复变函数期末考试试卷1

曲靖师范学院

复变函数测试题一

注意：1.本试卷共7页，请考生仔细检查，有

错、漏、破烂及时报告监考教师更换。

2.考生班级、学号和姓名必须写在指定地点。

3.考试形式：闭卷；考试时间：120分钟。

-.选择题(每题4分，共计24分)

1./(z)=sinz的导数是()

A.coszB.sinzC.0D.1

2.e2+5；=()

A.0B.1C.e2(cos5+isin5)D.e2

dz

3.若曲线C为|z|=l的正向圆周,)

(z—2)3

A.0B.1C.-1D.2

4.z=0为函数/&）=当的（）

z'

A.一级极点B.二级极点C.本性奇点D.可去奇点

5.3-函数的傅氏变换为（）

A.co+\B.6y2C.0D.1

6.f（z）=z\z\»则/（z）（）

A.在全平面解析B.仅在原点解析

C.在原点可导但不解析D.处处不可导

二.填空题：（每题4分，共计20分）

1.若函数为/仁）=,则/'（z）=。

Z

2.fzdz=o

3.若曲线C为|z|=3的正向圆周，则旺。

0,/<0,、

4.函数/«)={一仇、八，(夕>。)的傅氏变换为

e,t>U

(iYM

5.lim1+—=______o

…I2)

三.计算题(共计56分)

产一n

1.求幕函数士今的收敛半径。(6分)

”=1〃

2.试求［argzdz,c为z=(l+i)f,，从1到2.(7分)

3.把函数/(z)=--------在2<|z|<3内展成洛朗展开式。(7分)

(z-2)(z-3)11

4.求《白/曲线C为正向圆周H=3。（7分）

，z—1

5.求一二在卜-1|>1上的洛朗展开式。（7分）

6.比较（d）与J两个数。（8分）

7.已知=7,则求极限lim/（z）0（7分）

8.求函数/⑺=［：〜的傅氏变换。（7分）

复变函数测试题二

一.选择题(每题4分，共计24分)

1./(z)=cosz的导数是()

A.coszB.-sinzC.0D.1

2.e3+5,'=()

A.0B.1C.e3(cos5+isin5)D.e3

3.若曲线C为|z|=l的正向圆周，—专=()

cz——

2

A.0B.1C.-1D.2m

4.z=0为函数/(z)=岑的()

z

A.一级极点B.三级极点C.本性奇点D.可去奇点

5.若事级数£c"z”在z=1+2，处收敛，则该级数在z=2处的敛散

〃=0

性为()。

A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.不能确定

c2n+ni

6.lim------=()

eg\-ni

A.-1+2/B.1+2/C.2+iD.8

二.填空题：(每题4分，共计20分)

1.若函数为/(z)=2则/'(2+i)=o

2.复数（1+i）'=o

3.不等式|z-2|+|z+2|<5表示的区域为—

4.复数1'的模为-

5.=o

三.计算题（共计56分）

L求极限lim（l+/+2z）。（6分）

z->2i

2.设。为从原点沿>2=%至1+7的弧段，则］1卜+/,。（7分）

3.求才舁产曲线C为正向圆周忖=3。（7分）

4.求/（z）=l在z=-l处的泰勒展开式。（7分）

Z

5.求Z（l+i）"z"的收敛半径。（7分）

〃=0

6.求/《）=e"sin4f的拉氏变换。（8分）

7.已知/'(z)=4z—3,且/(l+i)=—3i,则求/(z)。(7分)

eZ

8.计算［'\dZo(7分)

粕(7+2)2

复变函数测试题三

一.选择题(每题4分，共计24分)

1.an=(1)+，",则lima“是()

"+4”->8

A.0B.iC.不存在D.1

2.Uz，则/(l+z)=()

\z-ij

1+i，

A.0B.1C.—D.e2

2

3.若曲线C为|z|=2的正向圆周，,空与=()

J(l-Z)2

A.sinlB.2msin1C.-sin1D.-2msin1

i

4.z=l为函数f(z)=e?T的()

A.一级极点B.二级极点C.本性奇点D.可去奇点

5.若1=屋2,则()

A.芍=z2B.Z[=+2左乃C.=z2-k/riD.Zi=^2-2ik7i

001-3/

6.E的敛散性为（）

n=0

A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.无法确定

二.填空题：（每题4分，共计20分）

1.复数（-1）'的主值为o

_(l+/X2-0(3-z)

,J(3+42+。则iw=

3.若曲线C为忖=1的正向圆周，则,底衣=

4.复数\ne'=

5."在z=1处的泰勒级数为o

三.计算题（共计56分）

1.求复数*°s56+isin5e）：的指数表达式及三角表达式。（6分）

（cos3^-zsin3^）

2.计算积分］Re（z>/z,C为：z=*,6从—）到万。（7分）

3.试求在3=的映射下，直线z=（l+。的象。（7分）

8_«

4.求2味（P为正整数）的收敛半径。（7分）

n=l〃

5.求函数/（/）=1+—a）+,f+]]+«­£）]的傅氏变

换。（8分）

6.求£〃z"的和函数。（7分）

«=1

7.讨论〃z）=|z「的可导性。（7分）

8.求Resz4*6-sin—,0。(7分)

_z

复变函数测试题四

一.选择题（每题4分，共计24分）

1.f(z)=x2+iy2,则广(1+i)是()

A.2B.2;C.l+iD.2+2i

2.1的主值（)

乃

D./

A.0B.1C.第

rdz

3.若曲线C为|z|=4的正向圆周,)

c(z-^)5

TT

A.—iB.1C.0D.n

12

4.z=0为函数/（z）=zcos，的（）

z

A.一级极点B.二级极点C.本性奇点D.可去奇点

5.函数/（z）在z点可导是/（z）在z点解析的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.非充分非必要

6.[।]zcos-^dz=（）

A.2兀iB.7riC.-24iD.0

二.填空题：（每题4分，共计20分）

1.函数f(z)=sinz的零点

Ai2

2.『zezdz=_____________

4.3;=o

5.sinF的麦克劳林级数为。

三.计算题（共计56分）

1.讨论函数/（z）=sinxcoshy+icosxsinhy的可导性。（6分）

2.计算J印z,曲线C为自-i到i的直线段。（7分）

18

3.设--Zgz"Jz|>1，则求的值。（7分）

1+Z〃=-00

004"+1

4.试求基级数E的收敛半径及和函数。（7分）

〃=14/2+1

dz

5.计算c是圆周一+>2=2（x+y）。（7分）

(z-l)2(z2+l)

sin/,|/|<7i

6.求函数/(f)=<N"的傅氏变换。(8分)

0,|r|>7t

7.求正弦函数/（f）=cos后（左为实数）的Lap/ace变换。（7分）

8.求解微分方程y"(，)+y(f)=O,y(0)=2,y，(0)=3。(7分)

复变函数测试题五

一.选择题（每题4分，共计24分）

1.7［必+幻］=（）

A.-/B.*C.0D.1

2.sini=()

A.0B.1C.ishlD.e

3.级数之二为()

〃=1

A.条件收敛B.绝对收敛C.通项不趋于0D.发散

4.z=0为函数/(z)=sin：z的()

z-

A.一级极点B.二级极点C.本性奇点D.可去奇点

5.产=()

A.e%B.c.0D.1

6./（z）=Vz的解析区域（)

A.全复平面B.除原点外的复平面

C.除实轴外的全平面D.除原点与负实轴外处处解析

二.填空题：（每题4分，共计20分）

1.1"=o

2.Ln（l-z）=o

pSin（e"）

3.若曲线C为目=1的正向圆周，则一=

cZ

4.Fx（s）=£]力（理尸2（$）=£[/2（01则£[/i（，）*fiW]=

5.z?/的麦克劳林级数为o

三.计算题（共计56分）

1.讨论/（[）=二-？在z=0点的极限。（6分）

ZZ

2.解方程/+1=0。（7分）

3.讨论/（2）=工3一3盯2+*312〉一丁3）的可导性。（7分）

4,计算并沙，曲线C为正向圆周忖=1。（7分）

5.试证［任+i）/"z<7t,c：z=e'",8是从。至九的半圆弧。（7分）

6.已知调和函数u=2（x-l）y,求解析函数/（z）=〃+A。（7分）

7.求/。）=cost・3（f）—sin的拉氏变换。（8分）

8.将〃z）=」一在z=i展成泰勒级数。（7分）

1—Z

复变函数测试题六

选择题（每题4分，共计24分）

1.当名=小时，*°+%75+[5。的值等于（）

1-/

A.iB.-/C.1D.-1

2.使得z2=|z『成立的复数Z是（）

A.不存在B.唯一的C.纯虚数D.实数。

3.设z为复数，则方程z+l£l=2+i的解（）

333

A.--+ZoB.-+«oC.--i]

444a

4.方程|z+2-3i|=友所表示的曲线是（）

A.中心为2-3i泮径为五的圆B.中心为-2+3i,半径为2的圆

C.中心为-2+3i,半径为行的圆D.中心为2-3i,半径为2的圆

rdz

5.若曲线C为|z1=4的正向圆周,

c（z-zrz）5

TT

A.—iB.1C.0D.n

12

6.z=0为函数/（z）=zcos，的（）

z

A.一级极点B.二级极点C.本性奇点D.可去奇点

二.计算题（共76分）

1.求下列复数的模与辐角。（8分）

①-1-i②—l+3i

2.求下列复数的指数与三角表示式。（20分）

①一j②z=—^―

1-i

(3)z=l+sin°+icos0(0<^<—)

(cos^+zsin(p)3

(cos3^>-zsin3^)2

3.解方程:(l+z)5=(l—z)5(8分)

4.求下列极限。45分)

2

①lim^②limjT7

z->0ZN->001।4

③1皿m

2孙

5.讨论函数/(z)=,V+V,ZHO的连续性。(10分)

0,2=0

Q,t<0

6已知/«）=，-p；f2o（'>o），求（—2）/⑺傅里叶变换（15分）

复变函数测试题七

一.选择题（每题4分，共计24分）

1..函数“2）=3,在点z=0处是（）

A.解析的B.可导的C.不可导的D.既不解析的又不可导的

2.设/仁）=/+/,则/,（1+?-）=（）

A.2B.2iC.l+iD.2+2i

3.『的主值为（）

兄

A.OB.1C.e&D.2

4.下列数中，为实数的是（）

A.（1-z）3B.costC.LniD.2

r-2n+ni

5.rlim-----=（）

"78\-ni

A.—l+2iB.1+万C.2+zD.<x>

6.%=（1）+山,则lima“是（）

n+428

A.0B.iC.不存在D.1

二.计算题（共计76分）

1.讨论下列函数的可导性。（16分）

①/(z)=Im(z)②/(z)=|z/

_2

③/⑶K④心〜鼻

2.利用留数方法求尸（$）="_"一的拉普拉斯逆变换。（15分）

s~-2s—3

3.计算下列各式的值。（20分）

①产②J

③z④LM(1+Z)

4.将/⑶——在1<目<2及2<|z|<+oo展成罗郎级数（10

z-3z+2

分）

A0</<

5.求函数/«）={'~"的傅氏变换。（15分）

复变函数测试题八

选择题(每题5分，共计25分)

1.设C为从原点沿＞2=*至1句的弧段，则J(X+i)，2)dz=()o

15.15,「15.门15.

AA.------1BD.----F—zC・---------1D.—+—1

66666666

2.设c为不经过1与-1的正向简单闭曲线，则，————废为

()o

A.—B.--C.0D.A,B,C均有可能

22

Z'3cos1

3.设c为正向圆周忖=；,则j—-_()o

A.2%'(3cos1-sin1)B.0C.6^7cos1D.-2msin1

sin(1z)

4.设C为正向圆周/+y2-2x=0,则j—-4-dz=()=

A.—mB.&iC.OD.--m

22

5.下列命题中，正确的是（）o

A.设匕，匕在区域D内均为“的共扼调和函数,则必有匕=吆。

B.解析函数的实部是虚部的共朝调和函数。

C.若/（Z）=〃+而在区域D内解析，则也为D内调和函数。

ox

D.以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数。

计算题（共计75分）

13

1.求-------------dz,曲线C:0=3正向圆周。（10分）

^（?+l）3（z2-l）411

2.求下列积分的值

（1）,上万々，其中c：|z-2|=1的正向。（10分）

（2）勺二告，其中c：|z-2z[=|的正向（10分）

（3）\zezdz,其中C：从z=0到z=l+1^i的直线段。（10分）

(4)11+.%(10分)

JCOSz

3.求嘉级数，＞2/的和函数，并计算（10分）

«=1〃=i2

4.若岸=,-xcosy,求解析函数/（z）=“+i认（15分）

复变函数测试题九

单项选择题（每题5分，共25分）

1.设％=^^（〃=1，2，.一），则则%=（）

A0B.IC.iD.不存在

2.下列级数中,条件收敛的级数为(）

8<(T)"+i

A6（警］C.Z-D.

3.下列级数中,绝对收敛的级数为()

008(-l)nzn

c.y—D.

Z2"

内〃几BP*台£Inn11=1

.n7i

8sm可

4.嘉级数二-的收敛半径R=（）

A.B.2C.V2D.4-oo

1

5.设函数f（z）在以原点为中心的圆环内的洛朗展

z(z+l)(z+4)

开式有m个，那么m=（）

A.1B.2C.3D.4

二.计算题（共计75分）

1.求幕级数次（l+i）"z"的收敛半径。（15分）

«=0

2.设例x,y）=xy,求其共桅调和函数”（x,y）。（15分）

3.求£,在有限点处的留数。（10分）

z（z-D2

4.解方程:sinz+icosz=4i（10分）

5.求函数4■在z=-l点的泰勒展开式。（10分）

Z

6.求函数/«）=（'廿二一的傅氏变换。（15分）

（0,其它

复变函数测试题十

选择题（每题5分，共25分）

1.函数笠笠在|z-i|=2内的奇点个数为（）o