第三章概率论与数理统计教程

第三章概率论与数理统计教程课件第1页，共35页，2023年，2月20日，星期三大纲要求第2页，共35页，2023年，2月20日，星期三§3.1数学期望§3.2随机变量函数的数学期望§3.3关于数学期望的定理

§3.4

方差与标准差§3.5某些常用分布的数学期望及方差

§3.6原点矩与中心矩§3.7协方差与相关系数§3.8切比雪夫不等式与大数定律学习内容第3页，共35页，2023年，2月20日，星期三§3.1数学期望离散随机变量的数学期望连续随机变量的数学期望二维随机变量的数学期望第4页，共35页，2023年，2月20日，星期三若级数绝对收敛，即则称级数为X的数学期望,记为E(X).X记作设X是离散随机变量，其概率函数为离散随机变量的数学期望第5页，共35页，2023年，2月20日，星期三解:计算X1的数学期望,由定义有E(X1)例1.甲,乙两人进行打靶,所得分数分别记为X1,X2,它们的概率分布表分别为:X1012X2012P(xk)00.20.8p(xk)0.60.30.1试评定他们的成绩好坏.而乙的得分为

=00+10.2+20.8=1.8(如甲进行很多次射击,其得分的平均分为1.8)E(X2)=00.6+10.3+20.1=0.5显然,乙的成绩比甲的差.第6页，共35页，2023年，2月20日，星期三设X是连续型随机变量，其密度函数为f（x），如果积分绝对收敛，即则积分为随机变量X的数学期望，记作连续随机变量的数学期望第7页，共35页，2023年，2月20日，星期三例2设随机变量X的概率密度为求X的数学期望。例3设随机变量X服从柯西分布，其概率密度为求X的数学期望。第8页，共35页，2023年，2月20日，星期三二维随机变量的数学期望离散r.v.连续r.v.第9页，共35页，2023年，2月20日，星期三§3.2随机变量函数的数学期望离散r.v.的函数的数学期望连续r.v.的函数的数学期望第10页，共35页，2023年，2月20日，星期三是X的函数，它的取值为则有（2）设X是连续随机变量，其密度函数为又是X的函数，则（1）设X是离散随机变量，其概率函数为第11页，共35页，2023年，2月20日，星期三例2设随机变量X的概率密度为求Y=2X＋1的数学期望。例1一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的时间相等。以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口数,求X的概率分布与。第12页，共35页，2023年，2月20日，星期三例3游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行，假设一游客在早八点的第X分钟到达底层候梯处，且X在[0,60]上服从均匀分布，求该游客等候时间的数学期望。解：已知，其概率密度为设随机变量Y是游客等候电梯的时间，则则随机变量Y的数学期望为第13页，共35页，2023年，2月20日，星期三§3.3关于数学期望的定理定理1E(c)=c;其中c是常数；定理2E(aX)=aE(X);定理3E(X+Y)=E(X)+E(Y)；定理4

注意：E(X-Y)=?第14页，共35页，2023年，2月20日，星期三定理5两个独立随机变量X，Y，则定理6有限个独立随机变量，则例1某保险公司规定，如果一年内，顾客的投保事件A发生，该公司就赔偿a元，若一年内事件A发生的概率为P，为使公司收益的期望值等于a的10%，该公司应该要求顾客交多少保险费？第15页，共35页，2023年，2月20日，星期三§3.4方差与标准差方差、标准差的定义方差的计算公式方差的性质定理第16页，共35页，2023年，2月20日，星期三(1)设X为随机变量,E(X)存在,称X-E(X)为离差;显然,E[X-E(X)]=0(2)设X为随机变量,E(X)存在,且E{[X-E(X)]2}存在,则称此数学期望为X的方差,记为:D(X)=E{[X-E(X)]2}

(3)为X的标准差或均方差.注意:方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度.方差、标准差的定义定义:第17页，共35页，2023年，2月20日，星期三方差的计算公式第18页，共35页，2023年，2月20日，星期三方差的性质定理(1)D(c)=0;(2)D(aX)=a2D(X)(3)D(X+b)=D(X)(4)D(aX+b)=a2D(X)(5)两个独立随机变量(6)有限个独立随机变量注意：若相互独立，第19页，共35页，2023年，2月20日，星期三课堂练习1.设X~,求下列X的函数的数学期望.(1)2X-1,(2)(X-2)23.随机变量X只取-1,0,1三个值,且相应概率比为1:2:2,又Y=X2,求(1)E(X),(2)D(X),(3)E(Y),(4)D(Y)。2.设X~,求E(X),D(X).4.X,Y独立，D(X)=6，D(Y)=3，则D(2X-Y)=（）。第20页，共35页，2023年，2月20日，星期三§3.5某些常用分布的数学期望及方差（1）若则（2）若则（3）若则（4）若则（5）若则（6）若则第21页，共35页，2023年，2月20日，星期三1设随机变量X~P(2),则E(X)=(),D(X)=(),E(X2)=()2

若随机变量X~B(n,p),已知E(X)=2.4，D(X)=1.44,则n=(),p=()例题3

若随机变量X~U(a,b),已知E(X)=2.4，D(X)=3,则a=(),b=()第22页，共35页，2023年，2月20日，星期三§3.6原点矩与中心矩若E(Xk),k=1,2,…存在,则称它为X的k阶原点矩.记作(2)若E{[X-E(X)]k},k=1,2,…存在,则称它为X的k阶中心矩.记作特别：k=1时，特别：k=1时，k=2时，第23页，共35页，2023年，2月20日，星期三§3.7协方差（相关矩）与相关系数离散r.v.连续r.v.注：相关矩描述随机变量之间的相关性；第24页，共35页，2023年，2月20日，星期三相关矩的性质3.Cov(X,Y)=Cov(Y,X);4.Cov(a1X+b1,a2Y+b2)=a1a2Cov(X,Y),其中a1,a2,b1,b2是常数;5.Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y);1.Cov(X，X)=DX；2.Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y);6.若X,Y相互独立,则Cov(X,Y)=0;反之不成立.注意：若随机变量X与Y不相互独立，则（X+Y）和（X-Y）的方差与协方差的关系第25页，共35页，2023年，2月20日，星期三相关系数标准化随机变量与的协方差，称为随机变量X和Y的相关系数，记作即由协方差的定义，得第26页，共35页，2023年，2月20日，星期三相关系数的性质定理1定理2当且仅当随机变量Y与X之间存在线性关系时，相关系数的绝对值等于1，并且定理3设随机变量X与Y独立，则他们的相关系数等于零，即。第27页，共35页，2023年，2月20日，星期三§3.8切比雪夫不等式与大数定律切比雪夫不等式大数定律切比雪夫定理辛钦大数定理伯努利定理第28页，共35页，2023年，2月20日，星期三

切比雪夫不等式等价形式为：设随机变量X有数学期望E(X)和方差D(X)，则对于任意正数，下列不等式成立第29页，共35页，2023年，2月20日，星期三课堂练习例1设随机变量X的方差为2，则根据切比雪夫不等式有例2设随机变量X和Y的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，而相关系数为–0.5，则根据切比雪夫不等式有例3已知随机变量X的概率分布为X123

p0.20.30.5试利用切比雪夫不等式估计事件的概率.第30页，共35页，2023年，2月20日，星期三大数定律：切比雪夫定理大数定律！描述了大数量的随机试验的平均结果的稳定性，它揭示了随机现象的一种统计规律性.设随机变量序列相互独立，且均存在数学期望，方差(n=1,2,...),

则对任意的ε>0，有第31页，共35页，2023年，2月20日，星期三依概率收敛设随机序列a是一个常数，若对于给定的正数

，有则称序列依概率收敛于a.切比雪夫定理!第32页，共35页，2023年，2月20日，星期三设随机变量序列{Xn}是独立同分布的，且有相同的期望与方差