绵阳市高中2022级（2025届）高三第一次诊断性考试（一诊）数学试卷（含答案逐题解析）

秘密★启用前【考试时间:2024年10月30日15∶00—17∶00】绵阳市高中2022级第一次诊断性考试数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4.考试结束后，将答题卡交回。第Ⅰ卷(选择题,共58分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x+1)²≤1},则A∩B=A.{-2,-1}B.{-2,-1,0}C.[-2,0]D.[-2,2]2.“ac²＞bc²”是“a＞A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.已知x＞0,y＞0,且满足x+y=xy-3,则xy的最小值为A.3B.23C.6D.4.某公司根据近几年经营经验，得到广告支出与获得利润数据如下：广告支出x/万元258111519利润y/万元334550535864根据表中数据可得利润y关于广告支出x的经验回归方程为y=1.65x+â.据此经验回归方程，若计划利润达到100万元，估计需要支出广告费A.30万元B.32万元C.36万元D.40万元5.下列选项中，既是增函数，也是奇函数的是A.y=x⁻²B.y=x+1xC.y=x-si6.已知θ为第一象限角，且tanθ+πA.9B.3C.13D.数学试题卷第1页(共4页)7.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系为.P=P0e-M(e是自然对数的底数，P₀，k为正的常数).如果前9h消除了20%的污染物，那么消除60%的污染物需要的时间约为()(参考数据：lg2≈A.33hB.35hC.37hD.39h8.已知函数fx=-3x+12,x≤0,exx2-3,x＞0,gx=mx,若关于A.(0,32]B.(0C.(-2e,0]D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知数列{an}的前n项和为S,,且a₁=6,A.S₃=42C.{Sn}是等比数列D.存在大于1的整数n,k,使得10.已知函数fx=2sinωx2cA.ω∈（113B.令gx=fx+π6,存在ωC.函数f(x)在(0,π)上可能有3个或4个极值点D.函数f(x)在-π11.已知函数f(x)的定义域为R,f(x)不恒为0,且fxA.f(0)可以等于零B.f(x)的解析式可以为:f(x)=cos2xC.曲线f(x-l)为轴对称图形D.若f(l)=1,则∑数学试题卷第2页(共4页)第Ⅱ卷(非选择题，共92分)三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.记△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=2,c=3,cosB+C=-2313.已知函数f(x)=|ln|x+2||-m,m为正的常数,则f(x)的零点之和为.14.若x=2是函数fx=x-3e四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)近年来，解放军强军兴军的深刻变化，感召了越来越多的高中优秀青年学子献身国防，投身军营.2024年高考，很多高考毕业学生报考了军事类院校.从某地区内学校的高三年级中随机抽取了900名学生，其中男生500人，女生400人，通过调查，有报考军事类院校意向的男生、女生各100名.(1)完成给出的列联表，并分别估计该地区高三男、女学生有报考军事类院校意向的概率；有报考意向无报考意向合计男学生女学生合计(2)根据小概率值α=0.10的独立性检验，能否认为学生有报考军事类院校D意愿与性别有关.参考公式及数据：χα0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001xα1.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828数学试题卷第3页(共4页)16.(15分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知(asinC=12,且acosC+(1)求△ABC的面积;(2)若B=π4,17.(15分)已知数列{an},{bn}满足(n+1an=nbn,且an,(1)若a₁+a₂=4,求b₁的值；(2)若a₁=2,设数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn(i)求数列{an},{b(ii)求T18.(17分)已知函数f(1)当a=-5时，则过点(0，2)的曲线f(x)的切线有几条?并写出其中一条切线方程；(2)讨论f(x)的单调性;(3)若f(x)有唯一零点，求实数a的取值范围.19.(17分)已知函数fx=lnx+x²-3x+a,f(x)在(0,1]上的最大值为(1)求实数a的值；(2)若数列{an}满足2an(i)当n≥2,n∈Z时,比较an与1(ii)求证:3∑数学试题卷第4页(共4页)原卷扫描版原卷扫描版秘密★启用前【考试时间:2024年10月30日15:00—17:00】绵阳市高中2022级第一次诊断性考试数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4.考试结束后，将答题卡交回.第I卷(选择题,共58分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x+1)²≤1},则A∩B=()A.{-2,-1}B.{-2,-1,0}C.[-2,0]D.[-2,2]【答案】B【解析】【分析】先求出集合B，再根据集合交集运算即可得答案【详解】由x+1²≤1,可得-2≤x≤0,所以所以A∩B=-2,-1,0,1,2∩x|-2≤x≤0=-2,-1,0故选:B2.`ac²>bc²",是“a>b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】若ac²>bc²,则c≠0,c²>0,因此a>b,当a>b,c=0时,ac²=0=bc²,第1页共18页所以“ac²>bc²",是“a>b”的充分不必要条件.故选:A3.已知x>0,y>0,且满足x+y=xy-3,则xy的最小值为()A.3B.23C.6D.【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式化简已知条件，再解不等式求得xy的范围，从而求得xy的最小值.【详解】x+y=xy-3≥2xyxy当且仅当x=y=3时等号成立，所以xy的最小值为9.故选:D4.某公司根据近几年经营经验，得到广告支出与获得利润数据如下：广告支出x/万元258111519利润y/万元334550535864根据表中数据可得利润y关于广告支出x的经验回归方程为.y=1.65x+â.据此经验回归方程，若计划利润达到100A.30万元B.32万元C.36万元D.40万元【答案】D【解析】【分析】先得求数据的中心点(10,50.5),代入.y=1.65x+â得â=34,再由y=100求得【详解】x因y=1.65x+a过点(x,y),故50.5=1.65×10+â,得à=34故当y=100时,1.65x+34=100,得x=40第2页共18页故选:D5.下列选项中，既是增函数，也是奇函数的是()A.y=x²B.y=x+1xC.y=x-sinx【答案】C【解析】【分析】分别判断函数的奇偶性和单调性即可.【详解】对于A，令f所以y=x²是偶函数，故A错误；对于B,y=x+1x在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增,在(-1,0)和(0,1)上单调递减,故对于C,令8ξx所以y=x-sinx是奇函数,又y'=1-cosx≥0,所以y=x-sinx是R上的增函数,故对于D，令h则h'x=x+1x-1⋅x-1x+1'=故选:C.6.已知θ为第一象限角，且tanθ+π3A.9B.3c.13【答案】B【解析】【分析】根据两角和的正切公式结合已知条件可求出tanθ=【详解】由题意知θ为第一象限角，且tan第3页共18页故tanθ+tanπ31-tanθ则1-故选:B7.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系为P=P₀e⁻ᵏᵗ(e是自然对数的底数，P₀，k为正的常数).如果前9h消除了20%的污染物，那么消除60%的污染物需要的时间约为()(参考数据:lg2≈0.301)A.33hB.35hC.37hD.39h【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，求出常数k，然后再令P=0.4即可解出t.【详解】依题意，(1-20解得k=-19ln当.P=(1-60%)P₀时,0.4P0=解得t=所以污消除60%的污染物需要的时间约为37h.故选:C8.已知函数fx=-3x+12,x≤0exx2-3,x>0,gx=mx,若关于x的不等式xA.032B.0e22C【答案】A【解析】【分析】判断函数的单调性，作出函数图象，结合题意列出相应不等式组，即可求得答案.【详解】令hx=eˣx²-3,x>0,则h'x=eˣx+3x-1,当0<x<1时,h'(x)<第4页共18页当x>1时,h'x>0,则h(x)在(令kx=-3x+1²,x≤0,由关于x的不等式x可知.x≠0,,当x>0时,fx<gx当x<0时,fx>gx作出函数图象如图：要使关于x的不等式x(f(x)-g(x))<0|的整数解有且仅有2个，显然m≤0不能满足题意，故需满足m>0h2≥g2k-2≤g-2,即故选:A【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于作出函数图象，从而列出相应不等式组，求得答案.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知数列{an}的前n项和为Sn,且(a₁=6,aA.S₃=42B.C.{Sn}是等比数列D.存在大于1的整数n,k,使得【答案】AB【解析】第5页共18页【分析】通过an与Sn的关系，作差得到数列aₙ是以6为首项，2【详解】由an₊₁=两式相减可得：a又a所以数列aₙ是以6为首项，2所以a所以S₃=6×2³-6=42,A正确;2aₙ=6×2ⁿ,所以S由Sₙ=6×2ⁿ-6,可得S₁=6,S₂=18,S₃=42,显然S2S1≠若Sₙ=aₖ也即2ⁿ-2ᵏ⁻¹=1,显然不存在大于1的整数n，k，使得等式成立，D错误；故选:AB10.已知函数fx=2sinωx2cosωxA.ω∈B.令gx=fx+π6,存在C.函数f(x)在(0,π)上可能有3个或4个极值点D.函数f(x)在-π【答案】ABD【解析】【分析】利用二倍角和辅助角公式化简得到fx=2sinωx+π3,根据f(x第6页共18页零点，可确定ωx+π3∈π【详解】】f对于A,x∈0π,ωx+π3∈π3πω+π3所以4π<πω+π3≤5π,解得11对于B,gg'x=2ωcosωx+π6ω+π3为偶函数，则π6∵ω>0,∴取ω=4,g'(x)=-8cos4x为偶函数,满足题意,故B正确;对于C,x∈∵ω∈∴函数f(x)在(0，π)上可能有4个或5个极值点，故C不正确；对于D,若x∈-π35:ω∈∴函数f(x)在-π35π故选:ABD.11.已知函数f(x)的定义域为R,f(x)不恒为0,且fxA.f(0)可以等于零B.f(x)的解析式可以为:f第7页共18页C.曲线f(x-1)为轴对称图形D.若f(1)=1,则∑【答案】BCD【解析】【分析】利用赋值法可得f(0)=0或f(0)=1,分类讨论可得f(0)=1,判断A;.有一只判断出函数的奇偶性，可判断B；结合B的分析以及图象的平移可判断C；判断出{f(k)}是以f(1)=1为首项，0为公差的等差数列，即可判断D.【详解】令x=y=0,可得f0+f02=f0+02f0-02,可得f0=f²当f(0)=0时,则可得f则f(x)=0,与f(x)不恒为0矛盾,所以f(0)=1,故A错误;令y=-x,可得f(x)+f(-x)=2f(0)f(x),∴f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数，因为f(x)=cos2x是偶函数,所以f(x)的解析式可以为:f(x)=cos2x,故B正确;因为f(x)为偶函数，所以f(x)的图象关于直线x=0对称，所以f(x-1)关于直线x=1对称,所以曲线f(x-1)为轴对称图形,故C正确;令x=k+2,y=k,则可得f所以f(k+2)+f(k)=2f(k+1),k∈N*,又f解得f(2)=1,所以{f(k)}是以f(1)=1为首项,0为公差的等差数列,所以∑k=120f故选:BCD.【点睛】关键点点睛：采用赋值法是解抽象函数的一种有效方法，多领会其思路.第Ⅱ卷(非选择题，共92分)第8页共18页三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.记△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=2,c=3,cosB+C=-23【答案】5【解析】【分析】结合三角形内角和、诱导公式与余弦定理计算即可得解.【详解】由cosB+C=cos则a2=b故答案为：513.已知函数f(x)=|ln|x+2||-m,m为正的常数,则f(x)的零点之和为.【答案】-8【解析】【分析】根据给定条件，探讨函数的对称性，再结合零点的意义即可求解得答案.【详解】函数f(x)的定义域为{x∈R|x≠-2},由f(x)=0,得|ln|x+2||=m,令函数g(x)=|ln|x+2||,g(-4-x)=|ln|-4-x+2||=|ln|x+2||=g(x),则函数y=g(x)图象关于直线.x=-2对称，在同一坐标系内作出直线y=m(m>0)与函数y=g(x)的图象，如图，直线y=m(m>0)与函数y=g(x)的图象有4个交点，令其横坐标从左到右依次为x₁,x₂,x₃,x₄,观察图象得x₁+x₄=x₂+x₃=-4,所以f(x)的零点之和为-8.故答案为：-814.若x=2是函数fx=x-3ex【答案】a<-e²【解析】【分析】根据函数的导数，对a分类讨论，再结合f'第9页共18页出答案.【详解】f当a≥0时,eˣ+a>0,当x<2时,f(x)<0,当x>2时,f所以f(x)在(-∞,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以x=2是函数的极小值点，不符合题意；当a<0时,令f'(x)=0,可得x₁=2,x₂=ln若2<ln(-a),即(a<-e²时,则x<2时,f(x)>0,函数f(x)单调递增,2<x<ln(-a)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,所以2是函数fx若2>ln(-a)即(0>a>-e²2时,则x>2时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,ln(-a)<x<2时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,所以2是函数fx若2=ln(-a)即(a=-e²2时,则x∈R时,f'(x)≥0,函数f(x)单调递增,函数f(x)无极值点，不符合题意.综上，当a<-e²时，2是函数f(x)的极大值点.故答案为：a<-e²【点睛】关键点点睛：首先观察导函数，当a≥0时，分析函数单调性判断2是否为极大值点，当a<0时，根据f'(x)=0的两根大小分类，由导数的正负得函数的单调性，再由单调性判断极大值点是否为2.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.近年来，解放军强军兴军的深刻变化，感召了越来越多的高中优秀青年学子献身国防，投身军营.2024年高考，很多高考毕业学生报考了军事类院校.从某地区内学校的高三年级中随机抽取了900名学生，其中男生500人，女生400人，通过调查，有报考军事类院校意向的男生、女生各100名.(1)完成给出的列联表，并分别估计该地区高三男、女学生有报考军事类院校意向的概率；第10页共18页有报考意向无报考意向合计男学生女学生合计(2)根据小概率值α=0.10的独立性检验，能否认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关.参考公式及数据：χα0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001xα1.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)列联表见解析，男生有报考军事类院校意向的概率为15,女生有报考军事类院校意向的概率为(2)能认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关【解析】【分析】(1)先填写2×2列联表，再根据古典概型概率计算公式求得正确答案.(2)计算x²的知识，从而作出判断.【小问1详解】根据已知条件，填写2×2列联表如下：有报考意向无报考意向合计男学生100400500第11页共18页女学生100300400合计200700900男生有报考军事类院校意向的概率为100女生有报考军事类院校意向的概率为100【小问2详解】χ所以能认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关.16.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asinC=12,且acosC(1)求△ABC的面积;(2)若B=π4,【答案】12π8或【解析】【分析】(1)根据给定条件，利用余弦定理及三角形面积公式求解即得.(2)利用正弦定理，结合和角的正弦公式、二倍角公式求解即得.【小问1详解】在△ABC中，由余弦定理及(acosC+ccosA=1,得a⋅a2+b2-c22ab+c⋅b2【小问2详解】由(1)及正弦定理得asinA=于是2sinAsin整理得2sinA⋅2第12页共18页因此sin2A=cos2A,即tan2A=1,由0<A<3π4,得0<2A<3π2,解得2A=π4或17.已知数列{an},{bn}满足n+1aₙ=nbₙ,且(an+(1)若a₁+a₂=4,求b₁的值；(2)若a₁=2,设数列{an},{abn}的前n项和分别为Sn,Tn(i)求数列{an},{bn}{的通项公式；(ii)求T【答案】(1)22【解析】【分析】(1)先得b1=2a1,b2=32(2)(i)先求得bn=n+1nan,利用am.1是bn与bn+1的等比中项可得(ii)先得bₙ-aₙ=n+1,利用等差数列前【小问1详解】由n+1aₙ=nb由题意可知a₂是b₁与b₂的等比中项，故a可得a22=3a1a2,即故b₁=2a₁=2【小问2详解】(i)由(n+1an=n由题意可得an+12=第13页共18页故a故ab故aiT==2+3+…+(n+1)==18.已知函数f(1)当a=-5时，则过点(0，2)的曲线f(x)的切线有几条?并写出其中一条切线方程；(2)讨论f(x)的单调性;(3)若f(x)有唯一零点，求实数a的取值范围.【答案】(1)有3条切线,y=-32x+2(2)答案见解析3【解析】【分析】(1)根据导数的几何意义，设出切点得出切线斜率，列方程组分析解得个数即可；(2)求出导函数，对a分类讨论即可得出函数单调区间；(3)根据函数的单调性，结合当x→+∞时，f(x)→+∞，利用极大值建立不等式求解.【小问1详解】第14页共18页当a=-5时,f设切点为(x₀,y₀),因为切线过点(0，2)，所以切线斜率存在，故可设切线方程为y=kx+2，则kx0+2=即x0-12x02-3x0-3=0,由2故x0-12所以切线有3条,其中一条切点横坐标为1,故k=3-10-25=-32,所以切线方程为y=-32x+2.【小问2详解】f当a=0时,f'x=3x²≥0,当a>0时,-a<a3,所以.x<-a或a3<x时,f'(x)>0当-a<x<a3时,f'(x)<0,f(当a<0时,-a>a3,所以x>-a或x<a3时,f'(x)>0当a3<x<-a时,f'(x)<0,f(综上,a=0时,f(x)在