2022-2023学年江苏省无锡市锡山区天一实验中学七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省无锡市锡山区天一实验中学七年级（下）期中数学试卷一、选择题（共10小题，共30.0分.）1.下列运算中，正确的是(

)A.x6÷x2=x3 B.2.已知三角形的两边长分别为2cm和3cm，则该三角形第三边的长不可能是(

)A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm3.给出下列4个命题：①垂线段最短；②互补的两个角中一定是一个为锐角，另一个为钝角；③同旁内角相等，两直线平行；④同旁内角的两个角的平分线互相垂直．其中真命题的个数为(

)A.1 B.2 C.3 D.44.下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是(

)A.18x2y=2x2⋅9y B.5.关于x的多项式(x+2)(x−m)展开后，如果常数项为6，则m的值为(

)A.6 B.−6 C.3 D.−36.若a2−2a−1=0，那么代数式(a+2)(a−2)−2a的值为(

)A.−1 B.−3 C.1 D.37.医护人员身穿防护服，化身暖心“大白”到某校进行核酸检测．若每名“大白”检测200人，则有一名“大白”少检测18人；若每名“大白”检测180人，则余下42人．设该校共有师生x人，有y名“大白”来学校检测，根据题意，可列方程组为(

)A.200y=x+18,180y=x−42. B.200y=x−18,180y=x+42.

C.200y=x+18,180y=x+42.8.各图的△ABC中，正确画出AC边上的高的图形是(

)A. B.

C. D.9.—次数学活动中，检验两条纸带①、②的边线是否平行，小明和小丽采用两种不同的方法：小明对纸带①沿AB折叠，量得∠1=∠2 = 50°;小丽对纸带②沿GH折叠，发现GD与GC重合，HF与HE重合.则下列判断正确的是(

)A.纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行

B.纸带①、②的边线都平行

C.纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行

D.纸带①、②的边线都不平行10.如图，在三角形纸片ABC中，∠A=20°.将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在△ABC所在平面内的点A′处．若∠A′DB=30°，则∠CEA′的度数为(

)A.62.5° B.70° C.65° D.72.5°二、填空题（共8小题，共16.0分）11.“墙角数枝梅，凌寒独自开．遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅花》.梅花的花粉直径约为0.000036m，用科学记数法表示该数据为______．12.若3m=2，3n=5，则313.一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是______．14.若x=1y=−2是方程3x+ay=5的解，则a的值是______．15.若(x+y)2=5，xy=2，则x216.如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠P=______°.

17.如图，在△ABC中有两个内角相等，且BD是△ABC的角平分线，∠BAE=13∠BAC，∠EDF=14∠EDA.若DF/​/BC，则18.如图，在△ABC中，AG=BG，BD=DE=EC，CF=4AF，若四边形DEFG的面积为42，则△ABC的面积为______．

三、解答题（共9小题，共74.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.(本小题12.0分)

计算：

①(−12)−2−20230−|−3|；

②(2a20.(本小题6.0分)

因式分解：

①2−18x2；

②4x21.(本小题8.0分)

解方程组：

(1)x=4y−13x+y=10；

(2)22.(本小题6.0分)

先化简，再求值：(x−y)2−(2x+y)(2x−y)+3x(x+y)，其中x=−3，23.(本小题8.0分)

如图，在△ABC中，点D、E分别在AB，BC上，且DE/​/AC，∠1=∠2．

(1)求证：AF/​/BC；

(2)若AC平分∠BAF，∠B=36°，求∠1的度数．24.(本小题8.0分)

如图，在每个小正方形边长为1的方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′.根据下列条件，利用格点和三角尺画图：

(1)补全△A′B′C′；

(2)请在AC边上找一点D，使得线段BD平分△ABC的面积，在图上作出线段BD；

(3)利用格点在图中画出AC边上的高线BE；

(4)找△ABP(要求各顶点在格点上，P不与点C重合)，使其面积等于△ABC的面积.满足这样条件的点P共______个.25.(本小题8.0分)

观察下列式子：

1×3+6=9

3×5+10=25

5×7+14=49

7×9+18=81

……

(1)请你按此规律再写出一组算式并计算出结果；

(2)探索以上式子的规律，试写出第n个等式；

(3)请验证(2)中的等式的正确性．26.(本小题8.0分)

某校组织师生外出进行社会实践活动，打算租用某汽车租赁公司的客车，如果租用甲种客车3辆，乙种客车2辆，则可载195人；如果租用甲种客车2辆，乙种客车4辆，则可载210人．

(1)请问甲、乙两种客车每辆分别能载客多少人？

(2)若该校有303名师生，旅行社承诺每辆车安排一名导游，导游也需一个座位，出发前，旅行社的一名导游由于有特殊情况，旅行社只能安排7名导游，为保证所租的每辆车均有一名导游，租车方案调整为：同时租65座、45座和30座的大小三种客车(三种车都有租)，出发时，所租的三种客车的座位恰好坐满，请问旅行社的租车方案如何安排？27.(本小题10.0分)

【概念认识】在四边形ABCD中，∠A=∠B，如果在四边形ABCD内部或边AB上存在一点P，满足∠DPC=∠A，那么称点P是四边形ABCD的“映角点”．

【初步思考】

(1)如图①，在四边形ABCD中，∠A=∠B，点P在边AB上且是四边形ABCD的“映角点”，若DA//CP，DP//CB，则∠DPC的度数为______°；

(2)如图②，在四边形ABCD中，∠A=∠B，点P在四边形ABCD内部且是四边形ABCD的“映角点”，延长CP交边AB于点E，求证：∠ADP=∠CEB．

【综合运用】在四边形ABCD中，∠A=∠B=α，点P是四边形ABCD的“映角点”，DE、CF分别平分∠ADP、∠BCP，当DE和CF所在直线相交于点Q时，请直接写出∠CQD与α满足的关系式．

答案和解析1.【答案】D

解：A选项，原式=x4，故该选项不符合题意；

B选项，原式=2x2，故该选项不符合题意；

C选项，原式=x6，故该选项不符合题意；

D选项，原式=−x3⋅x2=−x5，故该选项符合题意；

故选：D．

根据同底数幂的除法判断A2.【答案】A

解：∵三角形的两边长分别为2cm和3cm，

∴1cm<第三边的长<5cm，

故该三角形第三边的长不可能是1cm．

故选：A．

直接利用三角形三边关系得出第三边长的取值范围，进而得出答案．

此题主要考查了三角形三边关系，关键是熟记三边关系定理：三角形两边之和大于第三边；三角形的两边之差小于第三边．

3.【答案】A

解：①垂线段最短，正确，是真命题；

②互补的两个角中一定是一个为锐角，另一个为钝角，错误，是假命题；

③同旁内角互补，两直线平行，故错误，是假命题；

④同旁内角的两个角的平分线互相垂直，错误，是假命题，

真命题有1个，

故选：A．

利用垂线的定义、互补的定义、平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．

考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解垂线的定义、互补的定义、平行线的性质等知识，难度不大．

4.【答案】D

解：A、18x2y=2x2⋅9y，等式的左边不是多项式，不是因式分解，故A不合题意；

B、ab−ac+d2=a(b−c)+d2，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B不符合题意；

C、a(x+y)=ax+ay，是整式的乘法，故C不合题意；

D5.【答案】D

解：(x+2)(x−m)

=x2−mx+2x−2m

=x2−(m−2)x−2m，

∵常数项为6，

∴−2m=6，

解得：m=−3．

故选：D．

6.【答案】B

解：(a+2)(a−2)−2a

=a2−4−2a

=a2−2a−4，

∵a2−2a−1=0，

∴a2−2a=1，

∴原式=1−4=−3．

故选：B7.【答案】A

解：∵每名“大白”检测200人，则有一名“大白”少检测18人，

∴200y=x+18；

∵每名“大白”检测180人，则余下42人，

∴180y=x−42．

∴可列方程组200y=x+18180y=x−42．

故选：A．

根据“每名“大白”检测200人，则有一名“大白”少检测18人；每名“大白”检测180人，则余下42人”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．

本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．8.【答案】B

解：A、图中AD不是AC边上的高，本选项不符合题意；

B、图中BD是AC边上的高，本选项符合题意；

C、图中BD不是AC边上的高，本选项不符合题意；

D、图中BD不是AC边上的高，本选项不符合题意；

故选：B．

根据三角形的高的概念判断即可．

本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．

9.【答案】C

【解析】【分析】

此题主要考查了平行线的判定以及翻折变换的性质，正确掌握翻折变换的性质是解题关键．

直接利用翻折变换的性质结合平行线的判定方法得出答案．

【解答】

解：如图①所示：

∵∠1=∠2=50°，

∴∠3=∠2=50°，

∴∠4=∠5=180°−50°−50°=80°，

∴∠2≠∠4，

∴纸带①的边线不平行；

如图②所示：∵GD与GC重合，HF与HE重合，

∴∠CGH=∠DGH=90°，∠EHG=∠FHG=90°，

∴∠CGH+∠EHG=180°，

∴纸带②的边线平行．

故选：C．

10.【答案】B

解：根据折叠，可得∠ADE=∠A′DE，∠AED=∠A′ED，

∵∠A′DB=30°，

∴∠ADE+∠A′DE=180°+30°=210°，

∴∠ADE=105°，

∵∠A=20°，

∴∠AED=180°−105°−20°=55°，

∴∠A′ED=55°，

∴∠CEA′=180°−55°−55°=70°，

故选：B．

根据折叠的性质可得∠ADE=∠A′DE，∠AED=∠A′ED，进一步可得∠ADE的度数，根据三角形的内角和定理可得∠AED的度数，即可求出∠CEA′的度数．

本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．

11.【答案】3.6×10解：0.000036=3.6×10−5，

故答案为：3.6×10−5．

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n12.【答案】50

解：当3m=2，3n=5时，

3m+2n

=3m×32n

=3m×(3n)2

13.【答案】6

【解析】【分析】

本题考查了多边形的内角和定理，关键是根据n边形的内角和为(n−2)×180°解答．

根据内角和定理180°⋅(n−2)即可求得．

【解答】

解：∵多边形的内角和公式为(n−2)⋅180°，

∴(n−2)×180°=720°，

解得n=6，

∴这个多边形的边数是6．

14.【答案】−1

解：将x=1y=−2代入原方程得：3×1−2a=5，

解得：a=−1，

∴a的值是−1．

故答案为：−1．

将x=1y=−2代入原方程，可得出关于a的一元一次方程，解之即可求出a的值．

15.【答案】1

解：∵(x+y)2=5，xy=2，

∴原式=(x+y)2−2xy=5−4=1，

故答案为：116.【答案】30

解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∠ABP=20°，∠ACP=50°，

∴∠PBC=∠ABP=20°，∠PCM=∠ACP=50°，

∴∠P=∠PCM−∠PBC=30°．

故答案为：30°．

根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，即可求出∠P的度数．

本题考查了三角形外角性质以及角平分线的定义，解题时注意：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．

17.【答案】1207或22.5解：∵∠BAE=13∠BAC，∠EDF=14∠EDA，

∴设∠BAE=x，∠EDF=y，则：∠BAC=3x，∠FDA=3y，

∵DF/​/BC，

∴∠ACB=∠FDA=3y，∠CBD=EDF=y，

∵BD是△ABC的角平分线，

∴∠ABC=2y，

①当∠ABC=∠BAC时，由题意得：3x+2y+3y=1802y=3x．

∴x=1207y=1807，

∴∠BAE=x=(1207)°，

②当∠BAC=∠C时，由题意得：3x=3y3x+2y+3y=180.18.【答案】90

解：连接EG，

∵BD=DE=EC，

∴BD=13BC，

∵AG=BG=12AB，

∴S△BDG=13S△BCG=13×12S△ABC=16S△ABC，

同理S△ECF=13×419.【答案】解：①(−12)−2−20230−|−3|

=4−1−3

=0；

②(2a2)3−2(a4)2÷a2

=8a6−2a8÷a2【解析】①先算负整数指数幂，零指数幂，绝对值，再算加减即可；

②先算幂的乘方与积的乘方，再算整式的除法，最后合并同类项即可；

③利用多项式乘多项式的法则进行运算即可；

④先算完全平方，平方差，再去括号，最后合并同类项即可．

本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

20.【答案】解：①2−18x2

=2(1−9x2)

=2(1+3x)(1−3x)；

②4x2−8xy+4【解析】①直接提取公因式2，再利用平方差公式分解因式即可；

②先提取公因式(x−y)，再利用完全平方公式分解因式即可．

此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．

21.【答案】解：(1)x=4y−1①3x+y=10②，

将①代入②中，得3(4y−1)+y=10，

解得y=1，

将y=1代入x=4×1−1=3；

∴原方程组的解为x=3y=1；

(2)2x−y=2①3x+2y=17②，

①×2+②得，7x=21，

解得x=3，

将x=3代入①中，得，2×3−y=2，

解得y=4，

【解析】(1)将①代入②中，消去未知数x，求出未知数y，再把y的值代入①求出x即可；

(2)①×2+②，可消去未知数y，求出未知数x，再把x的值代入①求出y即可．

本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解答本题的关键．

22.【答案】解：(x−y)2−(2x+y)(2x−y)+3x(x+y)

=x2−2xy+y2−(4x2−y2)+3x2+3xy

=x2−2xy+y【解析】先去括号，再合并同类项，然后把x，y的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．

本题考查了整式的混合运算−化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．

23.【答案】(1)证明：∵DE/​/AC，

∴∠1=∠C，

∵∠1=∠2，

∴∠C=∠2，

∴AF/​/BC；

(2)解：∵AF/​/BC，

∴∠B+∠BAF=180°，

∵∠B=36°，

∴∠BAF=144°，

∵AC平分∠BAF，

∴∠2=12∠BAF=72°，

∵∠1=∠2，

【解析】(1)根据平行线的性质得出∠1=∠C，求出∠C=∠2，根据平行线的判定得出即可；

(2)根据平行线的性质得出∠B+∠BAF=180°，求出∠BAF=144°，根据角平分线的定义求出∠2=12BAF=72°即可．24.【答案】6

解：(1)如图所示，△A′B′C′即为所求．

(2)如图所示，线段BD即为所求；

(3)如图所示，BE即为所求；

(4)如图所示，满足这样条件的点P共6个．

故答案为：6．

(1)根据平移的概念分别作出三个顶点的对应点，再首尾顺次连接即可；

(2)作AC边上的中线即可；

(3)根据三角形的高的概念求解即可；

(4)结合网格特点求解即可．

本题主要考查作图—平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义与性质．

25.【答案】解：(1)∵1×3+6=9，3×5+10=25，5×7+14=49，7×9+18=81，

∴9×11+22=121．

(2)由(1)得第n个式子为：(2n−1)(2n+1)+2(2n+1)=(2n+1)2．

(3)当n=1时，即1×3+6=9，

当n=2时，即3×5+10=25，

验证可得规律正确；

下面证明：

等式的左边=4n2−1+4n+2=4n2+4n+1，

等式的右边=4n【解析】(1)由题干提示的信息可得第一个数为从1开始的奇数，第二个数为从3开始的奇数，第三个数是2与一列奇数(从3开始)之积，等式的右边为从3开始的奇数的平方，从而可得答案；

(2)根据(1)的发现，再总结即可；

(3)把等式的左边与等式的右边按照整式的乘法进行计算，再比较计算的结果可得结论．

本题考查的是数的运算规律的探究，平方差公式，完全平方公式的应用，掌握“从具体到一般的探究方法，再总结规律并运用规律”是解本题的关键．

26.【答案】解：(1)设甲种客车每辆能载客x人，乙种客车每辆能载客y人，

由题意得：3x+2y=1952x+4y=210，

解得：x=45y=30，

答：甲种客车每辆能载客45人，乙种客车每辆能载客30人；

(2)设同时租65座、45座和30座的大小三种客车分别为m辆、n辆、(7−m−n)辆，

根据题意得：65m+45n+30(7−m−n)=303+7，

整理得：7m+3n=20，

∵m、n为正整数，

∴m=2n=2，

则7−m−n=3，

答：租车方案为：租65座的客车2辆，45座的客车2辆，30【解析】(1)设甲种客车每辆能载客x人，乙种客车每辆能载客y人，由题意：租用甲种客车3辆，乙种客车2辆，则可载195人；如果租用甲种客车2辆，乙种客车4辆，则可载210人．列出二元一次方程组，解方程组即可；

(2)①设同时租65座、45座和