类型八、平方差的几何应用

类型八、平方差的几何应用【解惑】方法：等积法【融会贯通】1．如图，将图1中的一个小长方形变换位置得到如图2所示的图形，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（

）A． B．C． D．2．在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（）．把余下的部分剪拼成一个矩形（如图）．通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）A． B．C． D．3．如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为x的小正方形，将余下部分对称剪开，拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a，x的恒等式是（

）A． B．C． D．4．如图，有两张正方形纸片和，图将放置在内部，测得阴影部分面积为，图将正方形和正方形并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为，若将个正方形和个正方形并列放置后构造新正方形如图，图，图中正方形纸片均无重叠部分则图阴影部分面积为（

）A． B． C． D．5．如图，阴影部分是边长是a的大正方形剪去一个边长是b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列4幅图割拼方法：其中能够验证平方差公式有（

）A．①②③④ B．①③ C．①④ D．①③④【知不足】6．如图1，在边长为的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将余下的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形．根据两个图形阴影部分面积相等的关系，可以列出的等式为_________．7．有边长为的大正方形和边长为的小正方形，现将放在内部得到图甲，将，并列放置后，构造新的正方形得到图乙，图甲和图乙阴影部分的面积分别是和，则（1）根据图甲、乙中的面积关系，可以得到______，______．（2）若个正方形和个正方形按图丙摆放，阴影部分的面积为______．8．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．当+＝40时，则图3中阴影部分的面积＝_____．9．如图，大正方形与小正方形的面积之差是60，则阴影部分的面积是_____．10．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）．（1）探究：上述操作能验证的等式是：__________；（请选择正确的一个）A．B．C．（2）应用：利用所选（1）中等式两边的等量关系，完成下面题目：若，，则的值为__________．【一览众山小】11．（1）如图1，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，则阴影部分的面积是________；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2的一个长方形，则它的长为________；宽为________；面积为________．（2）由（1）可以得到一个公式：________．（3）利用你得到的公式计算：．12．阅读理解，自主探究数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．例如：平方差公式“两个数的和与这两个数的差的积，就等于䢍两个数的平方差”，即，平方差公式的几何意义如下图所示：图甲阴影部分面积为，图乙阴影部分面积为；由于阴影部分面积相同，所以有(1)解决问题：如下图是完全平方公式的几何意义，请写出这个公式________．(2)学以致用：请解释的几何意义．(3)拓展延伸：请解释的几何意义，并写出乘积的结果．13．如图1，边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形，然后将图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．(1)上述操作能验证的等式是______（用，表示）；(2)请利用你从（1）得出的等式，完成下列各题：①已知，，则______；②计算：．14．综合与实践如图1所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．(1)请直接用含和的代数式表示__________，__________；写出利用图形的面积关系所得到的公式：__________（用式子表达）．(2)依据这个公式，康康展示了“计算：”的解题过程．解：原式．在数学学习中，要学会观察，尝试从不同角度分析问题，请仿照康康的解题过程计算：．(3)对数学知识要会举一反三，请用（1）中的公式证明任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数．15．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．(1)上述操作能验证的等式是

．（请选择正确的选项）A、B、C、(2)用你选的等式进行简便计算：；(3)用你选的等式进行简便计算：．16．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助解数学问题．(1)请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式．图1：______；图2：______；图3：______．其中，完全平方公式可以从“形”的角度进行探究，通过图形的转化可以解决很多数学问题，在图4中，已知，，求的值．解：∵，∴，又∵，∴，∴.即．类比迁移：(2)若，则______；(3)如图5，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，阴影部分面积为______．17．数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的学科，同学们，我们就用数形结合思想来解决下面问题吧!(1)将图①甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你根据两个图形的面积关系得到的数学公式是_________．(2)将图②甲中阴影部分的一个小长方形变换到图乙位置，你根据两个图形的面积关系写出一个等式：（________）_______．(3)图③甲是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图③乙那样拼成一个正方形，则图③乙中间空余的部分的面积是__________．(4)观察图③乙，请你写出三个代数式，，之间的等量关系是________．(5)根据（4）中等量关系解决如下问题：若，，求的值．18．（1）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如：从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形如图1，然后将剩余部分拼成一个长方形如图2．图1中阴影部分面积为__________，图2中阴影部分面积为__________，请写出这个乘法公式__________．（2）【知识应用】应用（1）中的公式，完成下面任务：若m是不为0的有理数，已知，，比较P、Q大小．（3）【知识迁移】事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图3表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图3中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：____________________．19．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题．图1

图2

图3

图4（1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式．图1：；图2：；图3：．其中，完全平方公式可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题．例如：如图4，已知a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．方法一：从“数”的角度解：∵a+b＝3，

∴（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又∵ab＝1

∴a2+b2＝7．方法二：从“形”的角度解：∵a+b＝3，

∴S大正方形=9，又∵ab＝1，

∴S2＝S3＝ab＝1，∴S1+S4＝S大正方形﹣S2﹣S3＝9﹣1﹣1＝7．即a2+b2＝7．类比迁移：（2）若（5﹣x）▪（x﹣1）＝3，则（5﹣x）2+（x﹣1）2＝；（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝10，两正方形的面积和S1+S2＝72，求图中阴影部分面积．20．（1）将图1中的甲图从中间按如图方式剪开，经过重新拼接变换到图乙，比较图甲与图乙，写出得到的公式：；（2）将图2中的甲图从中间按如图方式剪开，经过重新拼接变换到图乙，比较图甲与图乙，写出得到的公式：；（3）根据图1、图2中得到的公式，解决下列问题：①计算：；②若，求的值．21．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．(1)用含a，b的代数式分别表示；(2)若，求的值；(3)当时，求出图3中阴影部分的面积．22．工厂接到订单，需要边长为（a+3）和3的两种正方形卡纸．（1）仓库只有边长为（a+3）的正方形卡纸，现决定将部分边长为（a+3）的正方形纸片，按图甲所示裁剪得边长为3的正方形．①如图乙，求裁剪正方形后剩余部分的面积（用含a代数式来表示）；②