

Xf8<2x+1

2.lim

Xf0

；四、求下列导数（共2小题，每小题7分，共14分）

1

>3.设.=#%+盯，求y'（%）。

%=ln（l+产），d2y

2.设求O

y=t-arctant.dx

五、求下列不定积分（共2小题，每小题7分，共14分）

3

1.jtanxsecxdxo

2.dxo

包

六、计算题（共2小题，每小题7分，共14分）

1.计算定积分s2x-cos41dx。

2.（应用题）某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20m长的墙壁，问应围成；

怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？;

13

七、解下列各题(共2小题，第1小题7分，第2小题5分，共12分)

'r

\3.1

：“、sin—,xw0,八

：1.讨论函数/(%)=«x在％=0处的连续性与可导性。

:0,%=0

；2.设函数/(%)在［0,2］上连续，在(0,2)内可导，且/(0)+/(1)=2,

•I

:/(2)=1.证明：必存在Je(0,2),使/'(4)=0。

14

南昌大学2008〜2009学年第一学期期末考试答案

填空题

1.[—ci,1—a]o2.2o3.f\ex)exdx

39

，4.a=b=

22

W二、单项选择题

R

!T

：1.(B)o2.(A)o3.(A)o4.(A).5.(D)o

三、求下列极限

\x+1

2

:1.解：原式=lim1+....2分

XfQO2x+1,

2x+li

/2、22

=lim1+1+....6分

A->002x+1,2x+1,

....8分

?2.解：由洛必达法则有

2x2

「xe

原式=lim―；---------；....6分

xf+2厂/

2

=lim----=0....8分

x-o1+2%~

:四、求下列导数

K12

K

g(x+私户~3

：i.解：y'=1+r....8分

7

：，12，2t

;2.解：y=1---------xt="r-....2分

W1+产l+t2'l+t

dy_y_t

-----------------------t---------------

»....4分

dxxt2

15

dy；_1

.......5分

dt2

]_

d2y_dy

x121+r

.......7分

dx1dtdx2t4，

dt1+“

［五、求下列不定积分

A

X

¥

2

Q.解：原式=jtanxd(secx).......2分

2

=j(secx-l)d(sec%).......5分

13「

=—sec'-secx+C...7分

3

?2.解：原式=一fluxd，

.......2分

X

Inx

=------+.......5分

%

=4」+C

.......7分

1%

:六、计算题

{^/cos2x(l-cos2x)dx=

g1.解：原式二xsinxdx

=[Icos'sinxd%

.......3分

7t

cosxsinxJx-L.cos%sin%dx.......5分

2

冗

7:sinxJ(sinx)

2

16

»=—sin%——sin%=1......7分

之

&2nu2—

:2

£.解：如图所示.设这间小屋的宽为工,长为y,则小屋的面积

；为S=盯.已知2%+y=20,即y=20-2x......2分

I则S=x(20-2x)=20x-2x2.Xe(0,10)......3分

L

：S'=20—4x.令S'=0,得驻点x=5......5分

il.由S"=-4<0知％=5为极大值点，又驻点

，唯一，故极大值点就是最大值点.……6分

；因此当宽为5m,长为10m时，这间小屋的面积最大....7分

%

y

X

,七、解下列各题

e

).解：=lim^3sin—=0.....2分

JX—>0X-0JQ

.»

l而/(0)=0,/./(%)在％=0处连续....4分

•…6分

)JL

=limxsin—=0.

x—0X

故/(%)在X=0处可导....7

2.证明：•••/(%)在［0,2］上连续，/./(%)在［0,1］上连续，

且在［0,1］上必有最大值M和最小值加，于是

m</(I)<Af......2分

17

故2m</(0)+/(l)<2M

——⑴(”..

2

由介值定理知,至少存在一点cG[0,1],使

/(c)=---------=1.•

•••«)="2)=1,且/(%)在[c,2]上连续，在

(c,2)内可导，由罗尔定理知,必存在"G(c,2)u(0,2),

使f'(^)=0.证毕....5分

18

南昌大学2009〜2010学年第一学期期末考试试卷

一、填空题(每空3分，共15分)

1.设函数y=arcsin二+In(x—1)，则它的定义域为

2.设/(%)=",则它在［0/n2］上满足拉格朗日中值定理的结论中的

3.设y=屈云,则dy=。

4.设广(%)存在,则

r/(%)-”与+31)0

lim----------；---------=--------------

20Ax

5.曲线f(X)=%6一、的凹区间为.

二、单项选择题(每小题3分，共15分)

"21

X,%>I,

I.设/(%)=<%3，则/(%)在％=1处的().

1——3,X<1

(A)左导数存在，右导数存在(B)左导数存在，右导数不存在

(C)左导数不存在，右导数存在(D)左导数不存在，右导数不存在

2.设/(%)=arctan」，则％=0是(D).

(A)可去间断点(B)无穷间断点(C)振荡间断点(D)跳跃间断点

3.设/(%)在W，可上连续，则下列论断不正确的是()

(A)是“X)的一个原函数⑻在可上，是“X)的一个原函数

(O在［见句上，—('/«)力是/(%)的一个原函数(D)/(x)在［3司上可积

4.设函数y=/(%)的导函数图形如下图所示，则().

(A)%=-1是/(%)的驻点，但不是极值点(B)%=-1不是/(%)的极值点

(0%=-1是/(%)的极小值点(D)%=-1是/1(%)的极大值点

〃/I2+M+1〃-+〃+2〃？+〃+〃

则limx=()

“Toon

(A)0(B)1(C)1(D)1

23

三、计算题(共7小题，每小题7分，共49分)

^sin3/_]

i.求极限lim-----1，

xfOx(l-cos^)

2.设丁二cos2尤Jritan%,求y'.

e、一(+dx+Z?)

3.设lim--------------=2,求Q,b.

x—>0X

4.设〉=y(%)是由方程+盯=e所确定的隐函数，求了(0》

20

5.设(卜)=1+/且〃0)=1,求/(x).

令t=ex

6.求不定积分/dx

sin2x+5cos2x

0,H<1,3

7.设/(x)=h，计算

T»凶>1

1X

四、解答题（共2小题，每小题8分，共16分）

%=—[3。cos2usinudu

1、求由参数方程《

y=6tsin31

所确定的隐函数的一阶导数也

dx

d2y

及二阶导数

dx2

21

2、设〃％)在［0,1］上连续

1"iJC

求

五、证明题(5分)

设b>o,若/(x)在［%0,%o+同上连续,

在(%,%0+b)内可导且lim/'(冗)=A，

Xfx；

证明：H(%o)=A.

22

南昌大学2009〜2010学年第一学期期末考试答案

一、填空题

1.(1,3]2,-lnln2©3.，[co,2,dx°

Jsin2x

4.-3;(%0)。5.[2,+00).

二、单项选择题

1.(B).2.(D),3.(A)4.(C).5.(C

三、计算题1.解：原式="sin3x.

lim-——：——=2

x->012

x--x

2

2.解：yz=-2sin(2x)•Intanx+cos2x-cotx-sec2

=-2sin(2x)•Intan%+2cot2x

e、一(+ax+b

3.解：.「lim----------------=2

x—>0X

.•・lim/+4]+/?)[=0

l-b=0即b=1

€X—I+CLX+Z7j/、

又lim---------;--------=lim(e'-2x-a\=l-a=2

x—>0Xx-0

Cl——1

4.解：方程两边同时对％求导，有：eyyf+y+xy'=0

y

y-y

ey+x

当％=0时，从原方程得y二L

代入上式得：y'(0)=-L

e

5.贝U：/'«)=1+F

23

“0=J0+P）力=/+；d+C

又/（O）=l所以。=1

故/（，）=/+；/+i即y（x）=%+；%，+i

ri,ri

6.解：原式二——--7------—^<7X=------:­T—dCOtX

Jsin~x（l+5cofx|Jl+5cot~x

7.解：令/=则力=dx

由于1:0—>3

t—1―>2

。（%-13=邙（。力=

=fJ（。力+/〃。力=

P八」「21

—Odt+dt=

J—1JI#z

__12_£

=~h=2

四、解答题

dy

,dy_出_3«sin2t-cost

dx竺一3acost-sint

dt

4-1

d立

d2y_[dxJ_5出_-sec?%_]

dx2dxdx-3acos2?sin?3。cos，sin/

dt

24

2、解：令A=”(%世，

1

/(%)=+Ax3

1+X2

A=-----+Ax3dx=

以1+/r

rA4M

I4J|o

故4=5即?

五、证明题

证明：

证法一：/；(%)=lim-------------=

5；x-a

=li.'，)=丘叫〃(%)=A

X—>XQ1X—

证法二：

，/、f(x}~f(a)

因为力与=limLL

XfHx-a

又了(“在卜。,%+S］上连续，

在(％o，%o+S)内可导，所以由拉格朗日中值定理可知，V%e(%0,%0+S),有

/(%)-〃%0)=广团(%-%0)，

其中10<^<x

所以

力(%0)=limU“1二lim"21―-=lim/^)

X—〃X->XQX—Clxfx；

当时J-%；,且lim/'(%)=A，

IX；

所以lim/")lim/")=A，即H(%o)=4

25

南昌大学2010〜2011学年第一学期期末考试试卷

三、填空题（每空3分，共15分）

1.设y==1—％且e(%)N0,

则0(%)=__________________________

71

2.j^.(x2011+|sinx|)6?x=o

反常积分「

3.0—!_Tdx=_________

及x（lnx）2

4,极限+=________=

n—>ooL-

5.设y=丁+2*+/，

则dy=.

四、单项选择题（每小题3分，共15分）

1.若/（x）和g（无）都为可导函数,

则.‘‘⑺屋'"”()•

(A)/(x)g(x)(B)/⑴

(C)f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

（D）/（x）g（x）+r（%）£g«w

2.设/（%）="+3，-2,当％—>0时，/（%）是比％的（）

（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小

（C）等价无穷小（D）非等价的同阶无穷小

3.设/（%）在可上连续，则在［。,可上至少有一点

使得（）

（A）/"）=0（B）”4）=0

(、f(x)dx、f(。)一f(a)

©/⑷(D)/⑷")

b-ab-a

26

2-In%—<x<1「］-1

4.设函数〃％）=<e,在一,3内（）

—+11<%V3L，」

（A）不满足拉格朗日定理条件；______

.—3

（B）满足拉格朗日定理条件且J='——；

(C)满足拉格朗日定理条件，但自无法求出;

(D)不满足拉格朗日定理条件，

%—3

但有J=------满足中值定理的结论。

5e

sinx

XH-----------x<0

%

5.设函数f(%)=<0x=0,则％=0是的（）

1

xsin—x>0

x

（A）连续点（B）可去间断点

（C）跳跃间断点（D）振荡间断点

三、计算题（一）（每小题8分，共24分）

€—I

i.求极限hm———­

zosin'x

1,

2.计算不定积分fI----dx

J1+,

3.计算定积分fIn(%+J1+%?)必:

27

四、计算题(二)(每小题8分，共16分)

1.求由方程y=l+12—%e)'所确定的隐函数丁二'(%)

的导数也.

dx

%=In（1+产）

、、'）ddyd2y

2.设〈汽2求：-.

y=[-----7dudxdx2

五、解答题(每小题8分，共16分)

1.确定的值，使点(1,3)是曲线y=+b%2+%的拐点,

并求该曲线在点(1,3)处的切线方程.

28

/+4

2.设函数y=——,求该函数的单调区间和极值.

x

3.某房地产公司有50套公寓要出租.当租金定为每月1800元时，公寓会全部租出

去.当租金每月增加100元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费

200元整的维修费用.试问房租定为多少可获得最大收入？

七、证明题(本题满分8分)

设/(%)可导，证明：/(X)的两个零点之间

一定有/(%)+/'(%)的零点.

29

南昌大学2010〜2011学年第一学期期末考试试卷及答案

一.填空题

1

1.Jln(l-x)2.2。3.4.1o

h?2

5.[3x2+2vIn2+(Inx+1)]dx.

单项选择题

1.(D).2.(D)3.(C)4.(B)5.(C)

三、计算题(一)

,x-smx1-cosx1

1..解：原式=lim-----——lim---------二—

x.odx-O3x~6

____2t

2.解：令/=Jl+e"则％=ln(『-1),dx=-....dt

t—1

原式=—dt=j----------dt

Jr2-1\r-lt+\)

3.解：原式=xln(x+Jl+>2)一「dln(x+Jl+x?

=ln|V2+l|-j,J.Un(后+271+x2

=ln(V2+l)-V2+l

四、计算题(二)

1.解：vyf=2x-ey-xeyy

,2x-ey

y=---------

1+x"

dyt2

2.解：叽石=177J

dx虫2t2

dt1+f

30

dx1dxdx2t4f

dt1+r2

五、解答题

1.解：：y=3ax24-2hx+1,y"=6ax+2b

由题意可知：6a+26=0,a+b+1=0

a=b=3

又y，⑴=4

故所求的切线方程为：3=4(x—l)

即：y-4%+1=0

2.解：函数的定义域为：(-0),0)U(O,+oo)

8

令y'=l—7=°，得驻点：x=2

%

当％e(-co,0)U(2,+8)时，f'(x)>0

当1e(0,2)时，

所以：单调增区间为：(一8,0),[2,+00)

单调减区间为：(0,2)

极小值为：f(2)=3

3.解：设房租为每月％元，

则租出去的房子有：5018()()套。

100

每月总收入为：R(x)=(X_200)(50-C。)=(x-200)(68-志

*(x)=(68---K(x-200)f---"|=70--

、，I100jv\100j50

令R'(x)=0,得唯一驻点：％=3500

=-----<0

50

31

.•.R(350())=10890()为极大值。且为最大值。

故每月每套租金为3500元时，收入最高。

最高收入为R(3500)=108900(元)

六、证明题

证明：设X1，々为了(X)的两个零点，

令e(x)=则=e(%2)=。，

由/(%)可导，知夕(力可导。

且”(%)=/'(%),+/(%)/=[f'(%)+/(%)]/

由罗尔定理知：存在JG(玉，々)或4G(12,玉)，

使得：e'(g)=o.

即：[/")+/⑷]/=o

由于*w0.../'(4)+/(J)=0也即：/(%)的两个零点之间一定有

/(%)+/'(%)的零点•

32

南昌大学2011〜2012学年第一学期期末考试试卷

一、填空题(每空3分，共15分)

1.设/(%)=J，则/"(%)]=»

x1+a,x>0

2.若/(x)=1.1八在x=0处连续，则。=

xsin—,x<0______

、