第三章水动力学理论基础

第三章水动力学理论基础第1页，共91页，2023年，2月20日，星期三水静力学重要内容回顾静水压强的两个重要特性水静力学的基本方程平面静水总压力计算方法曲面静水总压力计算方法第2页，共91页，2023年，2月20日，星期三关于液体平衡的规律，它研究液体处于静止（或相对平衡）状态时，作用于液体上的各种力之间的关系。水静力学关于液体运动的规律，它研究液体在运动状态时，作用于液体上的力与运动要素之间的关系，以及液体的运动特性与能量转换等等。水动力学第3页，共91页，2023年，2月20日，星期三本章纲要：第一节描述液体运动的两种方法第二节欧拉法的几个基本概念第三节恒定一元流的连续性方程第四节理想液体及实际液体恒定元流的能量方程第五节实际液体恒定总流的能量方程第六节总水头线和测压管水头线的绘制第七节实际液体恒定总流的动量方程第4页，共91页，2023年，2月20日，星期三第一节描述液体运动的两种方法液体运动时，表征运动特征的运动要素一般随时空而变，而液体又是众多质点组成的连续介质

怎样描述整个液体的运动规律呢？一、拉格朗日法以液体质点为研究对象，跟踪每一个质点，研究各个质点的运动要素随时间的变化规律。质点系法第5页，共91页，2023年，2月20日，星期三图拉格朗日法zxyOabct0Mxyzt

设某一液体质点在t0

时刻占据起始坐标（a，b，c），在t时刻质点运动到空间坐标（x，y，z）（a，b，c，t）=拉格朗日变量以起始时刻的坐标来区分质点，作为质点标签。质点运动的轨迹线就叫迹线第6页，共91页，2023年，2月20日，星期三问题：由运动坐标如何求质点运动的速度和加速度？对上式求导，得到某质点任意时刻的速度对速度求导，得到某质点任意时刻的加速度得到组成流场的典型质点的运动规律第7页，共91页，2023年，2月20日，星期三因此，除在波浪运动中，实际工程中多采用欧拉法。问题

每质点运动轨迹复杂，跟踪每个液体质点研究其运动规律，存在很大的困难。实用上，不需要知道每个液体质点的运动规律。第8页，共91页，2023年，2月20日，星期三二、欧拉法以固定空间点为研究对象，研究流场中某些固定空间点上的运动要素随时间的变化规律，而不直接追究给定质点在某时刻的位置及其运动状况。流场法在流场中取固定空间点（x,y,z），在t1时刻，位于该空间点的质点为M1，该质点的流速为u1，压强为p1，在t2时刻，位于该空间点的质点为M2，该质点的流速为u2，压强为p2，欧拉法的实质是不追究位于该空间点的质点是M1或M2，只关心反映在该空间点上的运动要素的变化规律。采用欧拉法，可将流场中任何一个运动要素表示为空间坐标（x,y,z）和时间t的函数。第9页，共91页，2023年，2月20日，星期三（x,y,z,

t）=欧拉变量（ux,uy,uz）=通过固定点的流速分量假如某一质点在t时刻占据的空间坐标为（x,y,z），则其运动要素可表示为空间坐标和时间的函数。第10页，共91页，2023年，2月20日，星期三当（x，y，z）给定，t为变量时，得到：同一固定空间点上，不同液体质点在不同时刻通过该点的流速变化（x，y，z）为变量，给定时刻：如t=t0时刻：同一时刻，不同空间点上液体质点的流速分布，即流场。第11页，共91页，2023年，2月20日，星期三比较(a,b,c):质点起始坐标

(x,y,z):质点运动的位置坐标t:任意时刻(a,b,c,t):拉格朗日变量(x,y,z):空间固定点t:任意时刻(x,y,z,t):欧拉变量拉格朗日法欧拉法第12页，共91页，2023年，2月20日，星期三拉格朗日法

欧拉法

着眼于液体质点，跟踪质点描述其运动历程着眼于空间点，研究质点流经的空间各固定点的运动特性是描述液体运动常用的一种方法。第13页，共91页，2023年，2月20日，星期三在欧拉法中，如何求质点运动的加速度？注意：质点在运动过程中，不同时刻占据不同的空间点，以此x,y,z不是独立变量，而是t的函数。第14页，共91页，2023年，2月20日，星期三利用复合函数求导法，将（x,y,z）看成是时间t的函数，则第15页，共91页，2023年，2月20日，星期三从数学上分析，利用复合函数求导的方法，将（x,y,z）看成是时间t的函数，则有加速度分量的表达式

当地加速度迁移加速度第16页，共91页，2023年，2月20日，星期三

迁移加速度（位变加速度）同一时刻，不同空间点上流速不同，而产生的加速度

当地加速度（时变加速度）同一空间点，不同时刻，流速不同，而产生的加速度从欧拉法来看，不同空间位置上的液体流速可以不同；在同一空间点上，因时间先后不同，流速也可不同。因此，加速度分为用欧拉法描述液体运动时，质点加速度是当地加速度和迁移加速度之和。第17页，共91页，2023年，2月20日，星期三第二节欧拉法的几个基本概念一、恒定流与非恒定流若流场中所有空间点上的一切运动要素都不随时间变化，称为恒定流；否则，称之为非恒定流。恒定流中，一切运动要素只是空间位置坐标的函数而与时间t无关。恒定流的当地加速度为零，但迁移加速度可以不为零。第18页，共91页，2023年，2月20日，星期三若水箱中的水位不恒定，管中各点的运动要素随t变化，为非恒定流；若补水使水箱中的水位恒定，则管中水流可为恒定流。水库水库t0时刻t1时刻第19页，共91页，2023年，2月20日，星期三迹线是液体质点运动的轨迹线，是与拉格朗日观点相对应的概念二、流线与迹线第20页，共91页，2023年，2月20日，星期三流线是流速场的矢量线，是指某一瞬时，在流场中绘出的一条光滑的矢量曲线（或直线），其上所有各点的速度向量都与该线相切。有了流线，流场的空间分布情况就得到了形象化的描述。第21页，共91页，2023年，2月20日，星期三22

(M1)(M2)(M3)(M4)

设在某时刻t1流场中有一点A1，该点的流速向量为u1，在这个向量上取与A1相距为的点A2；在同一时刻，A2点的流速向量设为u2，在向量u2上取与A2点相距为的点A3；若该时刻A3点的流速向量为u3，在向量u3上再取与A3相距为的点A4，如此继续，可以得出一条折线A1A2A3A4……，若让所取各点距离趋近于零，则折线变成一条曲线，这条曲线就是t1时刻通过空间点A1的一条流线。第22页，共91页，2023年，2月20日，星期三①一般情况下，流线不能相交，且流线只能是一条光滑的曲线或直线。②流场中每一点都有流线通过，流线充满整个流场，这些流线构成某一时刻流场的流谱。③在恒定流条件下，流线的形状及位置以及流谱不随时间发生变化，且流线与迹线重合。④对于不可压缩液体，流线的疏密程度反映了流场中各点的速度大小，流线密的地方流速大，反之，流速小。流线的特性：否则在交点或非光滑处存在两个切线方向，这意味着同一时刻、同一质点具有两个运动方向，显然是不可能的。原因第23页，共91页，2023年，2月20日，星期三24

(M1)(M2)(M3)(M4)

假定A1A2A3A4……近似代表一条流线，在t1时刻M1质点从A1点开始运动，t2时刻运动到达A2；但因恒定流流线形状和位置不变，此时

M1质点的流速仍与t1相同，仍然为u2方向，于是M1质点从A2点沿u2方向运动，t3时刻又到达A3，如此继续下去，

M1质点所走的轨迹完全与流线重合。第24页，共91页，2023年，2月20日，星期三迹线和流线最基本的差别是：迹线是同一液体质点在不同时刻的位移曲线(与拉格朗日观点对应);流线是同一时刻、不同液体质点速度矢量与之相切的曲线(与欧拉观点相对应)。问题：流线与迹线的区别？第25页，共91页，2023年，2月20日，星期三三、流管、元流、总流、过水断面、流量、断面平均流速在流场中画出任一封闭曲线L，它所围的面积无限小，经该曲线上各点做流线，这些流线所构成的管状物称为流管。流管流线1.流管因流线不能相交，∴流体不能穿越管壁第26页，共91页，2023年，2月20日，星期三2.元流（微小流束）充满流管的一束液流。∵元流的面积很小，∴同一断面上各点运动要素相等。3.总流由无数个元流组成的具有一定大小尺寸的实际液流。第27页，共91页，2023年，2月20日，星期三4.过水断面与元流或总流的流线正交的横断面，有时是平面，有时是曲面。被液体湿润的固体边界称为湿周。过水断面积与湿周之比称为水力半径。第28页，共91页，2023年，2月20日，星期三对于元流，dt时段通过断面dω的液体体积为：5.流量单位时间内通过某一过水断面的液体体积，用Q表示，单位：m3/s或l/s。第29页，共91页，2023年，2月20日，星期三不均匀分布断面平均流速vωx6.断面平均流速若过水断面上各点的流速都相等（等于v），此时通过的流量与实际流速为不均匀分布时通过的流量相等，v就叫做断面平均流速。第30页，共91页，2023年，2月20日，星期三四、均匀流与非均匀流流线为相互平行的直线？均匀流非均匀流均匀流的流线必为相互平行的直线，而非均匀流的流线要么是曲线，要么是不相互平行的直线。问题：1、直径不变的圆管中的水流是均匀流吗？2、均匀流的当地加速度为零吗？1.均匀流第31页，共91页，2023年，2月20日，星期三均匀流的特性①均匀流过水断面为平面，且形状、尺寸沿程不变。②均匀流同一流线上不同点的流速相等，从而各过水断面上的流速分布相同，断面平均流速相等。③均匀流同一过水断面上各点的动水压强符合静水压强分布规律。即同一过水断面上各点的测压管水头为一常数；第32页，共91页，2023年，2月20日，星期三OOdndωα在均匀流，与流线正交的n方向上无加速度，所以有G积分得：pp+dpnn第33页，共91页，2023年，2月20日，星期三2.非均匀流渐变流急变流是否接近均匀流？是否流线虽不平行，但夹角较小

流线虽有弯曲，但曲率较小流线是近似平行的直线，近似认为流线间夹角较大；

流线弯曲的曲率较大。流线不平行或弯曲程度很大，第34页，共91页，2023年，2月20日，星期三流线图均匀流均匀流非均匀流均匀流非均匀流均匀流非均匀流非均匀流渐变流急变流急变流急变流第35页，共91页，2023年，2月20日，星期三五、一元流、二元流、三元流一元流二元流三元流运动要素是一个空间坐标的函数运动要素是二个空间坐标的函数运动要素是三个空间坐标的函数元流、引入断面平均流速的总流，均是一元流。断面上各点的流速相同，只是沿程发生变化。任何实际流动从本质上都是在三维空间内发生的，二维和一维流动是在一些特定情况下对实际流动的简化抽象，以便分析处理第36页，共91页，2023年，2月20日，星期三总结：水流的分类按运动要素是否随时间变化表征液体运动的物理量，如流速、加速度、动水压强等恒定流非恒定流按运动要素随空间坐标的变化一元流二元流三元流按流线是否为相互平行的直线均匀流非均匀流渐变流急变流第37页，共91页，2023年，2月20日，星期三第三节恒定总流的连续性方程2112u1u2（1）恒定流时，元流的形状和位置不变。（2）无液体经侧面流进、流出。（3）连续介质无空隙。依据：质量守恒原理依质量守恒定律,流入液体的质量等于流出液体的质量。第38页，共91页，2023年，2月20日，星期三对于不可压缩液体的恒定流，各断面通过的流量相等（适用于理想、实际液体，适用于边界固定的非恒定流的同一时刻）。对于不可压缩液体，元流的连续性方程积分得：恒定总流的连续性方程第39页，共91页，2023年，2月20日，星期三连续性方程对于不可压缩液体，根据连续性方程，很容易理解流线的疏密反映了速度大小。第40页，共91页，2023年，2月20日，星期三Q1Q2Q3Q1Q2Q3在有分流汇入或分出的情况下，连续性方程应作相应变化。质量的总流入=质量的总流出。第41页，共91页，2023年，2月20日，星期三依据：动能定理运动液体的动能增量等于作用在它上面各力做功的代数和。第四节理想液体和实际液体恒定元流的能量方程连续性方程说明了流速与过水断面的关系，是运动学方程；水流能量方程则是从动力学的观点讨论水流各运动要素之间的关系，是能量守恒在水流运动中的具体表现。一、理想液体恒定元流的能量方程(伯诺里方程）第42页，共91页，2023年，2月20日，星期三动能增量dω1dω2dl1dl21’1’oou2u1z1z211222’2’第43页，共91页，2023年，2月20日，星期三重力做功重力做功等于势能的改变量即段的势能减去段的势能。dω1dω2dl1dl2111’1’222’2’oou2u1z1z2第44页，共91页，2023年，2月20日，星期三压力做功做正功；做负功；侧面上的动水压强不做功；dω1dω2dl1dl2111’1’222’2’oou2u1p1p2z1z2理想液体无切应力第45页，共91页，2023年，2月20日，星期三理想液体恒定元流的能量方程Or理想液体恒定元流的伯诺里方程根据动量定理由于元流的过水面积无限小，流线是元流的极限状态，所以也同样适用于同一流线上的任意两点。第46页，共91页，2023年，2月20日，星期三二、理想液体元流能量方程的物理意义和几何意义1.物理意义：单位重量液体所具有的位能（重力势能）；：单位重量液体的压能（压强势能）；：单位重量液体具有的动能。重量为mg，高度为z的液体质点的重力势能是mgz。pap/γMp压强具有做功的能力，压强做功可以使质量为dm的液体质点增加的势能为质量为m的物体以速度u运动时，所具有的动能为mu2/2，则单位重量流体所具有的动能为u2/(2g)即(mu2/2)/(mg)=u2/(2g)第47页，共91页，2023年，2月20日，星期三单位总能量单位动能单位压能单位位能单位势能

对于不可压缩的理想液体的恒定元流，在流动过程中，单位重量液体所具有的机械能是守恒的。第48页，共91页，2023年，2月20日，星期三0012位置水头压强水头流速水头测压管水头总水头对于不可压缩的理想液体的恒定元流，在流动过程中，总水头保持不变。2.几何意义第49页，共91页，2023年，2月20日，星期三毕托管测速原理图

3.应用—毕托管

修正后：由实验确定第50页，共91页，2023年，2月20日，星期三由于实际液体具有粘滞性，在流动的过程中，一定要消耗一部分能量克服摩擦力做功，液体的机械能沿程减少，即存在着机械能损失。三、实际液体恒定元流的能量方程元流的水头损失。单位重量液体从1-1断面流至2-2断面的机械能损失。0012第51页，共91页，2023年，2月20日，星期三第五节恒定总流的能量方程一、推导单位时间通过元流过水断面的全部液体的能量关系为均匀流或渐变流过水断面上取平均的hw动能修正系数,1.05~1.1第52页，共91页，2023年，2月20日，星期三二、总流能量方程各项的物理意义和几何意义：过水断面某点相对于基准面的位置高度-位置水头：对应点的压强水头；：测压管水头；：平均流速水头；：总水头；：总流的水头损失。：总流过水断面上某点单位重量液体所具有的位能；：对应点处单位重量液体所具有的压能；：单位重量液体所具有的势能；：过水断面上单位重量液体所具有的平均动能；：单位重量液体所具有的总机械能。：流动过程中单位重量液体的平均机械能损失。第53页，共91页，2023年，2月20日，星期三三、应用能量方程的条件和注意事项1.条件①水流是不可压缩液体的恒定流。②作用在液体上的质量力只有重力。③所选取的两个过水断面，水流为均匀流或渐变流。在两断面之间，可以不是渐变流。④当两过水断面之间有流量的集中汇入或分出时，可分别对每一支建立能量方程。⑤当两过水断面间有能量的输入或输出时，方程为：第54页，共91页，2023年，2月20日，星期三Q1Q2Q31122332-2与3-31-1与2-21-1与3-3√√×：表示水力机械对水流做功（正功或负功）使单位重量液体增加或减小的那一部分机械能。水泵用加号。（后面详细讲）第55页，共91页，2023年，2月20日，星期三2.注意事项①计算断面应选择在已知参数较多的断面，并使能量方程中包含所求的未知量。②基准面可以任意选取，但在计算不同断面的位置水头值时，必须选取同一基准面。③能量方程中一项，可以用相对压强，也可以用绝对压强，但对同一问题必须采用相同的标准。④在计算过水断面的测压管水头时，可以选取过水断面上的任意点来计算。对于管道一般选在管轴中心处，对于明渠一般选在自由液面上。⑤不同过水断面上的动能修正系数严格讲不相等，且不等于1，实用上大多数情况取第56页，共91页，2023年，2月20日，星期三2203.解题步骤1.选择计算断面，并在计算断面上确定计算点。3.建立方程，求解未知量。2.选择基准面水箱中的水由直管流出，若需要一个恒定的流量，问高差H？以0-0为基准面，建立1-1与2-2能量方程。=0第57页，共91页，2023年，2月20日，星期三四、流途中有能量输入或输出的能量方程扬程提水高度第58页，共91页，2023年，2月20日，星期三水轮机管路系统第59页，共91页，2023年，2月20日，星期三有人认为均匀流和渐变流一定是恒定流，急变流一定是非恒定流？思考题对水流流向问题有以下说法：①水一定由高处向低处流？②水一定由压强大的向压强小的地方流？③水一定由流速大的向流速小的地方流？×××恒定流当地加速度为零。均匀流迁移加速度为零。恒定流均匀流渐变流急变流非恒定流第60页，共91页，2023年，2月20日，星期三求：管嘴出口断面的速度v解：以0-0为基准面，建立1-1和3-3断面的能量方程，

v3=8.76m/s一台水泵产生水头H=50m，吸水管直径d1=150mm，hw1=，zs=2m，出水管d2=100mm，

hw2=，末端接一管嘴，d3=75mm，出口中心距吸水池水面高30m。∵B-B处的压强？第61页，共91页，2023年，2月20日，星期三第六节总水头线和测压管水头线的绘制在实际液体恒定总流的能量方程中，共包含了四个物理量：位置水头、压强水头、速度水头、水头损失。上面四个物理量都具有长度的量纲，故可以用线段的长度来表示大小，从而用图形形象的反映出总流中各种能量的变化规律一、绘制原则以水头做纵坐标，按比例沿程分别将各断面的、绘制在图上，的连线为测压管水头线，的连线为总水头线。第62页，共91页，2023年，2月20日，星期三0012z1hw12z2zp1γp2γα1v122gα2v222g测压管水头线总水头线pγαv22g第63页，共91页，2023年，2月20日，星期三0012z1hw12z2zp1γp2γα1v122gα2v222g测压管水头线总水头线pγαv22g第64页，共91页，2023年，2月20日，星期三0012z1hw12z2zp1γp2γα1v122gα2v222g测压管水头线总水头线pγαv22g第65页，共91页，2023年，2月20日，星期三v21212水面＝测压管水头线v1α1v122gα2v222gz1z2hw总水头线第66页，共91页，2023年，2月20日，星期三v21212水面＝测压管水头线v1α1v122gα2v222gz1z2hw总水头线第67页，共91页，2023年，2月20日，星期三v21212水面＝测压管水头线v1α1v122gα2v222gz1z2hw总水头线第68页，共91页，2023年，2月20日，星期三二、注意事项1、总水头线一定沿程降低2、测压管水头线沿程可升可降，依边界条件确定。

134200第69页，共91页，2023年，2月20日，星期三三、水力坡度

lH1H2H1H21122dl水力坡度：总水头线沿程的降低值与流程的长度之比。或单位流程上的水头损失。用J

表示。总水头线为直线时，J处处相等。总水头线为曲线时，J为变值。第70页，共91页，2023年，2月20日，星期三第七节实际液体恒定总流的动量方程连续性方程和能量方程着重研究了液体的流速和压强沿程的变化规律，两者联立可以解决很多问题，但遇到求解水流对固体边壁的作用力时，就需要用动量方程了。一、动量方程式的推导依据：动量定理单位时间内质量系的动量变化，等于作用于该质点系上所有外力之和。第71页，共91页，2023年，2月20日，星期三

在△t时段动量的增量：u1△tu2△t111’1’2’2’22ω1u1dω2ω2u2dω1则1-1′流段元流动量：则2-2′流段元流动量：第72页，共91页，2023年，2月20日，星期三表示单位时间内通过过水断面的动量与按断面平均流速计算的动量的比值。对断面积分，得总流1-1′流段内动量为：同理：u1△tu2△t111’1’22ω1u1dω2ω2u2dω12’2’第73页，共91页，2023年，2月20日，星期三上式为恒定流总流动量方程。它是矢量方程，实际上常用三个坐标轴上的投影式表示，即单位时间内流段动量的改变量等于作用在该流段上所有外力的矢量和第74页，共91页，2023年，2月20日，星期三二、对方程式的理解1、方程的实质是牛顿第二定律：F=ma

2、方程式的推广第75页，共91页，2023年，2月20日，星期三1、动量方程是一个矢量方程，经常使用投影式。2、使用投影式方程时，必须首先确定坐标轴，并表明坐标轴的正方向，然后把外力、速度向坐标轴投影。注意外力、速度的方向问题，与坐标轴方向一致时为正，反之为负。3、作用在流段上的力包括：①过水断面上的动水压力；②固体边壁作用在流段上的力；③重力。4、过水断面须选在均匀流或者渐变流断面上。5、必须是流出的动量减去流入的动量。6、边界对流段的作用力须先假设一个方向，如果计算结果为正，说明原假设方向正确，为负说明相反。三、应用动量方程时应注意的问题第76页，共91页，2023年，2月20日，星期三１．隔离水体（所研究流段）；2．正确分析受力；3．建立坐标系；４写出投影式方程；1122FP1FP2FRFGxzy四、解题步骤5．与其他方程联立求解未知量。第77页，共91页，2023年，2月20日，星期三弯管内水流对管壁的作用力水流对溢流坝面的水平总作用力射流对垂直固定平面壁的冲击力五、应用举例第78页，共91页，2023年，2月20日，星期三1、弯管内水流对管壁的作用力z向：x向：投影的负号方程的负号第79页，共91页，2023年，2月20日，星期三解：求解流体与边界的作用力问题，一般需要联合使用连续性方程，能量方程和动量方程。例题附图一变径弯管，轴线位于同一水平面，转角，直径由dA＝200mm变为dB＝150mm，在流量时，压强，求流对AB段弯管的作用力。不计弯管段的水头损失例题第80页，共91页，2023年，2月20日，星期三第81页，共91页，2023年，2月20日，星期三第82页，共91页，2023年，2月20日，星期三2、水流对溢流坝面的水平总作用力x向：1122x1122第83页，共91页，2023年，2月20日，星期三FPV000VV1111FRV0VVx沿x方